流体力学漩涡理论

1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强度和速度环量）2.司托克斯定理3.汤姆逊定理4.海姆霍兹定理5.毕奥－沙伐尔定理6.兰金组合涡

第五章：旋涡理论(vortextheory)§５-１旋涡运动的基本概念有旋运动：ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动存在旋涡运动的流场旋涡场:旋涡理论园盘绕流尾流场中的旋涡园球绕流尾流场中的旋涡园柱绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡

涡线上所有流体质点在同瞬时的旋转角速度矢量与此线相切。涡线(vortexline)：一、涡线,涡管,旋涡强度流线(streamline)：

流线上所有流体质点在同瞬时的流速矢量与此线相切。涡矢量与涡线相切积分时将ｔ看成参数涡线微分方程：取涡线上一段微弧长该处的旋转角速度流速与流线相切流线微分方程：取流线上一段微弧长该处的速度涡管vortextube截面积为无限小的涡束称为涡索（涡丝）。涡丝vortexfilament流管元流截面积为无限小的流束称为元流dＪ＝ωndσ旋涡强度Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小如果是涡管的截面则J为涡管强度流量二、速度环量（velocitycirculation）：速度矢在积分路径方向的分量沿该路径的线积分。速度环量定义AB速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方向相同时（成锐角）为正,反之为负。ΓAB＝－ΓBA漩涡理论速度环量的其他表示形式：速度环量单位为AB漩涡理论沿封闭周线C的速度环量Cα漩涡理论对于无旋流场:对于有旋场:速度环量的计算1)已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量AB漩涡理论2.若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量对于无旋场:对于有旋场:————斯托克斯定理

Cα漩涡理论三、斯托克斯定理沿任意闭曲线的速度环量等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍,即Γｃ＝２J或漩涡理论0cdabdxxydy斯托克斯定理证明三步曲：1、微元矩形abcd而微矩形面积ds上的环量：漩涡理论2有限平面推广到有限大平面（单连通区域）C所包围的区域σ内全部是流体，没有固体或空洞。单连通区域：3任意曲面Cσ区域在走向的左侧双连通域的斯托克斯定理C的内部有空洞或者包含其他的物体。复连通域(多连通域)：CＬＡＥＡˊＢＢˊ漩涡理论推论一单连域内的无旋运动，流场中处处为零，则沿任意封闭周线的速度环量为零沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。漩涡理论推论二对于包含一固体在内的双连通域，若流动无旋，则沿包含固体在内的任意两个封闭周线的环量彼此相等。Γｃ＋ΓＬ＝０Γｃ＝ΓＬ(与积分路径方向一致时)Γｃ=-ΓＬCＬＡＥＡˊＢＢˊ漩涡理论（3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）假设：（1）理想流体；（2）质量力有势；沿流体质点组成的任一封闭流体周线的速度环量不随时间而变.

汤姆逊定理:即§5-2汤姆逊定理漩涡理论2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：推论:流场中原来没有旋涡和速度环量的,就永远无旋涡和速度环量。

原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持环量不变2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压流场，非有势力。漩涡理论

§５-３海姆霍兹定理海姆霍兹第一定理（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）或涡面上漩涡理论（逆顺）

涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始不可能的情况涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。海姆霍兹第二定理——涡管保持定理正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管

即涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。涡管漩涡理论海姆霍兹第三定理——涡管旋涡强度不随时间而变

正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋涡强度不随时间而变。漩涡理论海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于粘性流体。海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。

因为流体的粘性将导致剪切、速度等参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时间衰减。漩涡理论§５-４毕奥一沙伐尔定理问题:已知旋涡场，能否确定速度场？由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场。诱导速度场与电磁场的类比磁场诱导速度场带电导线涡丝(线)电流强度ｉ旋涡强度诱导磁场强度诱导速度场场点方向:垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式微元涡丝ds在P点的诱导速度流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式单一有限长涡丝在P点的诱导速度典型实例：无限长直涡丝dx段对Ｐ点的诱导速度直涡丝ＭＮＭＮ段对Ｐ点的诱导速度：方向垂直于纸面向外θ１=０θ２=180°1.对于无限长直涡丝：2.对于半无限长直涡丝：θ１=90°θ２=180°点涡的诱导速度（R为场点至点涡的距离）这种速度场是无旋的（例3.4）无限长的直涡丝点涡！！点涡不对自身产生诱导速度例5.1如图强度相等的两点涡的初始位置，试就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。解:

(a)：Ａ点：由B—S定律B点：积分得:ｔ＝０时代入方程得:

Ｃ1=ａＣ2=０Ｃ3=-ａＣ4=０故Ａ，Ｂ两点的运动方程为:两点涡相对位置保持不变，它们同时沿ｙ方向等速向下移动。Ａ点：B点：转动的角速度为:情况(b)Ａ点和Ｂ点的运动方程为：§５-６兰金组合涡设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为ω。一、速度分布（1）旋涡内部：（r<R）速度呈线性分布（2）旋涡外部（r>R）外部流速与ｒ成反比。二、压力分布（1）旋涡外部：流动定常且无旋拉格朗日积分式(略去质量力)（r>R）r=R，V＝VR＝ωＲ（2）旋涡内部:定常有旋流动伯努利方程流线为同心圆族不同流线上压力不同欧拉方程（略去质量力）求解过程旋涡内部压力分布：

旋涡中心旋涡中心的相对压力为旋涡外部:速度越大压力越小旋涡内部:速度越小压力越小旋涡外部压力分布：结论：兰金涡:（Rankine）压力分布：重力的影响r<R内为旋转抛物面r>R区域，水面凹陷与ｒ2成反比例5.2设流场的速度分布为Vr＝０，Vθ=rω，ω＝const，求涡线方程。解：容易验证:ωx＝ωy＝０涡线方程:积分得:ｘ=Ｃ1ｙ=Ｃ2垂直于xoy平面的直线例5.3在大圆Ｓ内包含了A、BC、D四个旋涡,其强度分别为:ΓA=ΓB=＋ΓΓC=ΓD=－Γ

求:沿周线S的速度环量解:

由斯托克斯定理

S所围区域内速度环量为零，但该区域内并非处处无旋。解：

在极坐标下在圆周r=R上dxdy求:绕