线性代数习题答案

线性代数习题答案第1页/共263页3.方程组有解:[].C

二、填空题.

1．4阶行列式等于[].1

第2页/共263页2.行列式中元素a11的代数余子式等于[].6

3.中,x3的系数是[]..

4.设a,b为实数,则当a=[],b=[]时,0

0

-2

5．的第四行各元素余子式之和的等于[].第3页/共263页M41+M42+M43+M44

.

所以，第四行各元素余子式之和等于[-28].=-A41+A42-A43+A44

第4页/共263页三、解答题1．设，试求A41+4A42+2A43的值.

解A41+4A42+2A432.设,已知代数余子式A31=-2,求A12.

解由于A31=2-4x=-2,所以,x=1.于是A12=-9.第5页/共263页3、计算下列行列式(1)D=

解D=第6页/共263页

解第7页/共263页

解按第一列展开,有第8页/共263页第9页/共263页

解按第一列展开,有第10页/共263页第11页/共263页

解n=1时

原式=|1|=1n=2时n3时,让各列都减去第三列,则有第12页/共263页=6(n3)!第13页/共263页

解

第14页/共263页

解

第15页/共263页

解

第16页/共263页第17页/共263页第18页/共263页

解

第19页/共263页

解

第20页/共263页

解第21页/共263页

解构造n+1阶Vandermonde行列式第22页/共263页

可见,Dn就是D的余子式Mn,n+1.

利用Vandermonde行列式结果有

将D按第n+1列展开则有比较上两式中xn-1项系数可得第23页/共263页4.解下列方程式

解(1)由于

所以,x=4或x=－2.(2)由于(x－2)(x2－2x＋1)＝0，即，(x－2)(x－1)2＝0，所以，x＝2或x＝1.第24页/共263页

解将行列式按第一行展开可见,此方程式是关于x的n-1次多项式方程.所以方程应该有n-1个解.

而由行列式性质可见,当x=ai时,行列式等于零.所以x=ai(i=1,2,…,n-1)是方程的n-1个解.

所以方程共有n-1个解,分别为a1,a2,…,an-1.第25页/共263页

解将行列式2~n列都减去第1列可得即:-x(1-x)(2-x)…(n-2-x)=0

所以方程共有n-1个解,分别为0,1,2,…,n-2.(4)第26页/共263页5.利用Laplace展开定理计算下列行列式

解按一、三行展开可得：第27页/共263页

解按一、二行展开，再按一、二行展开可得：第28页/共263页6.用Cramer法则解下列方程组

解因为而且:所以,方程组的解为:第29页/共263页

解因为第30页/共263页第31页/共263页所以,方程组的解为:x1=1,x2=-1,x3=0,x4=2.第32页/共263页

解由已知有x＝D1/D=1，所以于是7．已知线性方程组有唯一解，且x＝1，求第33页/共263页

解取=AB=(0,3),=AC=(2,2),则有9．证明点A(1,2,3)、B(1,5,6)、C(3,4,3)、D(2,-1,-1)在同一平面上，并求出该平面的方程.8.求顶点分别为A(1,2),B(1,5),C(3,4)的三角形的面积.

解由于所以,点A、B、C、D在同一平面上.第34页/共263页即：x-y+z=2.

10.求一二次多项式p2(x),使p2(-1)=6,p2(1)=2,p2(2)=3.过点A、B、C、D的平面方程为

解令p2(x)=ax2+bx+c，带人条件可得解得，a=1,b=-2,c=3所以，p2(x)=x2-2x+3.第35页/共263页1.设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若|A|＝2,|B|=3,则分块矩阵的伴随矩阵为[].一.选择题习题二（54页）B(A)

;(B)

;(C);(D).

解由于AA*=|A|E=2E,BB*=|B|E=3E,所以有：所以,应选“

B”。第36页/共263页2.设A为3阶矩阵,将A的第二列加到第一列得矩阵B,再交换B的第二行和第三行得单位矩阵,记

,则A=[].

解由已知有:AP1＝B,(A)P1P2;(B)P1－1P2;(C)P2P1;(D)P2P1－1.所以,A＝BP1－1所以,应选“

D”。DP2B=E＝P2－1P1－1＝P2P1－1第37页/共263页5.设F,G都是4阶方阵,且|F|=2,|G|=-5,则|-3FG|等于[].3.设A是4阶方阵,且|A|=8,B=-1/2A,则|B|=[].D4.设G是5阶的可逆方阵,且|G|≠1,G*是G的伴随矩阵,则有[].CD第38页/共263页6.n阶矩阵A满足A2＝O,E为n阶单位矩阵,则[].

解由于(A－E)(A+E)=A2－E=E,所以(A)|A－E|≠0,但|A+E|=0;(B)|A－E|=0,但|A+E|≠0;|A＋E||A－E|=|E|=1，所以,应选“

D”。D(C)|A－E|=0,且|A+E|=0;(D)|A－E|≠0,且|A+E|≠0;第39页/共263页二.填空题

2.设A=(aij)是3阶非零矩阵,|A|是A的行列式,Aij是A的代数余子式,若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=().

解由aij+Aij=0可得,A*=－AT,于是－AAT=|A|E.所以,

－|A||AT|=|A|3,因此,|A|=0或|A|=－1.又由于,

A≠O,所以,AAT≠O,

因此,

|A|≠0.所以,

|A|=－1.－1两边同取行列式，A的行列式相当于一个数kp36且和转置行列式相等第40页/共263页

解因为3.设,B=P－1AP,其中P为三阶可逆矩阵,则B2004－2A2=().

所以,B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=P-1E501P-2A2=E-2A2第41页/共263页4.设1,2,3,,均为4×1矩阵,A=(1,2,3,),B=(1,2,3,),且|A|=2,|B|=3,则|A-3B|=().56

解|A-3B|=|-21,-22,-23,-3|=-8|1,2,3,-3|=-8(|1,2,3,|+|1,2,3,-3|)=-8(|A|-3|B|)=565.若对任意n1矩阵X,均有AX=O,则A=().

解A=AE=A(e1,e2,…,en)=(Ae1,Ae2,…,Aen)=O.O第42页/共263页三.解答题1.设阶矩阵A,B满足AB=BA,试证明下列等式：

证明(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2(1)(A+B)2=A2+2AB+B2(2)A2－B2=(A+B)(A－B)=(A－B)(A+B)

证明(A+B)(A－B)=A2－AB+BA－B2=A2－B2(A－B)(A+B)=A2+AB－BA－B2=A2－B2第43页/共263页

解令则有

所以，z=0，x=w.2.求与乘法可交换的所有矩阵.即与乘法可交换的所有矩阵为：第44页/共263页所以A6=(-E)(-E)=E,A12=E3.设,求A6及A11.

解由于A11=A-1=第45页/共263页4.设,求(P-1AP)n,An(n为正整数).

解(P-1AP)n=P-1AnP.所以第46页/共263页

解利用分块对角矩阵求逆公式可得5.求下列矩阵的逆矩阵第47页/共263页

解因为第48页/共263页

所以，

解法2由于所以，A(1/4A)=E.于是，A-1=1/4A.第49页/共263页6.已知X=AX+B,其中求矩阵X.

解由X=AX+B可得,(E-A)X=B,X=(E-A)-1B,所以第50页/共263页

解由于A*=|A|A－1=aA－1,所以|A*|=|aA－1|=an|A－1|=an－17.设A是n阶方阵,且|A|=a0,求|A*|.

8.设实方阵AO,且A*=AT,证明|A|0.

证明由于AAT=AA*=|A|E,

记A=(aij)n,则ai12+ai22+…+ain2=0,i=1,2,…,n

所以|A|0.

由于A是实矩阵,所以有aij=0,i,j=1,2,…,n,若|A|=0,则有AAT=O即A=O,矛盾.第51页/共263页9.设A是n阶方阵,满足Am=E,其中m是正整数,E为n阶单位矩阵,A*是A的伴随矩阵,证明(A*)m=E.

证明由于|Am|=|A|m=|E|=1,所以，|A|=1.(A*)m=(A*)mE=(A*)mAm=(A*A)m=Em=E又由于A*A=|A|E=E,所以有

解由已知可得:B(A－E)=2E,所以|B||A－E|=|2E|=4又由于|A－E|=2,所以|B|=2.10.设矩阵,且满足BA=B+2E,求|B|.

第52页/共263页11.设A,B为3阶方阵,且|A|=3,|B|=2,|A－1+B|=2,求|A+B－1|.

解由于A(A－1+B)＝(A+B－1)B所以,|A||A－1+B|＝|A+B－1||B|于是,|A+B－1|＝3.

证明

(E－A)(E+A+A2+…+Ak－1)=E－Ak=E12.设A为n阶方阵,若Ak=0,其中k为正整数,证明(E－A)－1=E+A+A2+…+Ak－1=(E+A+A2+…+Ak－1)－(A+A2+…+Ak－1+Ak)所以(E－A)－1=E+A+A2+…+Ak－1第53页/共263页13.若A,B为n阶方阵,且E+AB可逆,试证

证明(E+BA)[E－B(E+AB)－1A](E+BA)－1=E－B(E+AB)－1A所以=E－B(E+AB)－1A+BA－BAB(E+AB)－1A=E－B[(E+AB)－1－E+AB(E+AB)－1]A=E－B[(E+AB)(E+AB)－1－E]A=E－B[E－E]A=E(E+BA)－1=E－B(E+AB)－1A第54页/共263页14.若A,B为n阶方阵,且2A－1B＝B－4E,E是n阶单位矩阵,试证:A－2E是可逆矩阵.

证明由已知有：2B=AB－4A,(A－2E)B=4A所以,|A－2E||B|=|4A|=4n|A|≠0因此,A－2E是可逆矩阵.15.设A,B,C均是n阶方阵,如果C=A+CA,B=E+AB,求证:B-C=E.

证明由C=A+CA可得C=A(E-A)-1，

由B=E+AB可得B=(E-A)-1,所以B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E第55页/共263页16.设方阵A满足A2＋A－3E=O,证明A－E和A+2E都可逆,并求(A－E)－1.

证明由A2+A-3E=O可得:(A－E)(A+2E)=E所以,A－E和A+2E都可逆,而且,(A－E)－1=A+2E17.对下列每一对矩阵A,B,求一个可逆矩阵P,使得,PA=B.

解由于交换A的2,3行得B,所以,P=E[2,3].第56页/共263页

解由于A的三行减二行2倍得B,所以P=E[3+2(-2)].,

或P=P[3+2(2)]P[1,2]

解由于将A的第一行2倍加到第三行,再交换1,2行得B,所以，P=E[1,2]E[3+1(2)].第57页/共263页18.设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C，求满足AQ=C的可逆矩阵Q.

解由已知有:AE[1,2]=B,BE[2+3(1)]=C所以有,AE[1,2]E[2+3(1)]=C于是,Q=E[1,2]E[2+3(1)],第58页/共263页用分块矩阵求:(1)AB;(2)BA;(3)AB-BA;(4)A-1.

19.设

解

第59页/共263页20.设对角矩阵A=diag(a1,a2,…,an),其中aiaj(ij),证明:与A可交换的矩阵一定是对角矩阵.

证明设矩阵B=(bij)与矩阵A可交换,即AB=BA,则

(AB)ij=(BA)ij,即aibij=bijaj

由于aiaj,所以bij=0,(ij),所以,B是对角矩阵.第60页/共263页21.某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为3岁,将其分成三个年龄组:第一组,0～1岁;第二组,1～2岁;第三组,2～3岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率分别为4和3只.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4.假设农场现有三个年龄段的动物各1000只,问2年后和3年后农场三个年龄组的动物各有多少只?

解用xi,yi,zi分别表示第i年后三个年龄组动物只数,则，故,2年后为(2750,3500,125),3年后为(14375,1375,875).第61页/共263页(A)该向量组的任何部分组必线性相关;(B)该向量组的任何部分组必线性无关；(C)该向量组的秩小于m;(D)该向量组的极大线性无关组是唯一的.习题三（63页）2.已知向量组1,2,…,m线性相关，则[].C一.选择题A1.n维向量组1,2,…,s线性无关的充分必要条件是[].

(A)该组中任意一向量都不能用其余向量线性表出；

(B)该组中任意两个向量都线性无关；

(C)该组中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出;(D)存在一组不全为0的常数k1,…,ks使k11+…+kss≠0.第62页/共263页3.向量组Ⅰ:1,2,…,s(s3)线性相关的充要条件是[].

(A)Ⅰ中每个向量都可以用其余的向量线性表出；

(B)Ⅰ中至少有一个向量可用其余的向量线性表出；

(C)Ⅰ中只有一个向量能用其余的向量线性表出；(D)Ⅰ的任何部分组都线性相关.CB(A)必有一个零向量；4.已知向量组U线性相关，则在这个向量组中[].(B)必有两个向量成比例；(C)必有一个向量是其余向量的线性组合；(D)任一个向量是其余向量的线性组合.第63页/共263页6.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则[].(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价；(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价；(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价；(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.5.已知向量组1,2,…,m的秩为r(rm),则该向量组中[].(A)必有r个向量线性无关；(B)任意r个向量线性无关；(C)任意r个向量都是该向量组的极大无关组；(D)任一向量都可由其余向量线性表出.BA第64页/共263页C(A);(B);(C);(D).7.设,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是[].

解因为所以,向量组1,3,4线性相关.第65页/共263页1.设,则k=______时,1,2,3,4线性相关所以，k=-5/13时,1,2,3,4线性相关.-19/2二.填空题-5/13

解由于2.当k=_____时,向量=(1,k,5)能由向量线性表示.

解由于91-82=(2,-19,10)，所以,2k=-19线性相关.第66页/共263页4.设向量组线性无关,则a,b,c必满足关系式

.所以，R(1,2,3,4)=4abc≠04

解由于

解由于，所以，abc≠0.3.设,则秩(1,2,3,4)=______.第67页/共263页

解

(1)31+52－3=(1,4,－25,7)2.设向量组1,2,3线性相关,2,3,4线性无关,问

(1)1能否由2,3线性表出?证明你的结论;(2)4能否由1,2,3线性表出?证明你的结论.三.解答题1.设1T=(4,1,－3,－2),2T=(1,2,－3,2),3T=(16,9,1,－3)(1)求线性组合31+52－3.(2)求内积[1,2]和向量1的长度|1|.(2)[1,2]=11,|1|=

解(1)由2,3,4线性无关知2,3线性无关,再由1,2,3线性相关知1可由2,3线性表示.(2)由2,3,4线性无关知4不能由2,3线性表示,再由(1)知4不能由1,2,3线性表示.第68页/共263页3.判断下列向量组的线性相关性：

解令k1(1,1,0)+k2(0,1,1)+k3(3,0,0)=0即(2)(2,0,0),(0,－1,2),(0,2,1);

解因为向量组是正交向量组,故线性无关.(1)(1,1,0),(0,1,1),(3,0,0);所以,k1=k2=k3=0,故(1,1,0),(0,1,1),(3,0,0)线性无关.第69页/共263页解因为(4)(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,－3,4,11,12);(3)(4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);所以,向量组的秩等于3，故向量组线性相关.解因为所以,向量组的秩等于4，故向量组线性无关.第70页/共263页4.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.

解由于而且有所以，1,2,3

是一个极大线性无关组.4=-3/21+1/22-3/23,第71页/共263页

解由于所以，1,2,4

是一个极大线性无关组,而且有3=31+2，5=21+2第72页/共263页

解只当1,2,3

线性无关时,可由它们唯一表示.又由于所以,当k≠0且k≠1时,可由1,2,3唯一线性表示.5.设有三维向量,,,,问k取何值时，可由1,2,3线性表示,且表达式唯一.第73页/共263页

证明(1)如果有某个ki=0，则有6.已知m个向量1,2,…m线性相关,但其中任意m－1个都线性无关,证明:(1)如果存在等式k11+k22+…+kmm=0,则这些系数k1,k2,…,km或者全为零,或者全不为零;(2)如果存在两个等式k11+k22+…+kmm=0,l11+l22+…+lmm=0,其中l1

0,则k11+k22+…+ki-1i-1+ki+1i+1+…+kmm=0

由于这m－1个向量线性无关,故这些系数全为零.

所以,系数k1,k2,…,km或者全为零,或者全不为零.第74页/共263页(2)由于l1≠0,由(1)知l1,l2,…,lm都不为零.(2)如果存在两个等式k11+k22+…+kmm=0,l11+l22+…+lmm=0,其中l1

0,则

如果k1,k2,…,km全为零,结论显然成立.

如果k1,k2,…,km全不为零,则存在c≠0,使得k1=cl1，由已知可得：(k1-cl1)1+(k2–cl2)2+…+(km-clm)m=0由于k1-cl1=0,由(1)知k2–cl2=0,…,km-clm=0即，k1=cl1,k2=cl2,…,km=clm,所以有第75页/共263页

证明因为01+…+1i+…+(-1)j+…+0m=0而数0,…1,…,(-1),…,0不全为零.7.证明:若存在,使，则向量组线性相关.

所以1,2,…,m线性相关.8.设向量组1,2,3线性无关,问常数a,b,c满足什么条件时,a1－2,b2－3,c3－1线性相关.

解所以,abc=1时,a1－2,b2－3,c3－1线性相关.第76页/共263页

证明只证必要性：设1,2,…,s线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,…,ks,使得k11＋k22＋…＋kss＝0因此有k11＋k22＋…＋kii＝0，即9.证明:1,2,…,s(其中10)线性相关的充要条件是至少有一个i(1<is)可被1,2,…,i-1线性表示.由于10，故k2,…,ks不全为零，于是存在i(1<is)使ki0,但ki＋1＝ki+2=…=ks=0所以i(1<is)可被1,2,…,i-1线性表示.第77页/共263页10.设1,2,…,n线性无关,问向量组:1+2,2+3,…,n-1+n,n+1是线性相关,还是线性无关?并给出证明.故，n为奇数时线性无关,n为偶数时线性相关.

证明令k1(1+2)+k2(2+3)+…+kn(n+1)＝0则有(k1+kn)1+(k1+k2)2+…+(kn-1+kn)n＝0

所以(k1+kn)＝(k1+k2)＝(k2+k3)＝…=(kn-1+kn)=011.设i=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,n),证明:向量组1,2,…,n线性相关的充分必要条件是det(aij)=0.

证明

1,2,…,n线性相关R((aij))<ndet(aij)0.第78页/共263页12.设1,2,…,n是一组n维向量,已知n维标准单位向量组能由它们线性表示,证明1,2,…,n线性无关.

证明1,2,…,n与n维标准单位向量组等价，所以R(1,2,…,n)=n,故，1,2,…,n线性无关.

证明充分性由10题可得；13.设1,2,…,n是一组n维向量,证明:它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示．

必要性:设1,2,…,n线性无关,则对任一n维向量由于，1,2,…,n，线性相关,所以向量可由向量组1,2,…,n线性表示.第79页/共263页14.将向量组1＝(1,1,0)T,2=(0,2,1)T,3=(0,0,3)T正交规范化.

解

先正交化，取1＝1＝(1,1,0)T,

再规范化，得

1,2,3就是所求的正交规范向量组.第80页/共263页15.设1＝(1,0,2,3)T,2=(1,1,3,5)T,3=(1,-1,a+2,1)T,4=(1,2,4,a+8)T,=(1,1,b+3,5)T,

解

由于(1)a,b为何值时,不能由1,2,3,4线性表示？(2)a,b为何值时,能由1,2,3,4唯一线性表示？并求出表示式.第81页/共263页

(1)当a＝－1,b≠0时,不能由1,2,3,4线性表示.

(2)当a≠－1时,能由1,2,3,4唯一线性表示,由于所以,第82页/共263页16.设1＝(1,－1,1,－1)T,2=(3,1,1,3)T,1=(2,0,1,1)T,2=(3,－1,2,0)T,3=(1,1,0,2)T,证明向量组1,2与向量组1,2,3等价.

证明

由于所以,R{1,2,1,2,3}=R{1,2}=R{1,2,3}=2.因此,1,2和1,2都是向量组1,2,1,2,3的极大无关组.故,向量组1,2与向量组1,2,3等价.第83页/共263页

证明

设向量组1,2,…,s的秩为r,任取它的一个线性无关组线性无关.17.证明:一个向量组的任一线性无关组都可以扩充为一个极大线性无关组.如果t<r,则向量组中一定存在向量j使所以任一线性无关组都可以扩充为含有r个向量的线性无关组，也就是向量组的一个极大线性无关组.第84页/共263页18.用初等变换化下列矩阵为阶梯形，并求其秩.

解

可见，R(A)=3.第85页/共263页

解

可见，R(A)=2.(2)第86页/共263页

解

可见，R(A)=2.第87页/共263页

解

可见，R(A)=3.第88页/共263页

解由于所以,R(A)=19.已知三阶矩阵,讨论R(A)的情形.第89页/共263页20.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(－1,－1,0,0,0).

解

可取为

可见，R(A)=4.第90页/共263页21.证明两个矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和，即

证明记A的列向量为1,2,…,n，其极大线性无关组为1,2,…,r,B的列向量为1,2,…,n,其极大线性无关组为1,2,…,s,则1,2,…,n可由1,2,…,r线性表示，1,2,…,n可由1,2,…,s线性表示，于是有

R(A+B)r+s=R(A)+R(B)

R(A+B)R(A)+R(B)1+1,2+2,…,n+n可由1,2,…,r,1,2,…,s线性表示，所以第91页/共263页22.设A与B可乘且AB=0,证明

证法一由于

R(A)+R(B)A的列数所以即：R(A)+R(B)A的列数

证法二由于AB=0,故B的列向量都是Aｘ=0的解,记A的列数为ｎ，R(A)=ｒ，则R(B)ｎ－ｒ，于是

R(A)+R(B)ｎ第92页/共263页23.设A为n阶方阵,且A2=A,证明:若A的秩为r,则A－E的秩为n－r,其中E是n阶单位矩阵.证明由A2=A可得A(E-A)=0，A+(E-A)=E由A(E-A)=0，可得R(A)+R(E-A)n由A+(E-A)=E，可得R(A)+R(E-A)R(E)=n，于是,R(A)+R(E-A)=n,即R(A-E)=n-r.24.设A为n阶方阵,且A2=E,证明:R(A+E)+R(A－E)=n.证明由A2=E可得(A+E)(A-E)=0，A+E+(E-A)=2E由(A+E)(E-A)=0，可得R(A+E)+R(E-A)n由A+E+(E-A)=2E，可得R(A+E)+R(E-A)R(2E)=n，于是,R(A+E)+R(E-A)=n.第93页/共263页

证明

因为R(A)=r,所以存在n阶初等方阵P1,P2,…Ps和m阶初等方阵Q1,Q2,…Qt，使得25.设nm阶矩阵A的秩为r,证明:存在秩为r的nr阶矩阵P及秩为r的rm阶矩阵Q，使A=PQ.于是第94页/共263页则，A=PQ,且P是nr阶矩阵，Q是rm阶矩阵．记于是，R(P)=R(Q)=r.又由于P1-1,P2-1,…Ps-1和Q1-1,Q2-1,…Qt-1都是初等方阵，所以第95页/共263页

解

利用行列式性质，有或，由于26.设,其中i(i＝1,2,3)是三维列向量,若|A|=1,求|B|.第96页/共263页

解(Ⅰ)由已知有R{1,2,3}<3，又由于

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)将1,2,3由1,2,3线性表出.27.设3维向量组，，不能由，，线性表出，所以，a=1.(Ⅱ)a=1时，又由于第97页/共263页所以,有

第98页/共263页

解由于s1=-2s2，所以L1，L2平行.

又由于M1-M2=(3,6,-9/2)=-3S2所以，L1,L2重合.28.试判断空间两直线：

与

的位置关系.第99页/共263页习题四（97页）

1．设A=(1,2,3,4)是4阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T是Ax=0的一个基础解系,则A*x=0的基础解系可为[].一.选择题

解由已知可得R(A)=3，且1+3=0所以,R(A*)=1,且2,3,4线性无关所以,2,3,4就是A*x=0的一个基础解系.D第100页/共263页

解因为R(A)=m时，总有R(A|b)=m,方程有解.3．若齐次线性方程组Ax=0有无穷多解,则非齐次线性方程组Ax=b[].(A)必有无穷多解；(B)可能有唯一解；

(C)必无解；(D)有解时必有无穷多组解.

解由已知有R(A)<n,故D保证成立.B

2．若方程组Amnx=b(mn)对于任意m维列向量b都有解，则[].D第101页/共263页4．若方程组Ax=b中,方程个数少于未知量个数,则有[].(A)Ax=b一定有无穷多组解；(B)Ax=b一定无解；

(C)Ax=0必有非零解；(D)Ax=0只有零解.

解因为R(A)m<n,所以,Ax=0必有非零解.5．n元线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件[].(A)R(A)=n；(B)A为方阵且|A|≠0；(C)R(A|b)=n;(D)R(A)=n,且b可由A的列向量组线性表示.

解只有D保证有R(A)=R(A|b)=n,方程有唯一解.CD第102页/共263页6．设A=(aij)是n阶方阵且|A|=0,若A中某元素aij的代数余子式Aij≠0，则Ax=0的基础解系中解向量个数是[].(A)1；(B)i；(C)j；(D)n.

解因为|A|=0,Aij≠0，所以R(A)=n-1.7．设A为n阶方阵,且R(A)=n-1,1,2是非齐次方程组Ax=0的两个不同的解向量,则Ax=0的通解为[].(A)k1；(B)k2；(C)k(1-2);(D)k11+k22.

解由于R(A)=n-1,Ax=0的基础解系只有一个解.AC

又由于1-2是

Ax=0的非零解.第103页/共263页8．方程组Ax=0有非零解的充要条件是[].(A)A的任意两列向量线性相关；

(B)A的任意两列向量线性无关；

(C)A中必有一列向量是其余列向量的线性组合；

(D)A中任一列向量都是其余列向量的线性组合.

解因为A的列向量组线性相关⇔C9．方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是[].(A)A的行向量组线性无关;(B)A的列向量组线性无关;(C)A的行向量组线性相关;(D)A的列向量组线性相关.

解Ax=0只有零解⇔R(A)=n⇔BCB第104页/共263页10．设A是mn矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b对应的齐次线性方程组，那么[].(A)若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解；

(B)若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解；

(C)若Ax=b有无穷多解,则Ax=0仅有零解；

(D)若Ax=b有无穷多解,则Ax=0有非零解.11.设n阶行列式|A|=0,对非齐次线性方程组Ax=b,若D1,D2,…,Dn中(Dj是将|A|中第j列换为b后得到的行列式)至少有一个不等于零,则该方程组[].(A)无解；(B)尚不能确定是否有解；

(C)有唯一解；(D)有无穷多解.

解由已知可得R(A)<n,R(A|b)=n,故无解.DA第105页/共263页12.

设A为43矩阵,1,2,3是方程组Ax=的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=的通解为[].(A);(B);(C);(D).C

解由已知可得2-1和3-1是Ax=0的两个线性无关的解.于是R(A)1，所以R(A)=1.

于是2-1和3-1是Ax=0的基础解系.又由于(2+3)/2是Ax=的解.故应选C.第106页/共263页1.设A是mn矩阵,在齐次线性方程组Ax=0中,若R(A)=r,则当1,2,…,k是Ax=0的一个基础解系时k______,当r=______时,此方程组只有零解.二.填空题2.若n元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当____时,方程组有唯一解;当____时,方程组有无穷多解.3.设A=(aij)33是实正交矩阵,且a11=1,b=(1,0,0)T,则线性方程组Ax=b的解是_____________.

解由已知可得：，且A-1=AT.n-rnr=nr<n(1,0,0)T第107页/共263页4.设A为m阶方阵,存在非零的mn矩阵B,使AB=O的充分必要条件是_______________________________.5.设A为mn阶矩阵,存在两个不相等的nr阶矩阵B,C使AB=AC的充分必要条件是_________.

解由于R(A)<m或|A|=0或A不可逆R(A)<n-26.设方程组有无穷多个解,则a=___.第108页/共263页三、解答题

解1.求下列齐次线性方程组的一个基础解系:第109页/共263页所以,方程组等价于分别取得一个基础解系为:第110页/共263页

解第111页/共263页所以,方程组等价于分别取x3=1,x4=0和x3=0,x4=1得一个基础解系为:第112页/共263页

解第113页/共263页所以,方程组等价于取x4=1得一个基础解系为:第114页/共263页

解可见,R(A)=4,方程组只有零解,没有基础解系.第115页/共263页

解2.求下列非齐次线性方程组的通解:第116页/共263页同解方程组为:通解为:第117页/共263页

解由于第118页/共263页可见,R(A┇)=R(A)=4,方程组有唯一解.方程组的解为:x=(－8,3,6,0)T第119页/共263页

解可见,R(A┇)=R(A)=3,所以方程组无穷多解,通解为第120页/共263页

解可见,R(A┇)=3,R(A)=2,所以方程组无解.第121页/共263页

解因为所以,=1时,R(A┇)=R(A)=2,方程组有解,通解为3.问为何值时,线性方程组有解,并求出通解.第122页/共263页

解由于,试讨论当a,b为何值时,4.设(1)不能由1,2,3线性表示;(2)可由1,2,3线性表示,且表示式不唯一;(3)可由1,2,3唯一线性表示,并求出表示式.所以,(1)a=0,5b+12≠0时,不能由1,2,3线性表示.(2)a+5b+12=0时,能由1,2,3线性表示,且表示式不唯一.第123页/共263页(3)a0且a+5b+12≠0时,能由1,2,3唯一地线性表示,且由于可知,表示式为:=(1-1/a)1+(1/a)2.第124页/共263页

解法1因为5.已知线性方程组同解，试确定a,b,c.与可知,(6,-4,-1,0)T和(0,1,1,-1)T都是第二个方程的解,也是第一个方程的解，带人第一个方程得：a=2，b=4，c=4，而且此时有第125页/共263页所以，两个方程组同解.

解法2因为方程组同解系数矩阵行向量组等价.

记则有向量组1,2,3和1,2,3等价.又由于1=(1,a,-1,2,-1),2=(2,1,b,1,4),3=(2,2,3,c,1),1=(1,1,1,1,1),2=(0,-1,2,-1,2),3=(0,0,1,2,-1)第126页/共263页所以,a=2,b=4,c=4时,向量组1,2,3和1,2,3等价.因此,a=2,b=4,c=4时,两个方程组同解.第127页/共263页

证明

因为B可逆,所以BA的行向量组与A的行向量组等价.7.A是n阶矩阵,证明:存在n阶非零矩阵B,使AB=O的充分必要条件是|A|=0.6.设A是m×n矩阵,P是m×n矩阵，,B是m×m矩阵,求证:若B可逆且BA的行向量都是方程组Px=0的解,则A的每