等差数列练习题(有)

等差数列练习题(有)1.求等差数列$\\{a_n\\}$的通项公式，已知$a_3=5$，$a_6=14$，$a_{10}=26$。首先，设公差为$d$，则有以下等式：$$a_3=a_1+2d=5$$$$a_6=a_1+5d=14$$$$a_{10}=a_1+9d=26$$将三个式子联立，得$a_1=-7$，$d=4$。因此，该等差数列的通项公式为$a_n=-7+4(n-1)$。2.已知等差数列$\\{a_n\\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+3n$，求第$1$项和公差。设公差为$d$，则有$$S_n=\\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\\frac{(2a_1+(n-1)d)n}{2}$$将题目中给出的$S_n$代入上述公式中，得$$n^2+3n=\\frac{(2a_1+dn-d)n}{2}$$化简可得$$2n^2+(3-d)n=2a_1$$已知$S_n$，可以通过求出$a_n$来求得$n$的值，即$n=\\frac{-3+\\sqrt{9+8S_n}}{2}$。此时可将$a_n$带入上面的式子计算出$a_1$。同时，因为$a_{n+1}-a_n=d$，所以公差$d$也可以计算出来。3.已知等差数列$\\{a_n\\}$的前$9$项和为$135$，后$9$项和为$207$，求$a_1$和公差$d$。设公差为$d$，则有以下等式：$$\\frac{9}{2}(2a_1+(9-1)d)=135$$$$\\frac{9}{2}(2a_{10}+(9-1)d)=207$$化简得$2a_1+8d=30$，$2a_{10}+8d=46$。将两个式子相减后，得到$2(a_{10}-a_1)=16$，即$a_{10}=a_1+8d$。将$a_{10}$带入第二个式子中，可化简为$2a_1+16d=30$。联立前两个式子，解出$a_1=-3$，$d=3$。因此，该等差数列的通项公式为$a_n=-3+3(n-1)$。4.已知等差数列$\\{a_n\\}$的前$11$项和为$0$，后$11$项和为$110$，求$a_1$和公差$d$。设公差为$d$，则有以下等式：$$\\frac{11}{2}(2a_1+(11-1)d)=0$$$$\\frac{11}{2}(2a_{12}+(11-1)d)=110$$化简得$2a_1+10d=0$，$2a_{12}+10d=20$。因为$a_{12}=a_1+11d$，所以上述两个式子可以表示为$2a_1+32d=20$。将前两个式子联立，可得$a_1=0$，$d=0$。但因为这个数列并不是常数列，因此不存在等差数列的通项公式。5.等差数列$\\{a_n\\}$的前$10$项和为$50$，$\\{b_n\\}$的前$20$项和为$80$，且$b_n=a_n+2$，求$a_1$和公差$d$。设公差为$d$，则有以下等式：$$\\frac{10}{2}(2a_1+(10-1)d)=50$$$$\\frac{20}{2}(2(a_1+2)+(20-1)d)=80$$化简得$2a_1+9d=30$，$2a_1+19d=38$。将两个式子相减后，得到$10d=8$，故$d=\\frac{4}{5}$。将$d$带入前一个式子中，解得$a_1=\\frac{35}{5}-4d=\\frac{23}{5}$。因此，该等差数列的通项公式为$a_n=\\frac{23}{5}+\\frac{4}{5}(n-1)$。6.$a_1,a_2,a_3$是等差数列，$b_1,b_2,b_3$是等比数列，且满足$a_1b_1=a_2b_2=a_3b_3=k$，求$a_5$。由题可得$$a_2=a_1+d$$$$a_3=a_1+2d$$$$b_2=\\frac{a_1+d}{a_1}\\cdotb_1$$$$b_3=\\frac{a_1+2d}{a_1+d}\\cdotb_2$$为了求出$a_5$，我们需要先求得$b_4$，此时需要用到等式$a_1b_1=a_2b_2=a_3b_3$。将上述式子联立，可得$b_1=\\frac{k}{a_1}$，$b_2=\\frac{k}{a_1+d}$，$b_3=\\frac{k}{a_1+2d}$。因此，$b_4=\\frac{a_1+3d}{a_1+2d}\\cdotb_3=\\frac{k(a_1+d)(a_1+3d)}{a_1^2(a_1+2d)}$。利用等比数列的通项公式$b_n=b_1q^{n-1}$，其中$q$为公比，可得$$b_4=\\frac{k(a_1+d)(a_1+3d)}{a_1^2(a_1+2d)}b_1q^3$$因为$a_1b_1=a_2b_2$，故有$$a_1(a_1+d)=\\frac{k}{b_1}(a_1+d)(a_1+3d)$$化简后，得到$$q^3=\\frac{(a_1+d)^2(a_1+2d)}{a_1^2(a_1+3d)}$$将$q$计算出来之后，可以根据等差数列的通项公式求出$a_5$。7.等差数列$\\{a_n\\}$满足$a_5+a_8=53$，$a_3=14$，求$a_1$和公差$d$。设公差