分类讨论在初中数学解题中的应用

分类讨论在初中数学解题中的应用

所谓分类讨论，就是根据所研究对象的性质差异分各种不同的情况予以分析解决.涉及分类讨论的试题综合性强，往往要求学生的知识面较广，且具有较高的逻辑思维能力.运用分类讨论的方法求解数学问题的基本策略是“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复，不遗漏的分析讨论.”求解的关键在于正确地进行分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学——既不重复，又不遗漏.本文拟例说分类讨论在解题中的应用.一、按数分类例1比较有理数a与8a的大小.分析待比较的两数都是和有理数a有关的数，而a作为一个字母，表示有理数，它根据有理数的分类又具有不确定性，这里又涉及有理数分类的概念.解显然|8a|≥|a|，当a＞0时，a，8a都为正数，则根据正数的比较法则，绝对值大就大，所以8a＞a；当a=0时，a=8a=0；当a＜0时，a，8a都为负数，由负数的比较法则，绝对值大的反而小，所以a＜8a.二、字母的取值范围分类例2解方程-2|x-2|-4=0.分析含有绝对值符号的解方程题，如已确定某些未知数的取值，就按这个未知数的取值根据绝对值的意义，化去绝对值符号，进而解方程.如没有告诉某些未知数的取值或取值范围，那么就找出这个绝对值符号内的界值（使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值），然后逐一讨论.综上所述，原方程的解是x=2或x=-4.三、按事件的可能情况分类例3如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有______个.（上海市1999年中考填空题第19题）解析本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：（1）绕点C旋转，有一解；（2）绕点D旋转，有一解；（3）绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点.这样就得出了本题的正确答案：有3个.四、按图形的位置特征分类例4已知一次函数y=-x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形.解析本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定.△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB.先可以求出B点坐标（0，3，A点坐标（9，0）.设P点坐标为（x，0），利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为（-9，0），（3，0），（9+6，0），（9-6，0）.（不适合条件的解已舍去）例5（漳州市2010年中考解答题第25题）如下图，已知A（1，0）、B（0，3），把△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△OCD.以E为顶点的抛物线y=a+bx+c经过A、B、D三点，连接EC、ED.（1）该抛物线的函数关系式为：______，直线CE的函数关系式为：______；（2）证明△CDE是等腰直角三角形；（3）在射线CE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△OCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.分析本题（3）中以C、D、P为顶点的三角形与△OCD相似的相似比由于P点位置不确定而没有确定，需要分类讨论.解（1）抛物线的函数关系式为：y=--2x+3，直线CE的函数关系式为：y=-3x+1.（2）略.（3）设点P（x，-3x+1）.①若点在线段CE上，如图所示.因为∠4＞∠5，所以∠4＞45°.又因为OD＞OC，所以∠3＞∠2，所以∠3＞45°.综上所述，在射线CE上存在点P（-，2）或P（-3，10），使得以C、D、P为顶点的三角形与△OCD相似.例6（漳州市2010年中考解答题第26题）在梯形ABCD中，AD//BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm.动点P、Q同时从A点出发，点P沿线段AB→BC→CD的方向运动，速度为2cm/s；点Q沿线段AD的方向运动，速度为1cm/s.当P、Q其中一点先到达终点D时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（）.（1）当点P在线段AB上运动时（如图1），S与t之问的函数关系式为：______，自变量t的取值范围是______；（2）当点P在线段BC上运动时（如图2），请直接写出t的取值范围，并求S与t之间的函数关系式；（3）试探究：点P在整个运动过程中，当t取何值时，S的值最大？分析在（3）中由点的运动变化引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解.解（1）、（2）略；因为CD=6，所以∠DCE=30°，所以∠D=60°.③当点P在线段CD上（不与D点重合）时，4≤t＜7.过点P作P⊥AD于F，如图5.因为PD=14-2t，综上所述，在整个运动过程中，当t=4时，S的值最大.除上述导致分类讨论的原因外，还有某些实际问题其本身隐含着不同的情形，需进行分类讨论；数学中的一些结论