人教版数学八年级下册-正方形(提高)知识讲解

正方形（提）【习标1．理解正方形的概念，了解平四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方．【点理【清堂特的行边（方）知识点要一正形定四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方.要诠：是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱.要二正形性正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性.1.边——四边相等、邻边垂直、边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中.要诠：方形具有平行四边形、矩形形一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角.要三正形判正方形的判定除定义外判定思有两条或先证四边形是菱形再明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形.要四特平四形间关或者可表示为：要五顺连特的行边各中得的边的状（1）顺次连接平行四边形各边点得到的四边形是平行四边.（2）顺次连接矩形各边中点得的四边形是菱.（3）顺次连接菱形各边中点得的四边形是矩.（4）顺次连接正方形各边中点到的四边形是正方要诠：四边形由原四边形各边中点顺次连接而.（1）若原四边形的对角线互相直，则新四边形是矩

（2）若原四边形的对角线相等则新四边形是菱（3）若原四边形的对角线垂直相等，则新四边形是正方.【型题类一正形性1、如图，在正方形ABCD中对线AC、BD相交于点O，E分别在OD上，且DE，连接、AE，AE的长线交DF于点．求证：AM⊥DF．【路拨根据DE=CF，得出OE=OF继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．【案解】证明：∵ABCD是方形，∴OD＝OC又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即，在eq\o\ac(△,Rt)AOE和Rt△DOF中AODOOE

，∴eq\o\ac(△,≌)AOE△DOF，∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO，∠AEO，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM．【结华此题考了正方形的性质等三角形的判定与性质解答本题的关键是过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．举反：【变式】如图四边形是方形，点、K分别在BC上，点在BA的长线上，Y且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG边作DEFG(1)求证：，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是样的特殊四边形，并证明你的猜想．

【案证明：(1)∵四形ABCD是方形，∴DC，∠DCE＝∠DAG＝90°又∵，∴eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,，)∴∠EDC＝∠GDA，DE．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋＝90°，∴DE⊥DG．四形CEFK为行四边形．证明：设CK，DE相于M点，∵四形ABCD和四形都是正方形，∴AB∥CD＝CD，EF＝DG，EF∥DG∵BK＝AG，∴＝AB＝CD∴四形CKGD为平四边形∴CK＝DG，CK∴四形CEFK为行四边形．【清堂特的行边（方）例9】【变式2】如图，三个边长均为2的方形重叠在一起，、O是中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【案2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一类二正形判22015闸北区模拟）如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC，°AD=CD，点是AC的中点，连接DE，DE的长线与边BC相于点FBC，交DE于，接、．（1求证；（2如果AB=AC，求证：边形是方．

【路拨）根据线段垂直分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等得B=BAF所以．（2由AAS可eq\o\ac(△,)CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形是行四边形，进而证得四边形AFCG菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是方形．【案解】证明），点是边AC的点，DEAC．即得DE是段AC的垂直平分线．AF=CF．FAC=ACB在eq\o\ac(△,)ABC，°，得B+ACB=90，FAC+．B=BAF．．（2）AG，AGE=CFE．又点是AC的点，AE=CEeq\o\ac(△,)AEG中，AEGCEF（AASAG=CF又AGCF，四形AFCG是行边形．AF=CF，四形AFCG是形．在eq\o\ac(△,)ABC，由AF=CF，．即得点是BC的点．又AB=AC，AF．即得．∴四边形AFCG是方形．【结华本题考的是正方形的判定方法查了线段垂直平分线的性质等角形的判定与性质等基础知识的灵活运用一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．举反：【变式春上区期末）如图，矩形ABCD，，，菱形的个顶点E，GH分在矩形的边AB，DA上AH=2连结．（1若，求证：四边形正方形；（2若，eq\o\ac(△,)FCG的积．【案

（1证明四形EFGH为形，AH=2，，在eq\o\ac(△,)DHGeq\o\ac(△,)AEH中，eq\o\ac(△,)DHGAEHDHG=AEH，AHG=90，DHG+AHG=90，GHE=90，四形为形，四形为方形；（2解：作CD于Q连结，如图，四形ABCD为形，CD，QGE即AEH+QGF+，四形为形，，HEGFHEG=，QGFeq\o\ac(△,)AEH和中，AEHQGFAH=QF=2，DG=6，，，的面=•FQ=×22=2．类三正形合用3、F分别是正方形ABCD的AD和CD上的，若∠EBF＝45°．(1)求证：AE＋CF．(2)若E点、F点别是边DA、CD的延线上的点，结论1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．

【案解】证明）长DC，使＝AE连接BH，∵四形ABCD是正形，∴∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE∴eq\o\ac(△,Rt)BAE≌Rteq\o\ac(△,，)BCH∴∠1＝∠2，BE＝BH又∵＋∠3＋∠4＝90°，＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，＋∠3，BH在△和△HBF中,

BFBF,∴eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,，)∴EF＝FH＝FC＋CH＝AE．AE＋CF＝EF(2)如图所示：不成立，正确结EF＝CF．证明：在CF上截CH＝AE，连BH∵四形ABCD是正形，∴在Rt△EAB和eq\o\ac(△,Rt)HCB中CH,HCB90

,∴eq\o\ac(△,Rt)EAB≌Rteq\o\ac(△,，)HCB∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．∵∠HBC＋∠ABH＝90°，∠EBA＋∠ABH．又∵∠EBF＝45°，∴∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．BH在△和△HBF中HBF,

BFBF,∴eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,，)HBF∴EF＝FH－CH＝CF－AE，EF＝CF－AE【结华本题主要考正方形的性质全等三角形的性质和判定，关键在于截长补短”的方法正确地作出辅助线.

4、正方形ABCD的对线交点为，如图所示AE平分交BC于E，交OB于F，求证：＝2FO．【路拨在平面几何中，要证明一线段等于另一条线段的倍

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，通常采用折半法或加倍法折法又可分直折半法和间接折半法倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．【案解】证法一：间接折半法如①所示．∵＝∠1＋，＝＋∠6而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．∴＝，BE＝BF．取AE的点G，连接OG，∵AO＝OC，∴OG

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EC．由∠7＝∠5，∠8＝∠3，∴＝，＝GO．∴EC＝2OG＝2FO．证法二(直接折半)如②所示．由证法一得BE＝BF．取EC的点H，连接OH．∵AO＝OC，∴OH∥AE．∴∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．∴BO＝BH，∴FO＝EH．∴EC＝2EH＝2FO．证法三(直接加倍)如③所示．由证法一得BE＝BF．在OD上取OM＝OF，连接MC．易证eq\o\ac(△,Rt)AOF≌Rteq\o\ac(△,．)COM∴∠OAF＝，∴AE∥MC．由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM∴FM＝EC．∴EC＝FM＝2FO．【结华若题目涉及线段的倍半关系和中点问题时联想中位线定理利用中构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．举反：

【变式】在正方形ABCD的边AB上任一点，作交BD于F，取FD的点G，连接EG、CG，如图①，易证EG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕B逆时针旋转90°如图②，则线段EGCG有样的数量关系和位置关系请接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆针旋转180°图线段EG和CG又有样的数量关系和位置关系请写出你的猜想，并以证明．【案解：＝CG，且EG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延线M连MG，图③，∵∠AEM，＝90°∠BCM＝90°∴四形BEMC是矩．∴B