2021-2022学年人教版八年级数学上册课时学优精练1112与三角形有关的线段（2）三角形的高中线角平分线（解析版）

课时11.1.1与三角形有关的线段（2）三角形的高、中线、角平分线学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三角形的高及其作法1．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC作垂线,纵观各图形，A.B.C.都不符合高线的定义，D符合高线的定义.故选D2．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______．【答案】2.4【解析】解：∵，，∴12AB×∵，，，∴AD=AB×ACBC=3．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AB，BC，AC分别为5cm，3cm，4cm．（1）画图表示点C到边AB的距离；（2）求这个距离．【答案】（1）见解析；（2）cm【解析】解：（1）如图，以点C为圆心，任意长为半径做圆，交线段AB于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于长为半径，做两个半径相同的圆，两圆交于其中一点P，连接CP交AB于D点，此时CD为三角形ABC的高，即为点C到边AB的距离；（2）∵∠C=90°,CD⊥AB,∴S【划考点】三角形的高：1、含义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的连线段叫做三角形的高。（三角形三条高或高所在直线相交于一点，交点为三角形的垂心）2、高的性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角三角形的直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的中线、角平分线4．如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则与的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵AB=2020,AC=2018，∴C=AB+BD+AD−AC−CD−AD=2020−2018=2故选B．5．已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（）A．小于直角B．等于直角C．大于直角D．不能确定【答案】C【解析】在△ABC中，∠ABC+∠ACB<180°，所以∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）>90°．故答案选C．6．如图所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，则∠DAE＝___．【答案】25°【解析】解：在△ABC中，∵∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD=35°．又∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°，∵在△ABE中∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=25°，故答案为：25°．【划考点】1、中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。（三角形的三条中线交于一点，交点叫三角形的重心）2、角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的连线段叫做三角形的角平分线。（三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心）1．不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．以上皆不对【答案】C【解析】三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.故选C.2．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则BD＝（）A．6B．5C．8D．4【答案】B【解析】解：∵CD是△ABC的中线，AB＝10，∴BD＝12AB=53．已知是△ABC的中线，，，且的周长为11，则的周长是（）A．14B．9C．16D．不能确定【答案】B【解析】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∵△ABD的周长为11，AB=5，BC=3，∴△BCD的周长是11-（5-3）=9，故选：B．4．如图，△ABC的面积为10，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，连接BE、CE，图中阴影部分的面积为（）A．4B．5C．6D．8【答案】B【解析】解：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD=5，S△BDE=S△CDE，∴S△ACE+S△BDE=S△ACE+S△CDE=S△ACD=5，故选：B．5．如图，线段AD，AE，分别是的高线，角平分线，中线，比较线段，AD，AE，的长短，其中最短的是（）A．AFB．AEC．ACD．AD【答案】D【解析】解：由三角形的高线的定义得：，由垂线段最短得：线段最短，故选：D．6．下列说法正确的个数有（）①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；③钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．所以正确的有3个．故选：C．7．下列各图中，作△ABC边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意；B、AD不是△ADC边AC上的高，不符合题意；C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意；D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意；故选：D．8．如图，Rt△ABC中，，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（）A．DE是△ACE的高B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高D．AB是△ABC的高【答案】D【解析】解：，于点，于点，是的高，是的高，是的高，A、不符合题意；B、不符合题意；C、不符合题意；D、符合题意；故选：D．9．在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是______条．【答案】0或2【解析】解：∵当三角形为直角三角形和锐角三角形时，没有高在三角形外；而当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内．∴在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是0或2条。故答案为0或2．10．已知AD为△ABC的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为__________．【答案】70°或30°【解析】①如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°；②如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°，综上所述，∠BAC的度数为70°或30°．故答案为：70°或30°．11．如图，在△ABC中，，于点，平分交于点．若，则的度数为___________．【答案】14°【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．故答案为14°．12．如图，已知BD是的中线，，，和的周长的差是_____________．【答案】2【解析】解：∵是的中线，∴，∴和的周长的差是：．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在线段AC上且EC＝2AE，线段AD与线段BE交于点F，若△ABC的面积为6，则四边形EFDC的面积为________．【答案】【解析】解：连接CF，∵CE=2AE，△ABC的面积为6，∴S△ABE=×6=2，S△BCE=×6=4，S△AEF：S△CEF=1：2，∵AD是BC边上的中线，∴S△ABD=S设S△AEF=S，则S△CEF=2S，∴S△ABF=2﹣S，则S△BCF=4﹣2S，设S△ABF=x=2-S，则S△BDF=S△CDF=3-x，∵AD是BC边上的中线，∴S△ABF＋S△BDF＝S△CDF＋S△AEF＋S△CEF，即3=3-x+3S，即x=3S，∴S△ABE=4S=2，∴∴S四边形EFDC=．故答案为．14．如图，、分别是边，上的点，，，设的面积为，△ACE的面积为．若，则的值为__________．【答案】1【解析】∵，∴，∵，∴，∴故答案为：1．15．如图，AF和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE=CE；②O是△ABC的重心；③△ACF与△ABE面积相等；④过点C，点O的直线平分线段AB．其中正确的是_______（填序号）．【答案】①②③④【解析】解：∵AF和BE是△ABC的中线，∴AE=CE，CF=BF，所以①正确；点O为△ABC的重心，所以②正确；∵S△ACF=S△ABC，S△ABE=S△ABC，∴S△ACF=S△ABE，所以③正确；∵O点为△ABC的重心，∴过点C、点O的直线平分线段AB，所以④正确．故答案为①②③④．16．如图，点G是△ABC的重心，点D，E分别是边，的中点，连接，若△ABC的面积为6，则的面积为_________．【答案】【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴CG=2DG，∴S△DEGS△CDE∵点D，E分别是边，的中点，∴S△BCDS△ABC，S△CDES△BCD，∴S△CDES△ABC，∵△ABC的面积为6，∴S△CDE，∴S△DEGS△CDE；故答案为：17．（1）线段是的角平分线，那么____．（2）线段是的中线，那么____．【答案】【解析】解：（1）线段是的角平分线，那么．故答案为：，；（2）线段是的中线，那么，故答案为：，．18．如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．【答案】125【解析】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=180°-（180°-70°）=125°，故答案为：125．19．如图，在△ABC的周长为，是边上的中线，，，求的长．【答案】cm【解析】解：∵是边上的中线，，∴设BD=CD=1.5x，=2x，∴2x+3x+15=36，解得：x=，∴BD=1.5x=cm．20．如图，已知、分别是△ABC的高和中线，的面积，，，．求：（1）的长；（2）△ABC的周长．【答案】（1）；（2）的周长=．【解析】（1）的面积，是的高，，∴，．是△ABC的中线，．（2）是△ABC的高，，，，又∵12AC×AB△ABC的周长．21．图、图分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在小正方形的顶点上，请在图、图中分别按要求画图：图1图2（1）在图中画△ABC的中线；（2）在图中画△ABC的高线．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析【解析】（1）∵是△ABC的中线∴△ABC的中线作图如下：；（2）如图，过点C作交AB于点G∵网格中每个小正方形的边长均为∴∴∵，即∴过点B作直线，使，BE并交延长线与点E，如下图：即为△ABC的高线．22．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD和BE交于点O．求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝S△ABC＝，S△ADC＝S△ABC＝，可列方程组为：．解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；（3）如图3，若点D、点E分别在线段AB和AC上，满足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE交于点O．请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．【答案】（1）＝；（2）30；30；；20；（3）25，理由见解析【解析】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图1，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝DC．∵，S△ADC=12CD×AE∴故答案为：＝．（2）连接AO，如图2，∵AD＝DB，由（1）得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，∵CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，∴S△ABE＝S△BEC＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△BDC＝S△ABC＝30，∵S△ABE＝S△BDC+S四边形A