样本及抽样分布

样本及抽样分布第1页，共37页，2023年，2月20日，星期六一总体与个体二样本与简单随机样本三统计量四顺序统计量与经验分布函数第一节样本与统计量机动目录上页下页返回结束2第2页，共37页，2023年，2月20日，星期六数理统计概述数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测.由于大量随机现象必然呈现它规律性，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来.客观上，只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，我们只能获得局部观察资料.机动目录上页下页返回结束3第3页，共37页，2023年，2月20日，星期六数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题,尽可能地作出精确而可靠的结论.数理统计方法具有“部分推断整体”的特征.机动目录上页下页返回结束4第4页，共37页，2023年，2月20日，星期六一总体与个体定义1研究“对象”的全体称为总体.注对象指的是某项数量指标.Population

总体中的元素称为个体.Individual

用X、Y、Z等表示总体.机动目录上页下页返回结束总体就是随机变量或随机变量的概率分布.称呼：正态总体、指数总体等.

5第5页，共37页，2023年，2月20日，星期六代表性：X1,X2,…,Xn与总体X同分布；定义3

简单随机样本(SRS):二样本与简单随机样本定义2从总体X中“抽取”的n个个体称为（来自）SampleSize样本（观测）值：记作或随机性确定性Simplerandomsample

以后谈及样本均指简单随机样本.独立性：X1,

X2,…,Xn相互独立.样本或总体X的容量为n的样本.

机动目录上页下页返回结束6第6页，共37页，2023年，2月20日，星期六定理

设总体分布函数为F(x),样本为（X1,X2,..,Xn),则（X1,X2,..,Xn)的联合分布函数为：机动目录上页下页返回结束若总体的密度函数为f(x),则其样本的(联合)密度函数为7第7页，共37页，2023年，2月20日，星期六例如，总体X～b(1,p)，X的分布律P{X=x}=px

(1－p)1－x,x=0,1.P{（X1,X2,X3）=（x1,x2,x3）}样本(X1,X2,X3)的联合分布律为机动目录上页下页返回结束8第8页，共37页，2023年，2月20日，星期六三统计量称为统计量.Statistic

统计量的分布称为抽样分布.相应地，T=T(x1,x2,…,xn)称为统计量T

的观测值.Samplingdistribution

定义4

不含未知参数的样本函数T=T(X1,X2,…,Xn)机动目录上页下页返回结束样本的函数（二次数据。样

本为一次数据、原始数据）①随机的②不含未知参数的9第9页，共37页，2023年，2月20日，星期六常用统计量样本k阶原点矩样本k阶中心矩相应的观测值注样本均值Samplemean

样本方差Samplevariance

样本标准差Samplestandarddeviation

Sampleoriginmomentoforderk

Samplecentralmomentoforderk

机动目录上页下页返回结束10第10页，共37页，2023年，2月20日，星期六——矩估计法的理论依据．样本均值与样本方差总存在且是随机变量；若总体k阶矩存在，则大数定律告诉我们总体均值与总体方差不一定存在,若存在则是数.若总体均值与总体方差存在，则机动目录上页下页返回结束样本矩与总体矩的关系11第11页，共37页，2023年，2月20日，星期六为由x1,x2,…,xn确定的经验分布函数.四顺序统计量与经验分布函数定义5称为样本的顺序统计量，其中的观测值个值.定义6设x1,x2,…,xn是总体X的样本值，称函数Empirical

distributionfunction

即机动目录上页下页返回结束是样本值按递增顺序排列后的第k12第12页，共37页，2023年，2月20日，星期六例如，设总体X的容量为10的一组样本观测值为(1,

2，4，3，3，4，5，6，4，8)，求X的经验分布函数。机动目录上页下页返回结束13第13页，共37页，2023年，2月20日，星期六经验分布函数与理论分布函数的关系经验分布函数Fn

(x)也可看作统计量.格里汶科（Glivenko，1933）证明了更强的结论：由独立同分布大数定律知机动目录上页下页返回结束x(1)x(k)1x(n)因为对于固定的x，Fn(x)是的函数.14第14页，共37页，2023年，2月20日，星期六一统计三大分布二单个正态总体的样本均值与样本方差的分布三两个正态总体的样本均值差与样本方差比的分布第二节抽样分布机动目录上页下页返回结束15第15页，共37页，2023年，2月20日，星期六

2分布一统计三大分布

t分布与正态分布有关

F分布机动目录上页下页返回结束16第16页，共37页，2023年，2月20日，星期六非负偏态

定义1

设X1,X2,…,Xn

iid且服从N(0,1)，则称2分布的pdf为服从自由度为n的2分布，记为2

2(n)

.2分布可加性且相互独立

则

数字特征机动目录上页下页返回结束Chi-SquareDistributionIndependentandidenticallydistribution17第17页，共37页，2023年，2月20日，星期六称服从自由度为n的t分布，记为tt(n).

t分布的pdf为对称定义2

设X

N(0,1),Y

2(n),且X

与Y

独立，则当n30时，t分布类似于

t分布近似于标准正态分布.分布

标准正态

机动目录上页下页返回结束18第18页，共37页，2023年，2月20日，星期六非负偏态

定义3

设U

2(m),V

2(n),且U与V独立,则称服从自由度为

m,

n的F分布，记为F分布的pdf为FF(m,n).

FF(m,n)1/FF(n,m)

F分布机动目录上页下页返回结束19第19页，共37页，2023年，2月20日，星期六例1

设X与Y相互独立同服从正态分布N(0,22)，

和X和Y的样本．问统计量服从什么分布？是分别来自总体机动目录上页下页返回结束20第20页，共37页，2023年，2月20日，星期六课堂练习设总体X服从正态分布N(0,4),而X1,X2,…,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量服从分布。F(10,5)机动目录上页下页返回结束21第21页，共37页，2023年，2月20日，星期六对于给定的(0<<1),称满足分位点t(n)=t1(n)当n＞45时，当n＞45时，F(n,m)=1/F1(m,n).F(m,

n)的为X（或其分布）的（上）

分位点.

thquantile机动目录上页下页返回结束22第22页，共37页，2023年，2月20日，星期六1、标准正态分布设X服从N(0,1),若满足条件则称点为标准正态分布的上分位点。由附表2，

附表2中的1-对应，查1-

就得到。机动目录上页下页返回结束23第23页，共37页，2023年，2月20日，星期六2、2—分布设X

~2(n)，若对于：0<<1，存在

满足则称为2(n)分布的上分位点。附表412.54943.273当n＞45时，机动目录上页下页返回结束24第24页，共37页，2023年，2月20日，星期六3、t分布设T～t(n)，若对:0<<1,存在t(n)>0，满足P{Tt(n)}=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点。附表3

2.13181.3104?机动目录上页下页返回结束25第25页，共37页，2023年，2月20日，星期六从附表3中无法查到，-1.3104机动目录上页下页返回结束26第26页，共37页，2023年，2月20日，星期六4、F分布对于：0<<1，若存在F(n1,

n2)>0，满足P{F>F(n1,n2)}=，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位点.附表52.061.82?机动目录上页下页返回结束27第27页，共37页，2023年，2月20日，星期六证明:设F~F(n1,n2),则得证!机动目录上页下页返回结束28第28页，共37页，2023年，2月20日，星期六二单个正态总体的样本均值与样本方差的分布

机动目录上页下页返回结束相互独立且29第29页，共37页，2023年，2月20日，星期六三两个正态总体的样本均值差与样本方差比的分布

与

是分别来自正态总体和的样本，且相互独立.当时，机动目录上页下页返回结束30第30页，共37页，2023年，2月20日，星期六例2从正态总体中抽取样本X1,X2,…,X10(2)未知，求概率(1)已知，求概率解:(1)由得则(2)机动目录上页下页返回结束31第31页，共37页，2023年，2月20日，星期六机动目录上页下页返回结束例3设总体从两个总体中分别抽样，得如下结果：求概率解：由知32第32页，共37页，2023年，2月20日，星期六1

若总体X服从N(μ,σ2)，其中σ2已知，但μ机动目录上页下页返回结束课堂练习未知，而X1,X2,…,Xn是它的一个简单随机样本，试指出中下列量哪些是统计量，哪些不是统计量：提示：(1),(3),(4),(6)33第33页