中考数学中考数学压轴题知识点-+典型题含答案VIP

31．如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝．3(1)求弦AC的长； (3)若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以cm/s的速2度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(0＜t＜)，连结PQ．当t为何值时，3(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求BMC面(3)在(2)中BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是OB(1)求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何(3)抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不(1)求边AD的长；(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．(1)在点O(0，0)，C(﹣2，1)，D(3，0)中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是；(2)点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标xK的取值1 (3)已知点M(m，﹣1)，若直线y＝x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接2(2)如图2，请求出△BPC周长的最小值；①是否存在点P，使得PMN的面积最大？若存在，求出PMN面积的最大值，若不存②请直接写出PMN面积的最小值．7．如图，一张半径为3cm的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l(1)若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l(不写作法，保留作图痕迹)，并求此时线段AB的长度．①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是________．OMMAB长度为_________cm．ADPG(1)如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．(2)如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．19．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-2，0)，交y轴于点B(0，453)．直线y=kx+过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．2213(1)求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx+的解析式；42请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由;MNACFDFDy(1)求∠FAB的度数；h的函数关系式(不要求写出自变量h的取值范围)；(3)在(2)的条件下，过点C作CE⊥OB于点E，CE交AB于点D，连接AE，k12．如图1，平面直角坐标系xoy中，A(－4，3)，反比例函数y=(k<0)的图象分别交x(1)①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内(不包括边界)，求线段CE长度的取值范围．(2)若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．AHHF ABBF(3)在(2)的条件下，如图3，点E为AB上一点，点D为O上一点，连接ED、EBD3位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)． (1)计算矩形EFGH的面积； EFGHABFBC动．在平移过程中，当矩形与3△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离； (3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形EFGH，将矩形EFGH绕G点按顺时针方向旋转，当H落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩111111形EFGH，设旋转角为a，求cosa的值．2212_____．(1)如图1，当BM=1时，求PC的长；(2)如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：(3)如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．11A—D—C以1cm/s的速度向点C运动，O的圆心O从点B开始沿BA边以221212 (1)请求出O与腰CD相切时t的值；2(2)在0s＜t3s范围内，当t为何值时，O与1O与12(1)求证：∠ABD＝∠D；(2)求∠AEB的度数；AF(3)△ABC的中线AF交BD于G(如图2)，若BG＝DE，求的值．DE19．问题探究值是_______．面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．ACE够使问题得到解决(如图2)．②②(1)求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；(2)将DCE沿DE翻折，得DME．M以落在ABC的某条角平分线上?如果可以，求出相应x的值；如果不可②直接写出DME与ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．23．在平面直角坐标系xOy中，点A为x轴上的动点，点B为x轴上方的动点，连接By上，且满足三OAB的角平分线与三OBA的角平分线交于点在BP的延长线上，且满足三AOC=45。，求；(3)如图3，当点B在第一象限内，点P是AOB内一点，点M，N分别是线段OA，1P2正确的是：________．(请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程)．24．在ABC中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n倍(n为大于1的正整(2)若DEF是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的1，求DEF的最小内角．3(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第四象限抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，设P点横坐标为t，线段PD的长度为d，求d与t的函数关系式．(不要求写出t的取值范围)一、中考数学压轴题解析：(1)53；(2)2；(3)5秒或8秒33【解析】【分析】(1)先利用特殊角的三角函数求出∠A，进而求出AC；(2)先求出∠BOC＝60°，进而得出∠D＝30°，进而求出OD，即可求出BD，即可得出结(3)先判断出点P在线段AB上，点Q在线段BC上，再分∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，最后用三角函数建立方程求解即可得出结论．【详解】解：(1)∵⊙O的直径AB＝10，3在Rt△ABC中，tanA＝，33∴AC＝ABcosA＝10cos30°＝10×＝53，2(2)如图1，连接OC，由(1)知，∠A＝30°，125(3)在Rt△ABC中，∵AB＝10，∠A＝30°，1AB23∴0＜AP＜10，0＜BQ＜5，BPQ角三角形，且∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，323BQt1∴cos∠ABC＝＝2＝，BP25∴t＝，3②当∠BPQ＝90°时，如图3，＝，358即当t为秒或秒时，△BPQ为Rt△．33【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了直径所对的圆周角为直角，特殊角的三角函数，含30度角的直角三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．解析：(1)y=1x2+3x2；(2)4；(3)存在，Q的坐标为(2,4)或(2,1)22【解析】【分析】1S=.MK.OB，即可求解；BMC22【详解】(1|a=2则抛物线的解析式为：y=x2+x-2221则直线BC的表达式为：y=-x-2，21(113)1(113)BMCOC2：tan三QHN=，则sin三QHN251QN1QN5QHx；(2)|x；(2)|；(3)存在，P()或(﹣即点Q的坐标为(-2,4)或(-2,-1)．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点3337，﹣)【解析】【分析】(1)根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出(2)求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，面积最大；平行于OC的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即(3)分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线【详解】解：(1)∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，C1则OD=×23=3，23CD=23×=3，2所以，顶点C的坐标为(3，3)，(3)2a3b3则(23)2a23b0，a1解得：，b23(2)∵C(3，3)，y3xm联立，yx223x△=(3)2-4m=0，34424428MOC28833333此时，M,，最大面积为；288(3)∵∠OAP=∠BOC=∠BOA=30°，3∴直线AP与y轴的交点坐标为(0，2)或(0，﹣2)，当直线AP经过点(23，0)、(0，2)时，解析式为y3x2，3(|y=-x2+23x联立〈3，|y=-x(335所以点P的坐标为(，)，333当直线AP经过点(23，0)、(0，﹣2)时，解析式为y=x-2，3(|y=-x2+23x33|y=x-3(337所以点P的坐标为(-，-)．333537综上所述，存在一点P(，)或(﹣，﹣)，使∠OAP=∠BOA．3333【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，(2)判断出点M到OC的距离最大是，平行于OC的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，(3)确定出直线AP的解析式是解题的关键．解析：(1)6；(2)y=－3x+10(1≤x＜)；(2)或3239【解析】【分析】(1)如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出(2)如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去xy；(3)存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，【详解】(1)如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∴△DHC是等腰直角三角形∴△EPF是等腰直角三角形同理,还可得△NPM和△DGF也是等腰直角三角形212∵AB=8，∴EB=8－x解析：(1)C；(2)﹣解析：(1)C；(2)﹣1﹣2≤x≤1﹣2或2﹣1≤x≤1+2；(3)m≤3﹣2kk22∵y＞0，∴x＜33(3)情况一：点P在梯形ABCD内，即(2)中的图形8∵MN=2，即y=2，代入(2)中的关系式可得：x==AE399与(2)相同，可得y=3x－10梯形ABCD2【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第(2)问中确定x的取值范围，需要或m≥3+210．【解析】【分析】(1)由题意可知当Q与A重合时，点C在以AP为直径的圆上，所以可以成为点P与线段(2)根据题意由两点的距离公式可得AP=BP=22，分别画以AP和BP为直径的圆交x轴1 (3)由题意先根据直线y=x+3，当x=0和y=0计算与x轴和y轴的交点坐标，分两种情21况：M在A的左侧和右侧，先计算圆E与直线y=x+3相切时m的值，从而根据图形可2【详解】解：(1)如图1，可以成为点P与线段AB的共圆点的是C，(2)∵P(0，1)，点A(﹣2，﹣1)，点B(2，﹣1)．1∴OE＝AG＝1，222(3)分两种情况：1x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，212ONEF31OHFH6235+223522解得：a＝(舍去)或，2212【点睛】圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.解析：(1)333；(2)18；(3)①；②625【解析】【分析】BBFADDA点F，利用等腰直角三角形ABF求得AF和BF圆周角定理和直角三角形两锐角互余可证得△MPN∽△CPB，进而可知当MN最大时，【详解】解：(1)如图，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，22222AB＝2PBPBCBF∵在Rt△PBF中，tan∠FPB＝PF33PF3BADBBCADPBP，BBCBPCB'C+BC＝10+8＝18；则∠PMN＝∠PEN，NC∴∠PEN+∠NEC＝∠NEC+∠PCB＝90°，1212(8)PMN16又∵∠MPN＝∠CPB，S(MN)2S(BC)∴PMNS(BC)11PCB22S(MN)212(8)∴PMN=12(8)27S(MN)2=|(8)|，PEBPEC∴△PEB≌△PEC，12∵S=BEPE=BPMEBEP221225在Rt△PME中，PM＝PE2ME2325511∵SPMMEPEMHPME22255225∴,25∴,PMN解得S，PMN6255【点睛】本题考查了等腰直角三角形、特殊角的三角函数、相似三角形的判定及性质、勾股定理、垂径定理和圆周角定理等相关知识，有点难度，属中考压轴题，能够将第(3)问转化为利用圆的相关知识和相似三角形的性质解决是解决本题的关键．解析：(1)图见解析，解析：(1)图见解析，33cm；(2)①25cmAB42cm；②26【解析】【分析】 (1)连接AO，直线l垂直平分PO．OHPOcm，在Rt△AHO中即可求解；22(2)①分两种情况求解；【详解】(1)如图，直线l为所求，连接AO．∴直线l垂直平分PO．132233∴AH=AO2HO2=cm．2(2)如图1：在Rt△ADO中，DO=，AO=3，22【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键．解析：(1)①详见解析；②8；(2)(2)四边形PEFD是菱形，证明详见解析【解析】【分析】(1)①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到M，则四边形CDMP是矩形，则△DHG∽△PMG，根据相似三角形的性质，即可求出答(2)根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明5由由(1)DF=DP=【详解】解：(1)①证明∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，∴△ADF≌△CDP(ASA)，M∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM∴△DHG∽△PMGDGGH2GH∴=即=PGMG10110410∴GH=，PH=PG-GH=55410∴四边形PEFD的面积是DF.PH=10×=8；(2)四边形PEFD是菱形；∴AD=AB，∴AB=PM，∴AD=PM，∵DF⊥PG，∴∠DHG=90°，∴∠GDH+∠DGH=90°，∵∠MGP+∠MPG=90°，∴∠GDH=∠MPG，在△ADF和△MPG中∴△ADF≌△MPG(ASA)，∴DF=PD，∵DF=PD，【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相135331353313533解析：(1)y=x2-x-，y=x+；(2)①存在，点13533442422555【解析】【分析】(1)将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后可求得抛物线的解Ak的解析式；CEx方法可求得m的最大值．【详解】4||(3|b=-4解得〈，44222442yxxyxxx44242422333333422 (442)(42) (442)(42)4232lDC=CDE24105555【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，依据相似三角形的周长比等于相似比列出m与x的函数关系式是解题的关键．2410解析：(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)MN=．5【解析】【分析】(1)由垂径定理即可证明；(2)利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；(3)由∠MPC=∠NQD可得：∠BGL=∠BLG，BL=BG，作BR⊥MN，GT⊥AF，HK⊥AB，证GHAGTAGT求出HK【详解】∴∠BAC=∠BFD，由(2)得∠MPC=∠NQD又∵GH∥BRHT=HK=，ATAGFTBG8OG55H【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综合性较强，尤其是第(3)问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．解析：(1)∠FAB=90°；(2)d=22h；(3)直线PS与直线AF的交点K(-2，6)．【解析】【分析】(1)通过直线AB的解析式可求出点A、B的坐标，可知AOB是等腰直角三角形，再结(2)根据已知条件证明CP=AC=QC=BC从而得出△ACP是等腰直角三角形，在Rt△CRP中，利用sin∠CPR==，推出CP=2CR，继而得出BQ=22CR，得出答CP2【详解】解：(1)如下图，y=x+m，当x=0时，y=m∵∠AFO=45°，∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°(2)如下图，∵CP、AC分别是Rt△QPB和Rt△QAB的斜边上的中线122设∠CAB=∠CBA=α，∴∠CBP=45°+αCPBCBPα∴∠PCB=180°-(∠CPB+∠CBP)=90°-2αACPACBPCB°-2α-(90°-2α)=90°∴△ACP是等腰直角三角形∵CR⊥AP，∴∠CRP=90°，在Rt△CRP中CR2CP212∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA∴∠HAC=∠PCE，∵AC=CP∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4设∠DAP=β，则∠AEG=2β∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=βn=6,n=2(舍)2CDCEDECEBE2=4∴SD=CD=4，∠CDA=∠SDA=45°(y=-x+4(x=-2【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何图形，将一次函数的图象与几何图形综合在一起的问题，是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想．本题考查的知识点有一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰直角三角形的判定及性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线等．88255【解析】【分析】(1)①根据A(－4，3)和反比例函数图象上点的特征可得E、F的坐标，从而可表示出AE4AE、AF并求得=，从而证得△AEF∽△ACB，利用相似三角形的性质的折叠的性质可AF31推出EC=AC，即可求得结果；2Fx(2)由△ABD是等腰三角形，可得AD=BD或AD=AB，分情况进行求解即可．【详解】kk解:(1)①由题意得E(,3)，F(4,)，34kk∵k<0，则EC=，FB=，34kk34k1∴===，∴===，AFk133+(12+k)44AC4∴=，AB3AEAC∴=，AFAB又∵∠A=∠A，AEAH，则AE=EC，ECDH12DAEAFABAE4ABBDBDAF3439344447525333282577∴想CE想4，即折叠后点D落在矩形ABOC内(不包括边界)，CE的取值范围为878(2)∵△ABD是等腰三角形，显然AB丰AD，132AEAFMBAE4∴=，则==，MBMDMDAF3433932489238823382AEAFAMAE4AMMDMDAF3129551239115555∴点D的坐标为(,)；55233113综上所述，若折叠后，△ABD是等腰三角形，点D的坐标为(,)或(,)．8255【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的判定与性质，解题的关系是熟悉反比例函数图象上点的特征和熟练掌握相似三角形的判定与性13．(1)见解析；(2)见解析；(3)OE=2【解析】【分析】3EBD3BE=，再利用勾股定理即可得到答案；2【详解】(1)∵BM=MB∴AM//OB(内错角相等，两直线平行)，OCAH在RtBAH中，sin三ABH=，ABKF在RtBKF中，sin三KBF=，BFAHKF∴=，ABBFAHHFABBF(3)延长BH交O于Q，连接AQ，即(r3)2(r7)2=r272BH22AH1AB3AB3DG22BD331362EBD313213622233212522ON1422【点睛】本题主要考查了与圆狗官的性质(同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是90°)，角平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．(1)33；(2)矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是8；(3)；(3)8【解析】AB求得AD，CD，利用中位线的 (2)首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时(0＜x≤)，4利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时1 (＜x≤)，列出方程解得x；42 详解：(1)如图①，1又∵D是AB的中点，∴AD=1，CD=AB=1．21又∵EF是ACD的中位线，∴EF=DF=，23在FGD中,GF=DF.sin60°=，33∴矩形EFGH的面积S=EF.GF=人=．248(2)如图②，设矩形移动的距离为x,则0想x共，2矩形与△CBD重叠部分为三角形时，1则0想x共，42164411当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则想x共，42311333重叠部分的面积S=x一人人=,∴x=．424416833即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．16(3)如图③，作HQ」AB于Q．21421214212解之得m=(负的舍去)．HG18212点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．4【解析】【分析】FCCM3【详解】∴AB＝2BC＝43，AC＝3BC＝6，∠ABC＝60°，EPBEBP，EPBBCE0°，∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，3313∴PA＝AT•cos30°＝3，AN＝PA•cos30°＝，PN＝PA＝，PC＝3PA＝33，2222∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，PCMPNB90°，∴3 233=53，295AFPA355515AC44【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中3解析：(1)7；(2)见解析；(3)①AQ=3MQ，见解析，②有，32【解析】【分析】(1)过点P作PF⊥BC于点F，首先利用菱形的性质得出∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4，然后根据平行线的性质得出∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，∠PMF=∠ABC=60°，进而可求出PM,PF,MF的长度，从而FC的长度可求，最后利用勾股定理即可(2)过点P作PG⊥BC于点G，设MG=x，由(1)可知：BM=PM=2x，GC=PG=3x，然后BMMGGCBCx的值，进而可求出BM的长度，最后利用平行线分线段成比例(3)①延长MQ与CD交于点H，连接AH,AC，首先证明△PMQ≌△CHQ，则有PM=CH=BM，MQ=HQ，然后利用菱形的性质和等边三角形的性质证明△ABM≌△ACH，则有AM=AH，∠BAM=∠CAH，则△AMH为等边三角形，则利用等边三角形的性质即可得出AQ,MQ之间的关系；123时，AM最小，求出此时的AM,MQ的值，最后利用S=AQ.MQ=MQ2求解AMQ22【详解】解：(1)如图，过点P作PF⊥BC于点F．∴∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，∠PMF=∠ABC=60°，113∴MF=PM=，PF=，22215∴FC=BC-BM-MF=4-1-=，22(2)证明：如图，过点P作PG⊥BC于点G．GPCM设MG=x，由(1)可知：BM=PM=2x，GC=PG=3x，3348∴BM=．82∴BEBM3+3=3+3DEDA4(3)①如图，延长MQ与CD交于点H，连接AH,AC．∴∠PMQ=∠CHQ，∠MPQ=∠HCQ．CHQ∴AB=AC，∠ABM=∠ACH=60°，∴AM=AH，∠BAM=∠CAH，1∴AQ⊥MH，∠MAQ=∠MAH=30°，21②∵AQ⊥MH，∠MAQ=∠MAH=30°，212321∴MQ的最小值为人23=3，2133AMQ2223∴△AMQ的面积有最小值，最小值为32【点睛】本题主要考查四边形综合问题，掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形解直角三角形是解题的关键．(83)【解析】【分析】2(1)先设⊙O运动到E与CD相切，且切点是F；连接EF，并过E作EG∥BC，交CD于22D222可．那么求GH的值就是关键，由∠C＝60°，可以知道∠CGH＝30°，那么∠FGE＝60°．在次方程，求解即可，根据要求，可选择t的值．【详解】解：(1)如图所示，设点O运动到点E处时，O与腰CD相切22又∠EGF＋∠CGH＝90°，GEFCGH43根据勾股定理得：FG2＋EF2＝EG2，即x2＋42＝(2x)2，解得x＝，383∴CH＝BC−BH＝BC−EG=(9−)833直角三角形CHG中，∠C＝60°333所以，t＝(33112121212CGBCBGBCAD=6cm∵∠C=60°∴DG=CGtan60°＝63cm=AB22解得t=3,t=6(不合题意，舍去)2所以，经过3秒O与O外切．12【点睛】t示线段的长．3解析：(1)见解析；(2)60°；(3)2【解析】【分析】(2)设∠3=∠D=x°，∠1=∠2=y°，利用等边三角形的性质以及三角形内角和定理得出(3)首先得出△ABE≌△ADG,进而得出∠4=∠AEB=60°,进而求出DE=BG=2GF,AG=BG=2GF,AF=AG+GF=3FG，即可得出答案.【详解】解：(1)∵AB=AC，AD=AC，∴∠3=∠D(即∠ABD=∠D)(2)∵AE平分∠CAD，设∠3=∠D=x°，∠1=∠2=y°，DBAD180°，∴x+x+60°+2(=180°，∴x+(=60°，∴∠AEB=∠1+∠D=x+(=60°；(3)∵BG=DE，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG(SAS)AFB，∠7=30°，AF3GF3DE2GF2.19．问题探究：(1)19．问题探究：(1)24；(2)存在，BC的最小值为2；问题解决：存在，144【点睛】【点睛】的性质以及全等三角形的判定与性质,将AF，DE用FG表示得出是解题关键.33【解析】【分析】(1)根据三角形的面积公式即可得到结论；(3)如图3中，连接AF，延长BC交AE的延长线于G，将△EFM顺时针旋转得到FBH，作△FNH的外接圆O．由(2)可知，当△FNH的外接圆的圆心O在线段【详解】解：(1)当AD」BC时，ABC面积的最大，则ABC面积的最大值是BC.AD=86=24，2212(3)如图中，连接AF，EF，延长BC交AE的延长线于G，△AEF△ABF由(2)可知，当△FHN的外接圆的圆心O在线段BF上时，△FNH的面积最小，此时2设OF=ON=r，则OB=BN=r，22222222)12(22)622)12(22)622【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关化的思想思考问题．解析：(1)34；(2)42；(3)AC=2DF．【解析】【分析】(1)由DE//BC，EF//DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，求出DE=CF，DC=EF，由DC⊥BE，可得△BEF是直角三角形，利用勾股定理，求出BF的长即为BC+DE的值；(2)同(1)做CE//DB，交AB延长线于点E，易证四边形DBEC是平行四边形，根据已知可证△DAB≌△CBA(SAS)，得AC=DB，等量代换，可得AC=CE，故△ACE是等腰直角三(3)连接AE、CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEFACE是等腰直角三角形，求出AC=2CE，而DF=CE，即【详解】解：(1)∵DE//BC，EF//DC，F(2)做CE//DB，交AB延长线于点E，由(1)同理，可证得四边形DBEC是平行四边形，BE=DC=3，∴△DAB≌△CBA(SAS)，AEABBE=AB+DC=5+3=8，∴AC=AE2-CE2=AE2-AC2=82-AC2，求得AC=42．故AC的长为42．(3)AC=2DF；∴△FAD≌△EBC(SSS)，EBF=60°，∠BFD=30°，∴∠DFA=90°-30°-(90°-60°)=30°，AEC，【点睛】本题考查几何的综合，难度偏高，涉及的知识点有三角形、四边形、平行线等，熟练掌握21．(1)详见解析；(2)详见解析；(3)AM=2PC【解析】【分析】【详解】(3)AM=2PC【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质，正确寻找三角形的条件是解题的关键．383【解析】【分析】(1)利用待定系数法将(3，4)和(6，0)代入y＝kx＋b即可求得直线函数关系式；(2)①根据题意可证△DCE∽△ACB，进而可得点M在CT上，且点M不在∠ACB的平分线上，接下来分类讨论，当点M在∠CAB的平分线上或在∠CBA的平分线上时，画出相应的示意图，利用角平分线定理计算即可；②首先考虑当点M与点T重合时的x的值，进而对x分类讨论，画出相应的示意图，利用相似三角形的性质把重叠部分的面积表示出来，再利用二次函数的顶点式即可求得最大【详解】解：(1)设直线PQ为y＝kx＋b，将(3，4)和(6，0)代入，得〈(4(43(2)①过点C作CT⊥AB，垂足为点T，11ABC225∴在Rt△ACT中，AT=AC2CT2=，5554由(1)可知BE=y=x+8，344334CExxCExxBC86CDxAC6BCAC又∵∠DCE＝∠ACB，435∴在Rt△CDE中，DE=CD2+CE2=x，311CDE22∴.x.x=.x.CQ2323458455AMCAT3SATMT∴AMT==S∴AMT==AMCMT3=CM5MCMC=CT==∴844522328MCBABM∠CBT，SBTMTSBCCM∴BMT=SBCCMMT4CM5552489953142344535155综上所述，x的值为或；831∴DA＝DC＝AC＝3，21则S=S=CD.CECDE214238245555∴MFHMDE，FHMTDEMQ824FH