多缝的夫琅和费衍射

（优选）第五节多缝的夫琅和费衍射现在是1页\一共有45页\编辑于星期一多缝在P点产生的复振幅是N个振幅相同、相邻光束程差相等的多光束干涉的结果。P点的光强为是单缝在P0点产生的光强。现在是2页\一共有45页\编辑于星期一单缝衍射因子多光束干涉因子多缝衍射是衍射和干涉两种效应共同作用的结果。I0单缝中央主极大光强现在是3页\一共有45页\编辑于星期一二、多缝衍射图样从多光束干涉因子可知即当时它有极大值，称为主极大，m为主极大的级次，上式称为光栅方程多缝衍射图样中的亮纹和暗纹位置可通过分析多光束干涉因子和单缝衍射因子的极大值和极小值条件得到。现在是4页\一共有45页\编辑于星期一方程表明主极大的位置与缝数无关，主极大的级次受到衍射角的限制。光栅常数越小，条纹间隔越大。由于|sinθ|≤1，m的取值有一定的范围，故只能看到有限级的衍射条纹。即即时它有极小值为零。当等于的整数倍而不是的整数倍时现在是5页\一共有45页\编辑于星期一在两个相邻主极大之间有N-1个零值，相邻两个零值之间（）的角距离为主极大与其相邻的一个零值之间的角距离也可用上式表示

称为主极大的半角宽度，表明缝数N越大，主极大的宽度越小，反映在观察面上主极大亮纹越亮、越细现在是6页\一共有45页\编辑于星期一各级主极大的强度为它们是单缝衍射在各级主极大位置上产生的强度的N2倍，零级主极大的强度最大，等于N2I0现在是7页\一共有45页\编辑于星期一0I单I0单-2-112单缝衍射光强曲线IN2I0单048-4-8单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线N2sin2N/sin204-8-48多光束干涉光强曲线对入射光的振幅进行空间周期性调制现在是8页\一共有45页\编辑于星期一缝数N=4时光栅衍射的光强分布图k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6k=-6光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。在相邻两个零值之间也应有一个次极大，次极大的强度与它离开主极大的远近有关，次极大的宽度也随N增大而减小。现在是9页\一共有45页\编辑于星期一光栅衍射条纹的特点（1）θ=0的一组平行光会聚于O点，形成中央明纹，两侧出现一系列明暗相间的条纹oP焦距

f缝平面G透镜Ld现在是10页\一共有45页\编辑于星期一（2）衍射明纹亮且细锐，其亮度随缝数N的增多而增强，且变得越来越细，条纹明暗对比度高（3）单缝衍射的中央明纹区内的各主极大很亮，而两侧明纹的亮度急剧减弱，其光强分布曲线的包络线具有单缝衍射光强分布的特点。现在是11页\一共有45页\编辑于星期一干涉：参与相干叠加的各光束是按几何光学直接传播的。

a很小，d/a较大时，单缝衍射的调制作用不明显，干涉效应为主。

当a不很小时，单缝衍射的调制作用明显，干涉条纹不是等强度分布，此时就可观察到衍射现象。干涉与衍射的区别和联系衍射：参与相干叠加的各光束的传播不符合几何光学模型，每一光束存在明显的衍射。现在是12页\一共有45页\编辑于星期一

若干涉因子的某级主极大值刚好与衍射因子的某级极小值重合，这些级次对应的主极大就消失了——缺级。光栅衍射的缺级缺极时衍射角同时满足：m就是所缺的级次缝间光束干涉极大条件单缝衍射极小条件缺级的条件为：现在是13页\一共有45页\编辑于星期一缺级k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6k=-6缺级：k=3,6,9,...缺级光栅衍射第三级极大值位置单缝衍射第一级极小值位置缺级由于单缝衍射的影响，在应该出现亮纹的地方，不再出现亮纹现在是14页\一共有45页\编辑于星期一例：用波长为500nm的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕的光栅上，求：1)第一级和第三级明纹的衍射角；2)若缝宽与缝间距相等，由用此光栅最能看到几条明纹。

由光栅方程可知：第一级明纹m=1

第三级明纹m=3解：1)光栅常量

现在是15页\一共有45页\编辑于星期一2)理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角θ=π/2，第2、4级明纹不出现，从而实际只能看到5条明纹。即最多能看到第4级明条纹考虑缺级条件d/a=(a+a)/a=2现在是16页\一共有45页\编辑于星期一故第二级明纹不出现在屏幕上。例题：为测定一给定光栅的光栅常数，用He-Ne激光器（6328Å）的红光垂直照射光栅，已知第一级明纹出现在38°方向上。问（1）该光栅的光栅常数是多少？1厘米内有多少条缝？第二级明纹出现在什么方向上？[解]：（1）条/厘米现在是17页\一共有45页\编辑于星期一（2）若使用此光栅对某单色光做同样衍射实验，发现第一级明纹出现在27°方向，问这单色光的波长是多少？对该单色光，最多可看到第几级明纹？可观察到的最高级次为二级明纹。[解]：现在是18页\一共有45页\编辑于星期一例题波长为6000Å的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在sin2=0.2处，第4级为第一个缺级。求(1)光栅上相邻两缝的距离是多少？(2)狭缝可能的最小宽度是多少？(2)狭缝可能的最小宽度是多少？(3)按上述选定的a值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？解:（1）（2）现在是19页\一共有45页\编辑于星期一在-900<θ<900范围内可观察到的明纹级数为m=0,1,2,3,5,6,7,9,共15条明纹（3）由光栅方程，理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角θ=π/2现在是20页\一共有45页\编辑于星期一例题一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长1=4400Å,2=6600Å。实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角θ=600的方向上，求此光栅的光栅常数d。解：第二次重合m1=6,m2=4两谱线重合现在是21页\一共有45页\编辑于星期一第六节衍射光栅能否得到亮度大，分得开，宽度窄的明条纹？对于单缝：若缝宽大，条纹亮，但条纹间距小，不易分辨若缝宽小，条纹间距大，但条纹暗，也不易分辨因而利用单缝衍射不能精确地进行测量。利用衍射光栅所形成的衍射图样——光栅光谱由一组相互平行，等宽、等间隔的狭缝构成的光学器件称为光栅。现在是22页\一共有45页\编辑于星期一能对入射光波的振幅或相位进行空间周期性调制，或对振幅和相位同时进行空间周期性调制的光学元件称为衍射光栅。光栅光谱是在焦面上一条条亮而窄的条纹，条纹位置随照明波长而变。衍射光栅的夫琅和费衍射图样为光栅光谱。复色光波经过光栅后，每一种波长形成各自一套条纹，且彼此错开一定距离，可区分照明光波的光谱组成，这是光栅的分光作用。光栅常数d的数量级约10-6米，即微米通常每厘米上的刻痕数有几干条，甚至达几万条。现在是23页\一共有45页\编辑于星期一衍射光栅的应用：精确地测量光的波长；是重要的光学元件，广泛应用于物理，化学，天文，地质等基础学科和近代生产技术的许多部门。衍射光栅的分类：1、对光波的调制分式：振幅型和相位型2、工作方式：透射型和反射型3、光栅工作表面的形状：平面光栅和凹面光栅4、对入射波调制的空间：二维平面光栅和三维体积光栅5、光栅制作方式：机刻光栅、复制光栅、全息光栅现在是24页\一共有45页\编辑于星期一透射光栅：透射光栅是在光学平玻璃上刻划出一道道等间距的刻痕，刻痕处不透光，未刻处是透光的狭缝。反射光栅：反射光栅是在金属反射镜上刻划一道道刻痕，刻痕上发生漫反射，未刻处在反射光方向发生衍射，相当于一组衍射条纹。现在是25页\一共有45页\编辑于星期一光栅衍射的实验装置与衍射图样屏幕上对应于光直线传播的成像位置上出现中央明纹在中央明纹两侧出现一系列明暗相间的条纹，两明条纹分得很开，明条纹的亮度随着与中央的距离增大而减弱明条纹的宽度随狭缝的增多而变细现在是26页\一共有45页\编辑于星期一一、光栅的分光性能（一）光栅方程决定各级主极大位置的式子称为光栅方程。正入射时设计和使用光栅的基本方程。衍射光与入射光在光栅法线同侧取正号；衍射光与入射光在光栅法线异侧取负号。dsin=mm=0,±1,±2,±3···现在是27页\一共有45页\编辑于星期一以反射光栅为例，导出斜入射情形的光栅方程。d(sini±sin)=mm=0,±1,±2,±3···衍射光与入射光在光栅法线同侧取正号；衍射光与入射光在光栅法线异侧取负号。对于透射光栅同样适用。现在是28页\一共有45页\编辑于星期一（二）光栅的色散光栅的色散用角色散和线色散来表示。波长相差0.1nm的两条谱线分开的角距离为角色散。由光栅方程可知，除零级外，不同波长的同一级主极大对应不同的衍射角，这种现象称为光栅的色散。光栅有色散，说明它有分光能力。现在是29页\一共有45页\编辑于星期一角色散与光栅常数d和谱线级次m的关系可从光栅方程求得d(sini±sin)=mm=0,±1,±2,±3···取光栅方程两边微分表明光栅的角色散与光栅常数成反比，与次级成正比。现在是30页\一共有45页\编辑于星期一光栅的线色散是聚焦物镜焦面上波长相差0.1nm的两条谱线分开的距离。设f为物镜的焦距，则线色散为角色散和线色散是光谱仪的一个重要的质量指标，色散越大，越容易将两条靠近的谱线分开。一般光栅常数很小，所以光栅具有很大的色散本领现在是31页\一共有45页\编辑于星期一（三）光栅的色分辨本领光栅的色分辨本领是指可分辨两个波长差很小的谱线的能力。考察两条波长和+的谱线。如果它们由于色散所分开的距离正好使一条谱线的强度极大值和另一条谱线极大值边上的极小值重合，根据瑞利判据，这两条谱线刚好可以分辨，这时的波长差就是光栅所能分辨的最小波长差。光栅的色分辨本领定义为现在是32页\一共有45页\编辑于星期一谱线的半角宽度为角色散表达式与半角宽度对应的波长差为光栅的色分辨本领为光栅的色分辨本领正比于光谱级次和光栅线数，与光栅常数无关现在是33页\一共有45页\编辑于星期一光栅的色分辨本领与F-P标准具的分辨本领表达式一致。两者的分辨本领都很高，但光栅来源于刻线数N很大；而F-P标准具来源于高干涉级，它的有效光束数不大。现在是34页\一共有45页\编辑于星期一（四）光栅的自由光谱范围如果不同的波长1

，2同时满足：dsin=m11=m22这表明：1的m1级和2的m2级同时出现在一个角处，即1和2的两条谱线发生了重叠，从而造成光谱级的重叠。k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-3图20-29现在是35页\一共有45页\编辑于星期一在波长的m+1级谱线和波长+的m级谱线重叠时，波长在到+之内的不同级谱线是不会重叠的。光谱的不重叠区可由得到：由于光栅使用的光谱级m很小，所以它的自由光谱范围比较大。现在是36页\一共有45页\编辑于星期一

例题设计一平面透射光栅。当用白光垂直照射时，能在30的方向上观察到=6000Å的第二级主极大，并能分辨该处=0.05Å的两条谱线，但在该方向上观察不到4000Å的第3级主极大。

解

dsin30=2×6000Åd

=24000Å=6×104光栅宽度：Nd=14.4cmn=1,a=8000Å4000Å的第3级缺级：现在是37页\一共有45页\编辑于星期一例题波长=6000Å的单色平行光垂直照射光栅，发现两相邻的主极大分别出现在sin1=0.2和sin2=0.3处，而第4级缺级。求：(1)光栅常数d=？(2)最小缝宽a=？(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。

解(1)dsin1=m,dsin2=(m+1)于是求得光栅常数=10=6×10-6m(2)因第4级缺级，由缺级公式：=4，取n

=1(因要a最小)求得：a=d/4=1.5×-6m现在是38页\一共有45页\编辑于星期一

由光栅方程：dsin

=m

最大m对应=90°，于是mmax=d/=10

缺级：

d=6×10-6ma=1.5×10-6m

屏上实际呈现:

0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9共8级，15条亮纹(±10在无穷远处，看不见)。

(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数:bafoEp现在是39页\一共有45页\编辑于星期一例题用白光(=4000Å7000Å)垂直照射一光栅常数为d=1.2×10-5m的光栅，所用透镜焦距f=0.6m,求第2级光谱与第3级光谱的重叠范围。k=37000Å4000Å先求重叠的波长范围，再求重叠区域的宽度。由公式:dsin=m11=m22

第2级光谱被第3级光谱重叠的波长范围：

6000Å7000Å

解k=24000Å7000Å…...k=0中央现在是40页\一共有45页\编辑于星期一第3级光谱被第2级光谱重叠的波长范围：

4000Å4667Å重叠区域的宽度:

x为4000Å的第3级与7000Å的第2级谱线间的距离。

dsin

1=31，1=4000Ådsin

2=22，2=7000Åxk=37000Å4000Åk=24000Å7000Å…...k=0中央现在是41页\一共有45页\编辑于星期一因很小，所以x/f=tgsin代入上面两式得d.x1/f=31，d.x2/f=22重叠区域的宽度：

x=x2-x1=f(22-31)/d=10mmpoEfx现在是42页\一共有45页\编辑于星期一例题用每毫米有300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和兰的两种准单色成分的光谱。已知红光波长在0.63-0.76m范围内，兰光波长在0.43-0.49m范围内。当光垂直入射时，发现在22.46