2021-2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】D【分析】由斜率得倾斜角．【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选：D．2．直线截圆所得的弦长是（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】先求出圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求出弦长.【详解】圆心（0,0）到直线的距离，因为圆的半径为1，则弦长为.故选：C.3．素数指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，所以8个中选2个有种，而和为2的有2种，从而可求出概率【详解】解：不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，则从这8个数中任选2个不同的数共有种，而其中和为18的有2种，即，所以所求概率为，故选：B4．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】算出圆心关于直线直线的对称点即可得到答案.【详解】设圆心关于直线直线的对称点的坐标为，则线段C1C2的中点为，且.于是，易知圆的半径长度不变，所以圆的方程为.故选：D.5．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．【详解】故选：B6．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（

）A． B．6C． D．【答案】D【分析】配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.【详解】根据题意，圆，变形可得．其圆心为，半径为，则，当圆的面积最小时，必有，此时．圆的方程为，圆心到原点为距离，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．故选：D．7．射击运动中，一次射击最多能得10环，下图统计了某射击运动员50次射击命中环数不少于8环的频数，用频率估计概率，则该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环包含4种情况：①三次10环，②二次10环一次9环，③二次10环一次8环，④一次10环二次9环，由此能求出该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环的概率．【详解】解：用频率估计概率，则该运动员每次射击命中10环的概率为，命中9环的概率为，命中8环的概率为，该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环包含4种情况：①三次10环，概率为：；②二次10环一次9环，概率为；③二次10环一次8环，概率为；④一次10环二次9环，概率为；该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环的概率是：．故选：C．8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值．【详解】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），设平面ABB1A1的法向量，则，取x＝1，得，设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则,所以∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．故选：A．二、多选题9．下列说法不合理的是（

）A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6．B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨．D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．【答案】ACD【分析】在A中，意即每掷6次就可能有一次掷得点数6，故A错误；在B中，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；在C中，是指明天本地有的可能性会下雨，故C错误；在D中，可以举例说明D错误．【详解】解：在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就可能有一次掷得点数6，故A错误；在B中，抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；在C中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的可能性会下雨，故C错误；在D中，随机事件，中至少有一个发生的概率不一定比，中恰有一个发生的概率大，如掷一枚骰子一次，向上的点数是偶数，=掷一枚骰子一次，向上的点数是奇数，则A，B中至少有一个发生的概率的概率是1，A，B中恰有一个发生的概率也是1，故D错误.故选：ACD．10．已知两圆，，则下列结论正确的是（

）A．两圆外离 B．两圆有3条公切线C．两圆相交，且两圆的公共弦长为 D．两圆的公共弦方程为【答案】CD【分析】计算得到，所以两圆相交.所以选项AB错误；两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程，利用弦长公式计算公共弦长得选项CD正确.【详解】解：由题得，圆心坐标为；,圆心坐标为.所以.所以，所以两圆相交.所以选项AB错误.两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程；所以圆心到公共弦所在直线的距离，公共弦的长为．所以选项CD正确.故选：CD11．设向量，，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】因为向量，，所以，，，所以，整理可得：，所以，解得：或，故选：AC.12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（

）A．B．与平面所成角为C．异面直线与所成角的余弦值为D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为【答案】AD【分析】设，则，由余弦定理求出的长，可得，由底面可得，由线面垂直的判断定理和性质定理即可判断选项A；计算即可判断选项B；计算即可判断选项C；建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，计算再结合图形可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A，由，及余弦定理得，从而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正确.对于B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，所以.故B错误.对于C，显然是异面直线与所成的角，易得.故C错误.对于D，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，此时.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，此时，所以，所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为.故D正确.故选：AD.三、填空题13．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为________.【答案】或13【分析】由空间两点间的距离公式可得答案.【详解】，所以，即所以m＝－7或13.故答案为：m＝－7或13.14．某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲､乙､丙､丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲､乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为___________.【答案】【分析】计算出基本事件总数及满足条件的有利事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【详解】由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为，，，，，共6种，“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含，，共3种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率.故答案为：．15．当直线：（）被圆：截得的弦最短时，实数的值为______．【答案】【分析】先求得直线l过的定点坐标，再由定点与圆心连线与直线l垂直时弦最短求解.【详解】直线：，即，圆：的圆心，半径为5．由解得故直线经过定点．要使直线被圆截得的弦长最短，需和直线垂直，故，即，解得．故答案为：．16．在如图所示的四棱锥中，，，，，，且，则直线与平面所成角的正弦值为_________．【答案】【分析】取的中点E，证明平面．以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】解：取的中点E．则．因为且．所以四边形是矩形，所以．因为且，平面.所以平面．以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则取，得．设直线与平面所成角为，则．故答案为：四、解答题17．已知圆过点，，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求线段的垂直平分线，再联立直线求解即可；（2）分析向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可【详解】（1）因为直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为1．又易知线段的中点坐标为，所以直线的方程为，即．因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．由，解得．所以圆心为，半径．所以圆的标准方程是．（2）由（1），知圆的圆心坐标为，将点向上平移1个单位长度后得到点，故圆的圆心坐标为，半径为，故圆的标准方程为．18．乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，会定期地举办乒乓球竞赛.已知该中学高一､高二､高三三个年级的人数分别为，现采取分层抽样的方法从三个年级共抽取7人参加校内终极赛.（1）求该中学高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数；（2）现从抽取的7人中再随机抽取2人拍照做海报宣传，求“抽取的2人来自同一年级”的概率.【答案】（1）高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数分别为3，2，2；（2）.【分析】（1）直接利用分层抽样计算可得；（2）列举基本事件，利用古典概型求概率即可.【详解】解：（1）高一､高二､高三三个年级的人数分别为，则分层抽取的人数比为，由于，所以高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数分别为3，2，2.（2）设抽取的7人中高一的3人分别用表示，高二的2人分别用表示，高三的2人分别用表示，则从抽取的7人中再随机抽取2人的所有可能结果为共21种，抽取的2人来自同一年级的所有结果为共5种，故“抽取的2人来自同一年级”的概率.【点睛】古典概型的概率计算中列举基本事件的方法：（1）枚举法；（2）列表法；（3）坐标法；（4）树状图法.19．××市正在积极创建文明城市，市交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区某路口随机检测了辆车的车速.现将所得数据分成六段：､､､､､，并绘得如图所示的频率分布直方图.（1）现有某汽车途径该路口，则其速度低于的概率是多少？（2）根据直方图可知，抽取的辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？（3）在抽取的辆且速度在内的汽车中任取辆，求这两辆车车速都在内的概率.【答案】（1）；（2）()；（3）.【分析】（1）计算出前四个小矩形的面积和即可；（2）平均数的估计方法：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（3）用列举法求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．然后可得概率.【详解】（1）由频率分布直方图得速度低于的频率为：，∴现有某汽车途径该路口，则其速度低于的概率是；（2）根据直方图可知，抽取的辆汽车经过该路口的平均速度约是：()；（3）在抽取的辆且速度在内的汽车共有：辆，其中速度在[内的汽车抽取辆，设为､，速度在内的汽车抽取辆，设为､､､，从中任取辆，其基本事件为：､､､､､､､､､､､､､､，总数为，这两辆车车速都在内包含的基本事件为：､､､､､，总数为，∴这两辆车车速都在内的概率.20．已知圆，直线．（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线l被圆截得的最短弦长以及此时直线l的方程．【答案】（1）见解析；（2）最短弦长为，.【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.【详解】解：（1）直线化为，则，解得，所以直线l恒过定点，圆心，半径，又因，所以点在圆C内，所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，最短弦长为，，所以直线l的斜率为2，即，解得，所以直线l的方程为.21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，P为的中点，，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)设M为的中点，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．【分析】（1）证明平面，原题即得证；（2）以P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值；（3）证明平面，再利用向量法求二面角的余弦值.(1)证明：在中，∵，P为的中点，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.(2)解：在直角梯形中，∵，，P为中点，∴，且，则四边形为平行四边形，∵，∴，

由（1）可知，平面，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，∴