基本不等式的七大对偶应用技巧

基本不等式的七大对偶应用技巧

本文运用大量的例题详细而全面地总结了基本不等式的应用技巧.希望通过这些基本不等式的应用技巧来说明公式的应用是全方位的、立体的、透明的.如果读者能够从本文中类比得到其他公式的应用启示，那正是本文行文目的之所在.不当之处，还请同行斧正.为了行文方便，本文约定如下不等式为基本不等式：任何公式都有它的一般式和特殊式.从这五个公式来看，实质上⑤式是其他四式的推广.而其他四式仅是⑤式的特例而已.本文将从公式的正用与逆用、拆项与添项、横用与纵用、连续与间断、升次与降次、套用与变用、叠加与叠乘等具有对偶功能的七个方面来全方位透视基本不等式的应用.一、正用与逆用正用就是从左到右应用基本不等式，即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用.逆用就是把这些公式反过来进行逆向使用，即从右到左应用基本不等式.正用与逆用是公式运用中的两个互相对立的过程，经常地进行公式的正用与逆用，能够使我们对公式有比较深刻的理解，有助于和谐、均衡我们的数学思维.二、拆项与添项数学上的公式是由字母与数字组合而成的.因此，基本不等式的呈现同时也必然透露出解题信息——结构特征、数字特征，如果我们所要解决的问题不能直接使用公式来解决，那么我们必须通过观察、联想、类比、分析、寻找待解题目中的结构特征、数字特征与公式的差异和联系，通过化归手段来变换待求问题的结构，使之能够利用公式来解决，而在化归过程中，拆项与添项一般要参考不等式的对称性、题目的数字特征与结构特征、等式成立条件的暗示作用.三、横用与纵用公式的横用是指在学科内的应用，纵用是指在其相邻的学科如物理、化学、生物等其他自然学科内的应用.分析本题如果按照解方程的思路求解是相当困难的，因此需要另辟蹊径，寻找解题的新途径.解若x=0，则y=z=0，所以x=y=z=0是原方程组的一组解.若x≠0，则y≠0，z≠0，原方程可以变为：例6用n个电池组成的电池组来给电阻是R的外电路供电，每个电池的电动势都是，内电阻都是，问如何排列这些电池，电路中所得到的电流最强？分析求电路中所得到的电流最强一定与求最值有关.四、连续与间断有些问题的解决需连续多次应用基本不等式，而有的题目的解决需要涉及多种技巧与说明方法，应用基本不等式只是其中的一个步骤.分析由于不等式的右边是整式而且次数较低，因此本题的关键是降次、去分母.五、升次与降次升次与降次是指给出的问题与基本不等式相比较，找出它们次数的差异，采用升次与降次的化归手段使经过变化后的问题可以使用基本不等式来求解.特别是在求最值时，为了使最后的结果为定值，我们通常使用这种技巧.例9在桌子上挂有一盏灯，若桌面上P点与灯的水平距离是s.问当灯离地面的高度h是多少时P点的亮度最强？分析求P点的亮度最强，常常需要利用不等式的知识来求最值.六、套用与变用套用公式是最简单、最低层次地运用公式的模式，而变用公式则是高层次地活用、扩用公式，最大限度地发挥公式功能的应用模式，套用与变用公式的有机结合能够使我们对一个公式的应用有全方位的认识.七、叠加与叠乘叠加是指在多次运用基本不等式以后，利用几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；叠乘是指在多次运用基本不等式以后，利用两边都是正数的几个同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向来解题.可见，叠加与叠乘都是重复使用公式的一种技巧，此处不再举例.从基本不等式的应用技巧来看