文档：空间中三种平行关系的转化

空间中三种平行关系的转化平行关系是空间中线面位置关系的重要类型,空间中的直线和直线平行，直线和平面平行，平面和平面平行三者之间有着互为因果、相互转化的关系：线线平行线面平行面面平行．因此，我们在判定空间的平行关系时，不可孤立地对待，要将三者联系起来．本文举例说明．线与面平行关系转化一般来说，线线或面面平行关系都可以转化为线面平行关系来分析解决，其关系如下表所示：线线平行线面平行面面平行．图1例1如图1，平面四边形的四个顶点均在平行四边形所确定的平面外，且互相平行．图1求证：四边形是平行四边形．证明：四边形是平行四边形，．，且，是平面内的两条相交直线，，是平面内的两条相交直线，平面平面．又分别是平面与平面，平面的交线，故．四边形是平行四边形．点评：该题灵活应用判定定理与性质之间的转化关系，先将线线平行转化为面面平行，再由面面平行转化为线线平行，从而使问题轻松获解．AABDCCDABMN创设辅助线与面如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或辅助面是面是促进转化的重要环节．例2正方体ABCD—ABCD中，M、N分别是对角线AB、BC上两点，且=，求证：MN∥平面ABCD．分析：在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：⑴由“面面平行线面平行”去证．在面AB内，作MK∥AB，交BB于K点，连接KN，由平行线截割定理知=，而=已知），∴=，则KN∥BC，ABDCCDABMKN∴平面ABDCCDABMKN即平面MKN平面ABCD=，而MN平面MKN，∴MN∥平面ABCD．⑵添加辅助线，由“线线平行线面平行”去证．ABDCCDABNM连接BM并延长交AB于P点，连接PABDCCDABNM∴=，而=（已知），∴=，由平行截割定理得：MN∥PC，而PC平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．点评：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断．类题练习:1.正方体中，Ｅ、Ｆ分别为CD、的中点，Ｍ、Ｎ分别为、上的点，并且Ｍ＝AN，求证：（１）EF∥平面，（２）ＭＮ∥平面．证明：（１）如图１，设BD的中点为Ｏ，连结OE，则OE∥BC∥Ｆ．∴Ｏ∥EF．又Ｏ平面，EF平面，ABCDOENABCDOENHMA1B1C1D1图1（２）作MH∥，连结NH．∵，且ＡＮ＝Ｍ，＝，∴．故ＮＨ∥∥．∴平面∥平面．∴ＭＮ∥平面．2.如图：已知正方体ABCD—ABCD中，面对角线AB，BC上分别有两点E、F，且BE=CF．求证：⑴EF∥平面ABCD；⑵平面ACD∥平面ABC．⑴证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN，∵BB⊥平面ABCD，∴BB⊥AB，BB⊥BC，∴EM∥BB，FN∥BB，∴EM∥FN．∵AB=BC，BE=CF，∴AE=BF，又∠BAB=∠CBC=45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．CDABDCAB∴四边形CDABDCAB又MN平面ABCD，∴EF∥