2022届青海省西宁市大通回族土族自治县高三第一次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2022届青海省西宁市大通回族土族自治县高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解出集合，利用交集的定义可求得结果.【详解】因为，因此，.故选：A.2．A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：由于；故选C．【解析】复数的运算．3．已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】由，因此，故选：B4．若，满足约束条件则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出不等式组表示的可行域，由得，平移直线并结合的几何意义得到最优解，进而可得所求最大值．【详解】画出可行域（如图阴影部分），平移直线，结合图形可得当直线经过可行域内的点A时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值．由，得，∴当直线过点时，取最大值，最大值为.故选：.5．已知某公交车早晨点开始运营，每分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于分钟的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由几何概型公式计算可得答案.【详解】由几何概型概率求法知所求概率.故选：.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三视图知该几何体为半圆柱，再结合面积公式求解即可【详解】由三视图知该几何体为半圆柱，底面是半径为的半圆，高为，因此表面积为.故选：.7．已知函数（，）的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由是该函数的周期的整数倍求解.【详解】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即：，，解得，，又，故其最小值为.故选：.8．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取值判断.【详解】即，所以是奇函数，排除A，B；当时，，，则，排除C.故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式判断函数图像，考查理解辨析能力和推理论证能力，是基础题.9．已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先证得的周期为，进而根据周期性和奇偶性以及对数得运算即可求出结果.【详解】因为函数为奇函数，所以，所以，所以，所以，即，所以的周期为.所以，又时，，所以，所以.故选：.10．在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可得.设可得数列为等差数列，其公差为，然后求出，即可得到，即可求解【详解】由，得，可得.设，可得数列为等差数列，其公差为，由，，可得，，,所以，故，所以.故选：.11．已知点在曲线：上，曲线在处的切线与圆：相切，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义，结合点到线的距离公式，由题意条件即可求解.【详解】由得，故的方程为，即.因为与相切，，圆的半径为，所以，解得.故选：.12．已知圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆锥底面半径，在中，利用勾股定理可构造关于圆锥外接球半径的方程，解方程求得，根据球的表面积公式即可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为，由题意得：，解得：.如图，是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心在上，连接，，设圆锥的外接球的半径为，则，则，，即，解得：，圆锥的外接球的表面积为.故选：C.二、填空题13．已知平面向量，，若，则___________.【答案】321.5【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】由，得，即，解得.故答案为：14．某中学决定从收集到的500份学生作品中，抽取20份进行展示，现采用系统抽样的方法，将这500份作品从001到500进行编号，已知第一组中被抽到的号码为013，则所抽到的第10组的号码为__________.【答案】238【分析】根据给定条件，求出系统抽样抽出的相邻两个编号的间隔，再计算第10个号码作答.【详解】依题意，系统抽样中，抽到的相邻两个编号的间隔为，而第一组中被抽到的号码为013，所以所抽到的第10组的号码为.故答案为：23815．已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是___________.【答案】【分析】利用点差法，代入为线段的中点，可求得，进而得，即可求得离心率．【详解】设，，，在椭圆上，所以，，两式相减，得，又为线段的中点，所以，即，即，所以.故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的离心率，用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解．16．记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.【详解】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.三、解答题17．在锐角中，角的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合正弦定理边化角，然后利用两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求出结果；（2）结合正弦定理边化角，然后根据正弦函数的图象与性质即可求出值域.【详解】解：（1），由正弦定理：，又，，，即：，.，，即（2），，由正弦定理有：，，，.，，为锐角三角形，，，，，，，即的周长的取值范围是18．在四棱锥中，平面平面，，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由余弦定理求得，由面面垂直的性质定理得与平面垂直，从而得线线垂直，求得，等腰三角形性质得线线垂直后可证得线面垂直；（2）通过转换法求得体积，，然后由体积公式计算．【详解】（1）证明：在四边形中，，，，，所以，所以，在中，由余弦定理得.在中，，，，所以，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.在中，可得，所以，是等腰三角形，且，，因为为的中点，所以，.又由，平面，，所以平面.（2）解：由平面，可得点到平面的距离是，点到平面的距离是到平面的距离的，即点到平面的距离为，所以.19．2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．截至2019年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1109万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2019年的0.6%，连续8年每年减贫规模都在500万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收人的频率分布直方图．(1)求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)2020年1月，统计了该地的一个家庭2019年7~12月的该家庭人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码x）123456人均月纯收人入y（元）275365415450470485由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？参考数据：；；线性回归方程中，，．【答案】(1)0.24，4.72千元(2)，630元【分析】小问1：由频率分布直方图概率和为1求出a，利用求平均数；小问2：先求，结合公式求b和a，写出回归方程，从而进行数据估计．【详解】(1)，平均数（千元）．(2)，，，，，所以回归直线方程为：，当时，（元）．估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为630元．20．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】(1)y=x–1,(2)或．【详解】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．21．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果；（2），利用导数求出的最小值大于即可得证明不等式成立.【详解】（1），当时，在R上单调递减；当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为.（2）证明：当时，，令，，令，因为恒成立，所以在R上单调递增，，由零点存在性定理可得存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，由二次函数性质可得，所以，即，得证．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线相交于点，，求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用加减消元法、二倍角的余弦公式，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；（2）把直线的普通方程化成标准参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可.【详解】解：（1）由（为参数），所以.则直线的普通方程为：；由，所以又，，所以，则曲线的直角坐标方程为：.（2）由（1）可知：直线的参数方程