基于APOS理论的数学概念教学设计

基于APOS理论的数学概念教学设计

一、何谓APOS理论？APOS理论是由美国数学教育学家杜宾斯基（Dubinsky）在20世纪80年代提出的一种关于数学概念学习的新理论，是一种具有数学学科特色的建构主义学习理论，被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一.它分别是由英文action（操作）、process（过程）、object（对象）和schema（图式）的第一个字母所组合而成.这种理论认为，学生学习数学概念必须要进行心理建构，这一建构过程要经历四个阶段：（1）活动阶段：数学教学是数学活动的教学，操作运算行为是数学认知的基础性行为.学生与数学家一样，要亲自投入，通过实际经验来获得知识.（2）过程阶段：不断重复这种操作，学生从中得到不断反思，于是就会在大脑中进行一种内部的心理建构，即形成一种过程模式.这种过程模式使得操作呈现出自动化的表现形式，而不再借助于外部的不断刺激.（3）对象阶段：当学生意识到可以把这个过程看作是一个整体，并意识到可以对这个整体进行转换和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象，形成一个“实体”.这时不但可以具体地去指明它所具有的各种性质，也可以此为对象具体地去实施各种特定的数学演算.（4）图式阶段：个体对操作、过程、对象以及他自己头脑中的原有的相关方面的问题图式进行相应的整合、精选就会产生出新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应.显然，个体的思维和认识状况在这种持续建构中已经上升到更高的层次.即对有关概念进行了更高层次的加工和心理表征.二、APOS理论下的基本不等式教学策略1.基于APOS理论的基本不等式的教学策略教材中，对基本不等式内容的编排符合APOS理论对于数学概念学习的心理建构过程，因此运用此理论能设计出更好的基本不等式教学策略.下面以基本不等式的教学为例.要使大部分学生达到操作阶段，在教学中对此阶段不可马虎，因为它是学生掌握性质的第一阶段.为了让学生在一步步的操作中获得对基本不等关系的初步认识，我们可选取一个与生活联系密切的问题（天平称物重问题），并让学生思考如何合理地表示物体的质量？同时通过Excel计算，让学生通过取一些具体数据进行试验，作出猜想，以加深其对与大小关系的直观印象.在通过猜想得到与大小关系后，引导学生如何来论证此猜想.从而进一步归纳证明不等式的基本方法，然后揭示基本不等式的本质：描述的是两个非负数的算术平均值与几何平均值的关系，再让学生完成一个对具体数学问题的解决，以巩固这一知识.这种根据实际问题逐步抽象，用语言或解析式来表示基本不等式的过程即达到了APOS理论中的过程阶段.最后一环节“图式”阶段.尽管大量的习题对学生巩固基本不等式是有效的，但不可效仿传统的“题海式”，而应考虑例题的特点，以生活中的实例（回到开始天平称物重的实例），让学生从具体到抽象进一步体会运用基本不等式解决函数的最值问题及不等式的证明问题，通过对基本不等式的多种几何解释，完成最后的图式阶段，从另一个角度加深对基本不等式的认识.2.基于APOS理论的基本不等式的教案基本不等式在高中数学中的重要性不仅在于它的概念理解，还体现在利用基本不等式解决函数的最值问题和不等式的证明问题.根据笔者对APOS理论的理解设计出以下基本不等式的教学方案.第一阶段：观察与操作（活动阶段）——表现活动为主的感性认识问题1用一个天平称一件物品，如何操作方能合理地表示物体的重量？：把砝码放在一边，物体放在另一边就行了！：不对，天平可能不等臂，为些要左右各秤一次，将两次所称重量a，b相加后除以2就可以了.师：的做法合理吗？请大家讨论，给出理由！：不合理，这样的做法仍然存在偏差，根据物理学科的杠杆原理，在的基础上可求出物体的真实重量，应该为.设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣.在APOS理论中达到操作阶段，对于一个未知（是否等臂）的天平而言，简单的操作显然可能导致出现偏差.通过小组的讨论能找出最佳的称物重的方法，并发现与的大小关系，为基本不等式提供了视觉支撑和数学符号支撑.第二阶段：综合分析（过程阶段）——思维活动为主的理性思考师：非常好，能自我修正！那么在数学中，验证能替代证明吗？有没有更加严格的论证方法呢？问题2上述不等式成立吗？请说明理由！学生活动，小组讨论部分：师：这就是证明不等式的基本方法之一：作差法.这种证法大家很容易发现.问题3如何理解“当且仅当”的含义？：就是两者等价的意思！师：说得能否再明白点呢？师：这种证法的特点是怎样的呢？：从结果出发，一步一步倒推到已知的结论（或条件）！师：这种“执果索因”的证明方法称为“分析法”.其书写格式是：（1）要证，即证（或用表示即证）.（2）上述各步均可逆.（当且仅当a=b时，等号成立.）这种证法显然与分析法过程恰恰相反，是由已知结论（或条件）出发，一步一步推导结果.师：这种由因索果的证明方法我们称之为“综合法”.教师点评①比较法（比差、比商法）、分析法、综合法是证明不等式的基本方法.②强调“当且仅当”的重要作用.③比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件，并举反例加以说明）.设计意图学生在头脑中对反复的不等式的证明活动作出尝试，并不断进行分析、反思，通过思维的内化、整合与压缩，形成过程模式，抽象出基本不等式的概念，即“活动”内化为“过程”.此时个体能够对基本不等式的概念进行一般化，认识其实质，由此对概念的认识从感性上升到理性，从而为第三阶段形成概念做好铺垫.第三阶段：建构理论（对象阶段）——数学表示与应用问题4你能用准确的文字语言表述基本不等式吗？：两个正数a，b的算术平均数不小于几何平均数.问题5我们能否将基本不等式的条件进一步完善呢？设计意图在APOS理论中达到对象阶段，把a和b看成一个整体，对其进行分析.着重体现运用基本不等式的条件（非负实数）和定值（和定积最大，积定和最小）.师：非常好！我们不妨分组来解决大家提出的问题！设计意图通过学生互动，感受利用基本不等式来求解函数的最值问题，需要注意的有三点：一正二定三相等.在教学实践中，教师要充分利用实际问题、变式问题、开放问题以及学生自己的反例等具有启发性和探索性的问题，组织生动有趣的操作活动，将概念作为一个已知对象应用到它生存的土壤和背景中，并把它作为一个工具、一个新的对象来对待，力求从不同角度来加深学生对概念的认识，丰富学生对概念的理解，促进学生对概念的建构.第四阶段：形成图式（图式阶段）——辨析与反思问题9我们学习了基本不等式及其简单应用，那么我们能否换个角度来欣赏基本不等式呢？比如通过形的角度来解释此不等式呢？大家开始讨论，各小组内成员均发表自己的见解！师：很好！刚才的这个图标是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽图案.这个会议是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这个图案是我国汉代数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”.点评从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.设计意图通过图形的认识，加深学生对重要不等式的认识和理解，培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力.完成最后图式阶段，使学生从数和形两方面掌握完整的基本不等式的内涵和其他概念的区别和联系，并能在解决问题时创设与概念相关的问题情境.三、教学感悟上述案例围绕着“活动”、“过程”、“对象”和“图式”四个阶段实施概念教学，环环相扣，循序渐进，引导学生在自己的经验和数学本质之间不断对话，在连续性地回顾与反思过程中提升、扩充经验、认识，深化对数学概念本质的理解，使学生明确了：（1）概念的发生、发展过程及其产生的背景；（2）概念中有哪些规定和限制条件，它们与以前学过的哪些知识有着怎样的联系；（3）概念的名称和表示方法有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题.从而实现了真正意义上的概念建构，取得了较好的教学效果.但运用APOS理论指导数学概念的教学时需要注意以下几点.（1）数学概念的建立应遵循循序渐进的原则，不能一蹴而就.这就需要经过多次反复，螺旋上升，直至学生真正理解.同时APOS理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中，也不是每一课都必须遍历四个阶段，它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期，并不局限于某一堂课.（2）A-P-O-S四阶段是一个相对连续的过程.四个阶段也可认为代表着概念在学生脑海中建立起来的四个必经路段，并且它们是相对连续的过程.如果忽略P阶段直接由A阶段跳跃到O阶段，或是跨越O阶段直至S阶段都是不现实的.概念在学生大脑建立期间，任一阶段都是不可缺少的.缺少其中任一阶段建立起来的数学概念要么现实根基不牢，要么缺乏抽象、提升或是成熟应用.（3）不能将APOS绝对化，实际操作时，往往“活动”与“思考”可以穿插进行，活动中