2019年全国卷Ⅰ高考卷含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3—i.设Z--―，贝uz1+2iA.2D.1A.2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7}，则BICUAA.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}.已知4:log0.2,b=20.2,c=0.20.3,则a<b<ca<b<ca<c<bc<a<bD.b<c<a 5 —1 5—1.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是——（加.618,2 2称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚5—1脐的长度之比也是-——.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长2度为26cm,则其身高可能是165cm175度为26cm,则其身高可能是165cm175cmC.185cmD.190cmsinx+x.函数f(x)= 在［—n,n］的图像大致为cosx+x2B.AB.A.C.D.B.-2+<C.D.B.-2+<3C.2-<3D..某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,…，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生.tan255°=2nD．52nD．5n.已知非零向量ab满足a|=2|b|,且（a-b）1瓦则a与b的夹角为.如图是求2+」y的程序框图，图中空白框中应填入2+21A.A= 2+AC1B.A=2+—AC.D.A=1+—2A则则C的离心率为.... X2 V2.双曲线C——t-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°a2b2A.2sin40°

B.2cos40°

C. sin50o

D.——-cos50°11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,①已知asinA—bsinB1=4csinC,cosA= ,4A.6B.5C.4D.312.已知椭圆C的焦点为甲T。尸2(1,0)的直线与C交于A,B两点,若|AF\=2|FB|,1AB1町则C的方程为二、13.14.15.16.B.C.D.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20二、13.14.15.16.B.C.D.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为3~记S”为等比数列｛3｝的前n项和.若a-1,S-，则S=n n 1 3 43兀-函数f(x)-sin(2x+—-3cosx的最小值为已知/4。5=90°,P为平面ABC外一点，PC=2,点P到NACB两边AC,BC的距离均为＜3，那么P到平面ABC的距离为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17.(12分)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'P(K2聂)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(12分)记Sn为等差数列U{an}的前n项和，已知S9=一a5.(1)若%=4,求｛3｝的通项公式；(2)若%>0,求使得Sn>an的n的取值范围..(12分)如图，直四棱柱ABCD-A1B1c1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,/BAD=60°,E,M,N分别是BC,(1)证明：MN〃平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离..(12分)已知函数f(x)=2sinx一xcosx一x,f(x)为f(x)的导数.(1)证明：f(x)在区间(0,n)存在唯一零点；(2)若x£［0,n］时，f(x)>ax，求a的取值范围..(12分)已知点A,B关于坐标原点O对称，|AB|=A,。M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+产0上，求。M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|—|MP|为定值？并说明理由.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〈'y=1-12 ,1+12411+12(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2pcos0+v3psin0+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值..［选修4-5：不等式选讲］(10分)已知a,b,c为正数，且满足abc=1.证明:1+1+La2+b2+c2；abc(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>24.2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学解析一、选择题CCBB

DCDB(。a-b<1b・•.a—b<b=0rTr—［解析］.•・a・b-b.b=0一r八r2八/.abcos0-b=01 n/.cos0=-即0,2 3A【解析】将A选项的运算公式代入程序框图，当K=1时，A=」-，当K=2时，2+-2即答案为A.Db【解析】由题可知一=tan50。,

ab2 sin250o c2-a2 4 b【解析】由题可知一=tan50。,

a即——= = =e2-1ae2=1+ = a2 cos250o a2 cos250o cos250o即答案为DAb2+c2—a2—3c2 3c1一、，【解析】由题可知a-b-4c,cosA= 2bc =,二一2b"一“即答案为AB【解析】当直线斜率不存在时，如图所示：即FA-2BF?=AB-BF1即AABF1为等边三角形，由几何关系知AF1+AF2-2v13-2a即其标准为方程为B.、填空题13.曲线y=3(x2+x)e，在点(0,0)处的切线方程为【答案】y=3x解析:3~记S为等比数列｛a』的前n项和.若a=1,S=：,则S=n n 1 3 4 3n-函数f(x)=sin(2x+—-3cosx的最小值为..已知/4。5=90°,P为平面ABC外一点，PC=2,点P到NACB两边AC,BC的距离均为,豆，那么P到平面ABC的距离为14．15．4三、解答题.解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为50=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8. 30 … . 女顾客中对该商场服务满意的比率为—=0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.叱 100x(40x20-30x10)2,…K2= —六4.762.50x50x70x30由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．解：(1)设的公差为d.由S=-a得a+4d=0.由a3=4得％+2d=4.

于是“1=8,d=—2.n（n-9）d.2，0，解得1Wnn（n-9）d.2，0，解得1Wn<10.（2）由（1）得a=-4d，故a=（n一5）d,S=1 n n由a>0知d<0，故S..a等价于n2-11n+101 nn所以n的取值范围是｛n11釉10,ngN｝.19.解:（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，1一一所以ME〃BC，且ME=—BC.1 21又因为N为AD的中点，11所以ND=-AD.21由题设知ABLDC,可得BC=AD,11 1 1故ME=ND,因此四边形MNDE为平行四边形，MN〃ED.又MN0平面CDE,1所以MN〃平面CDE.1(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE1BC,DE1CC,1所以DE，平面CCE,1故DE±CH.从而CH,平面C1DE,故CH的长即为C到平面CDE的距离，1由已知可得CE=1,C1c=4,所以qE二由，故CH二甯从而点C到平面CDE的距离为望71720.解:(1)设g(%)=f'(x)，贝Ug(x)=cosx+xsinx-1,g'(x)=xcosx.当xG(0,y)时，g'(x)>0；TOC\o"1-5"\h\z(兀\ .一当xG-,兀时，g(x)<0,I2...一n (兀\所以g(x)在(0,-)单调递增，在彳,兀单调递减.2 12)一(兀、一 一又g(0)=0,g->0,g(兀)二一2,12J故g(x)在(0,兀)存在唯一零点.所以f'(x)在(0,n)存在唯一零点.(2)由题设知f(n)・・an,f(n)=0，可得a<0.由(1)知，f(x)在(0,兀)只有一个零点，设为x0，且当xG(0,x°)时，f(x)>0；当X£(X0,n)时，f(x)<0,所以f(x)在(。,x0)单调递增，在(x0,n)单调递减.又f(0)=0,f(n)=0,所以，当XG[0,兀]时，f(X)..0.又当a„0,xg[0,n]时，ax<0,故f(x)^ax.因此，a的取值范围是(—8,0].21.解：(1)因为eM过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线y=x上，可设M(a,a).因为eM与直线x+2=0相切，所以eM的半径为r=la+21.由已知得lAOl=2，uuuruuir又MO1AO，故可得2a2+4=(a+2)2，解得a=0或a=4.故eM的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0)，使得lMAl—lMPl为定值.理由如下：设M(x,y)，由已知得eM的半径为r=lx+2l,lAOl=2.uuuruur由于MO1AO，故可得X2++4=（1+2）2,化简得M的轨迹方程为丁2=4x.因为曲线c：^二4x以点P（1,O）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线,\MP\=x+l.因为IMAI—IMP=r—IMR=x+2—(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.,1 17222.解：(1)因为一——1+?2<1,且12+4P+EC的直角坐标方程为举+宁=1（"一1）.I的直角坐标方程为2x+"y+11=0.（2）由（1）可设。的参数方程为X=cosoc,c.(a为参数，-7l<a<7l).y=2sma——JqJ2cosce+2的sina+111C上的点到/的距禺为 三 aMT+112兀t/—时，4cos--+11取得最小值7,3）。上的点到/距离的最小值为J7.23.解：(1)因为“2+/?2N2血+。2N2Z?c,c2+。2N2ac,又abc