2023年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学四模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学四模试卷一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列实数中，一定是无限不循环小数的是（）A． B． C． D．0.2022022022…2．如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（）A．60° B．45° C．30° D．25°3．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x增大而增大，则（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＜2 D．k＞24．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式表示正确的是（）A．b﹣a＜0 B．1﹣a＞0 C．b﹣1＞0 D．﹣1﹣b＜05．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B'的位置，连接BB'并延长交CD于点E，则B'E的长为（）A． B． C． D．6．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为（）A．64° B．40° C．52° D．42°7．若抛物线y＝ax2﹣3x+2只经过三个象限，则a的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）8．分解因式：x3﹣4x2+4x＝．9．正八边形半径为2，则正八边形的面积为．10．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在1261年他所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．请你探索杨辉三角中每一行中所有数字之和的规律，并求出第2023行中所有数字之和为．11．如图，点A是反比例函数y2＝（x＞0）的图象上的一动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数y1＝（k≠0，x＞0）的图象交于点B、点C，连接OB，OC．若四边形OBAC的面积为5，则k＝．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为．三、解答题（本大题共13小题，计84分，解答应写出过程）13．求不等式﹣x+1＞﹣2的正整数解．14．计算：．15．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．16．已知：在正方形ABCD中，E是AD边上一定点，连接CE．请用尺规作图法，在CE上求作一点P，使△DPC∽△EDC．17．如图，在△ABC中，AB＝6，∠A＝45°，∠B＝75°，求AB边上的高．18．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B两点均在格点上，且坐标分别为A（3，2），B（0，2）．（1）点A关于y轴对称的点的坐标为；（2）在网格线中描出点A、B，并画出△AOB，若将△AOB绕着点O顺时针方向旋转90°得到△A1OB1，则线段BB1的长度为，请在图中画出△A1OB1；（3）若以O、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．19．一个不透明的口袋中装有4个小球，这四个小球上分别标有数字“﹣1”、“﹣2”、“3”、“4”，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同．（1）若小红一次摸出一个球，则摸出的数字是偶数的概率为；（2）若小刚一次摸出两个球，用树状图或者表格的方法求出两个球上的数字之积为负数的概率．20．我国的纸伞制作工艺十分巧妙，如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，AE＝AF，从而保证伞圈D沿着伞柄滑动．（1）求证：△AED≌△AFD．（2）当伞撑开后，我们发现B，D，C在同一条直线止，已知AB＝60cm，AD＝36cm，两个身体宽度45cm的人撑伞并排站立，两人之间间隔10cm，请问他们是否会淋到雨？并说明理由．21．春季是流感高发的季节，出门切记戴口罩．当下口罩市场出现热销，某药店老板用900元购进甲、乙两种型号的口罩在药店销售，销售完后共获利300元．进价和售价如表：型号价格甲型口罩乙型口罩进价（元/袋）23售价（元/袋）33.5（1）该药店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？（2）该药店第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共600袋，并且甲种口罩的数量不超过乙种口罩数量的2倍，并且此次用于购进口罩的资金不超过1480元．若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完．设此次购进甲种口罩x袋，超市获利y元，试求y关于x的函数关系式，并求出最大利润．22．我校举办了预防春季传染病知识竞答活动，学校随机抽取了九年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在60～70分之间的记为A组，70～80分之间的记为B组，80～90分之间的记为C组，90～100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分），得到如下不完整的统计表：组别分数（分）频数（人）百分比A60＜x≤705mB70＜x≤801530%C80＜x≤902040%D90＜x≤100np（1）m＝，n＝，p＝；（2）此次竞答活动得分的中位数落在组；（3）已知该校九年级共有1500名学生，请估计九年级学生中竞答成绩高于80分的人数．23．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求抛物线的解析式；（2）拱桥下，有一加固桥身的“脚手染”矩形EFGH（H，G在抛物线上，且点H在点G的左边），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用锎材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．（1）求证：BD＝BE；（2）若DE＝2，，求AE的长．25．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点P是边AD上的一个动点．【操作判断】（1）如图1，甲同学先将矩形ABCD对折，使得AD与BC重合，展开得到折痕EF．将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在EF上的M处，则线段AM与线段PB的位置关系为；∠MBC的度数为；【迁移探究】（2）如图2，乙同学将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在矩形ABCD的对角线上，求此时AP的长；【综合应用】（3）如图3，点Q在边AB上运动，且始终满足PQ∥BD，以PQ为折叠，将△APQ翻折，求折叠后△APQ与△ABD重叠部分面积的最大值，并求出此时AP的长．

参考答案一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列实数中，一定是无限不循环小数的是（）A． B． C． D．0.2022022022…【分析】根据无限不循环小数的概念解答即可．解：A、原式＝2，是整数，不合题意；B、是分数，是无限循环小数，不合题意；C、是无理数，是无限不循环小数，符合题意；D、0.2022022022…，是无限循环小数，不合题意；故选：C．【点评】此题考查的是实数，有理数和无理数统称实数．2．如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（）A．60° B．45° C．30° D．25°【分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，又∵DF∥HG，∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．3．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x增大而增大，则（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＜2 D．k＞2【分析】根据一次函数的性质，可得答案．解：由题意，得k﹣2＞0，解得k＞2，故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式表示正确的是（）A．b﹣a＜0 B．1﹣a＞0 C．b﹣1＞0 D．﹣1﹣b＜0【分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得b＜﹣1＜1＜a，再根据有理数的加减法法则可得答案．解：由题意，可得b＜﹣1＜1＜a，则b﹣a＜0，1﹣a＜0，b﹣1＜0，﹣1﹣b＞0．故选：A．【点评】此题主要考查了实数与数轴，关键是掌握在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．也考查了有理数的加减法法则．5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B'的位置，连接BB'并延长交CD于点E，则B'E的长为（）A． B． C． D．【分析】分别延长AD和BE交于点F，由直角三角形的性质求出EF的长，根据△ABB'是等边三角形，求出B'E＝BF﹣BB'﹣EF即可．解：分别延长AD和BE交于点F，由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，∴BF＝2AB＝4，AF＝AB＝2，∠F＝90°﹣∠ABF＝30°，∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，∴EF＝DF＝（2）×＝3﹣，由题知，△ABB'是等边三角形，∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识点，根据旋转判断△ABB'是等边三角形及特殊角三角函数的应用是解题的关键．6．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为（）A．64° B．40° C．52° D．42°【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．解：∵圆内接四边形ABCD，∠ABC＝64°，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．7．若抛物线y＝ax2﹣3x+2只经过三个象限，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【分析】先确定抛物线的对称轴和与y轴的交点，然后根据二次函数的性质分两种情况讨论．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，当a＞0，＞0，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，把x＝0代入y＝ax2﹣3x+2得，y＝2，∴抛物线与y轴的交点为（0，2），令Δ＝（﹣3）2﹣4×a×2＞0，解得a＜，∴当0＜a＜时，抛物线经过第一、二、四象限，当a＜0，＜0，∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，∵抛物线与y轴的交点为（0，2），∴此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不合题意，∴若抛物线y＝ax2﹣3x+2只经过三个象限，则a的取值范围为0＜a＜，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）8．分解因式：x3﹣4x2+4x＝x（x﹣2）2．【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可．解：x3﹣4x2+4x＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2，故答案为x（x﹣2）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．正八边形半径为2，则正八边形的面积为16．【分析】首先根据正八边形的性质得出中心角度数，进而得出AC的长，从而计算出△ABO的面积，最后乘以8即可求得正八边形的面积．解：连接OA，OB，作AC⊥BO于点C，∵⊙O的半径为2，则⊙O的内接正八边形的中心角为：＝45°，∴AC＝CO＝2，∴S△ABO＝OB•AC＝×2×2＝2，∴S正八边形＝8S△ABO＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，题目中没有作出边心距求面积是解答本题的亮点，难度一般．10．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在1261年他所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．请你探索杨辉三角中每一行中所有数字之和的规律，并求出第2023行中所有数字之和为22022．【分析】通过计算发现，第n行数的和是2n﹣1，由此求解即可．解：第1行数的和是1，第2行数的和是2，第3行数的和是4，第4行数的和是8，第5行数的和是16，……，第n行数的和是2n﹣1，∴第2023行数的和是22022，故答案为：22022．【点评】本题考查数字的变化规律，观察所给的杨辉三角，通过计算探索出每行数的和的一般规律是解题的关键．11．如图，点A是反比例函数y2＝（x＞0）的图象上的一动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数y1＝（k≠0，x＞0）的图象交于点B、点C，连接OB，OC．若四边形OBAC的面积为5，则k＝3．【分析】延长AB，AC分别交y轴，x轴于点E，D，易得四边形OBAC的面积等于8﹣k，即可得解．解：延长AB，AC分别交y轴，x轴于点E，D，∵AB∥x轴，AC∥y轴，则：四边形AEOD为矩形，△OBE，△ODC为直角三角形，∵点A在反比例函数的图象上，点B、点C在反比例函数（k≠0，x＞0）上，∴S矩形AEOD＝8，，∴四边形OBAC的面积＝S矩形AEOD﹣S△OBE﹣S△ODC＝8﹣k＝5，∴k＝3；故答案为：3．【点评】本题考查一直图形面积求k值．熟练掌握k值的几何意义，是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为5﹣2．【分析】作△EMC的外接圆⊙O，连接AO，当点M是AO与⊙O的交点时，AM最小．解：如图，作△EMC的外接圆⊙O，连接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，∵BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，∴BE＝1，EC＝4，∵∠CME＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE＝OC＝2，ON＝EN＝CN＝2，∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，在Rt△AFO中，AO＝，当点M是OA与⊙O的交点时，AM最小，∴AM的最小值＝OA﹣OE＝5﹣2．故答案为：5﹣2．【点评】本题考查了点圆位置关系求最值，解题的关键是构造辅助圆．三、解答题（本大题共13小题，计84分，解答应写出过程）13．求不等式﹣x+1＞﹣2的正整数解．【分析】不等式去分母，移项合并，把x系数化为1，求出解集，确定出正整数解即可．解：去分母得：﹣3x+5＞﹣10，移项合并得：﹣3x＞﹣15，解得：x＜5，则不等式的正整数解为1，2，3，4．【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．14．计算：．【分析】先利用乘方、绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．解：原式＝﹣1+2﹣3+﹣××＝﹣1+2﹣3+﹣3＝﹣4﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和特殊角的三角函数值是解决问题的关键．15．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解：原式＝÷＝÷＝•＝﹣，当x＝﹣3时，原式＝﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．已知：在正方形ABCD中，E是AD边上一定点，连接CE．请用尺规作图法，在CE上求作一点P，使△DPC∽△EDC．【分析】若△DPC∽△EDC，则∠DCE＝∠PCD，∠EDC＝∠DPC＝90°，即过点D作DP⊥EC，根据垂线的作图方法作图即可．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°，∵△DPC∽△EDC，∴∠DCE＝∠PCD，∠EDC＝∠DPC＝90°，即过点D作DP⊥EC即可．如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣相似变换、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质是解答本题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝6，∠A＝45°，∠B＝75°，求AB边上的高．【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，然后根据等腰直角三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出AC与BD的长度，然后根据△ABC的面积即可求出AB边上的高．解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°＝∠A，∴AD＝BD，∵AB＝6，∴BD＝AD＝AB×sin∠A＝6×＝3，∵∠ABC＝75°，∠ABD＝45°，∴∠CBD＝30°，∵tan30°＝，∴CD＝BD×tan30°＝3×＝，∴AC＝AD+CD＝3+，设AB边上的高为h，∵S△ACB＝AC•BD＝×（3+）×3＝9+3，∴AB•h＝9+3，解得：h＝3+，即AB边上的高为3+．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B两点均在格点上，且坐标分别为A（3，2），B（0，2）．（1）点A关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）；（2）在网格线中描出点A、B，并画出△AOB，若将△AOB绕着点O顺时针方向旋转90°得到△A1OB1，则线段BB1的长度为，请在图中画出△A1OB1；（3）若以O、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（3，4）或（3，0）或（﹣3，0）．【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得答案．（2）根据点A，B的坐标描点并连线即可；利用勾股定理可求得线段BB1的长度；根据旋转的性质作图即可．（3）分别讨论以AB，OA，OB为平行四边形的对角线，结合平行四边形的性质可得答案．解：（1）∵A（3，2），∴点A关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．（2）如图，△AOB和△A1OB1即为所求．BB1＝＝．故答案为：．（3）当以AB为平行四边形的对角线时，OB＝AD1，OB∥AD1，∴点D1的坐标为（3，4）；当以OA为平行四边形的对角线时，AB＝OD2，AB∥OD2，∴点D2的坐标为（3，0）；当以OB为平行四边形的对角线时，AB＝OD3，AB∥OD3，∴点D3的坐标为（﹣3，0）．综上所述，满足题意的点D的坐标为（3，4）或（3，0）或（﹣3，0）．故答案为：（3，4）或（3，0）或（﹣3，0）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、旋转变换、勾股定理、平行四边形的性质，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、勾股定理、平行四边形的性质是解答本题的关键．19．一个不透明的口袋中装有4个小球，这四个小球上分别标有数字“﹣1”、“﹣2”、“3”、“4”，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同．（1）若小红一次摸出一个球，则摸出的数字是偶数的概率为；（2）若小刚一次摸出两个球，用树状图或者表格的方法求出两个球上的数字之积为负数的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两个球上的数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．解：（1）∵四个数中，是偶数的有﹣2和4，∴小红一次摸出一个球，摸出的数字是偶数的概率为＝．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，两个球上的数字之积分别为：2，﹣3，﹣4，2，﹣6，﹣8，﹣3，﹣6，12，﹣4，﹣8，12，其中两个球上的数字之积为负数的结果有：﹣3，﹣4，﹣6，﹣8，﹣3，﹣6，﹣4，﹣8，共8种，∴两个球上的数字之积为负数的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．20．我国的纸伞制作工艺十分巧妙，如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，AE＝AF，从而保证伞圈D沿着伞柄滑动．（1）求证：△AED≌△AFD．（2）当伞撑开后，我们发现B，D，C在同一条直线止，已知AB＝60cm，AD＝36cm，两个身体宽度45cm的人撑伞并排站立，两人之间间隔10cm，请问他们是否会淋到雨？并说明理由．【分析】（1）由SAS证明△AED≌△AFD即可；（2）由全等三角形的性质得∠EAD＝∠FAD，再由等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD＝CD，然后由勾股定理求出BD＝48cm，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AP平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS）；（2）解：他们会淋到雨，理由如下：当伞撑开后，我们发现B，D，C在同一条直线上，连接BC，则点D在线段BC上，如图，由（1）可知，△AED≌△AFD，∴∠EAD＝∠FAD，∵AB＝AC＝60cm，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝48（cm），∴BC＝2BD＝96cm，∵2×45+10＝100（cm）＞96cm，∴他们会淋到雨．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21．春季是流感高发的季节，出门切记戴口罩．当下口罩市场出现热销，某药店老板用900元购进甲、乙两种型号的口罩在药店销售，销售完后共获利300元．进价和售价如表：型号价格甲型口罩乙型口罩进价（元/袋）23售价（元/袋）33.5（1）该药店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？（2）该药店第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共600袋，并且甲种口罩的数量不超过乙种口罩数量的2倍，并且此次用于购进口罩的资金不超过1480元．若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完．设此次购进甲种口罩x袋，超市获利y元，试求y关于x的函数关系式，并求出最大利润．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可计算出该药店财进甲、乙两种型号口罩各多少袋；（2）根据题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据甲种口罩的数量不超过乙种口罩数量的2倍，并且此次用于购进口罩的资金不超过1480元，可以列出相应的不等式组，从而可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到y的最大值．解：（1）设该药店财进甲种型号口罩a袋，乙种型号口罩b袋，由表格可得：，解得，答：该药店财进甲种型号口罩225袋，乙种型号口罩150袋；（2）设此次购进甲种口罩x袋，则购进B种口罩（600﹣x）袋，超市获利y元，由题意可得：y＝（3﹣2）x+（3.5﹣3）（600﹣x）＝0.5x+300，∴y随x的增大而增大，∵甲种口罩的数量不超过乙种口罩数量的2倍，并且此次用于购进口罩的资金不超过1480元，∴，解得320≤x≤400，∴当x＝400时，w取得最大值，此时w＝500，答：y关于x的函数关系式为y＝0.5x+300，最大利润为500元．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．22．我校举办了预防春季传染病知识竞答活动，学校随机抽取了九年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在60～70分之间的记为A组，70～80分之间的记为B组，80～90分之间的记为C组，90～100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分），得到如下不完整的统计表：组别分数（分）频数（人）百分比A60＜x≤705mB70＜x≤801530%C80＜x≤902040%D90＜x≤100np（1）m＝10%，n＝10，p＝20%；（2）此次竞答活动得分的中位数落在C组；（3）已知该校九年级共有1500名学生，请估计九年级学生中竞答成绩高于80分的人数．【分析】（1）用B组的频数除以它对应的频率可得样本容量，再用5除以样本容量可得m的值；用样本容量分别减去其他组的频数，可得n的值，进而调查p的值；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）用1500乘样本中成绩高于80分的人数所占比例可得答案．解：（1）由题意得，样本容量为：15÷30%＝50，故m＝＝10%；n＝50﹣5﹣15﹣20＝10；p＝＝20%．故答案为：10%；10；20%；（2）把调查的50人的成绩从小到大排列，排在第25和26个数都在C组，所以此次竞答活动得分的中位数落在C组．故答案为：C；（3）1500×（40%+20%）＝900（名），答：估计九年级学生中竞答成绩高于80分的人数大约有900名．【点评】本题考查频数分布表，中位数以及用样本感觉总体，掌握“频率＝”是解答本题的关键．23．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求抛物线的解析式；（2）拱桥下，有一加固桥身的“脚手染”矩形EFGH（H，G在抛物线上，且点H在点G的左边），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用锎材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c，根据题意列方程组，即可得到结论；（2）设点G的坐标为（t，﹣t2+5），根据题意列方程，解方程即可得到结论．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c，经过B（10，0），C（0，5），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5；（2）设点G的坐标为（t，﹣t2+5），根据题意得HG＝2t，GF＝﹣t2+5，∵EH+HG+GF＝18.4m，∴2t+2（﹣t2+5）＝18.4，解得t1＝6，t2＝14（不合题意，舍去），∴HG＝12m，GF＝3.2m，∴EO＝HG＝6（m），AE＝AO﹣EO＝4（m）．答：“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意设出函数解析式是根本，待定系数法求得抛物线解析式是解题关键．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．（1）求证：BD＝BE；（2）若DE＝2，，求AE的长．【分析】（1）利用角平分线的定义，直径所对的圆周角为直角，对顶角相等，切线的性质定理和等角的余角相等得到∠DEB＝∠D，再利用等腰三角形的判定定理解答即可；（2）利用（1）的结论和等腰三角形的三线合一的性质得到DF的长，再利用切割线定理求得AD，则AE＝AD﹣DE．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠DEB＝∠CEA，∴∠DEB+∠DAB＝90°，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD+∠D＝90°，∴∠DEB＝∠D，∴BD＝BE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥DE，∵BD＝BE，∴EF＝DF＝DE＝1，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∵BF⊥AD，∴Rt△BDF∽Rt△ADB，∴＝，∴BD2＝DF•DA，∴（）2＝1×AD，∴AD＝5，∴AE＝AD﹣DE＝5﹣2＝3．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定定理与性质定理，圆的切割线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．25．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点P是边AD上的一个动点．【操作判断】（1）如图1，甲同学先将矩形ABCD对折，使得AD与BC重合，展开得到折痕EF．将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在EF上的M处，则线段AM与线段PB的位置关系为AM⊥PB；∠MBC的度数为30°；【迁移探究】（2）如图2，乙同学将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在矩形ABCD的对角线上，求此时AP的长；【综合应用】（3）如图3，点Q在边AB上运动，且始终满足PQ∥BD，以PQ为折叠，将△APQ翻折，求折叠后△APQ与△ABD重叠部分面积的最大值，并求出此时AP的长．【分析】（1）由折叠得BA＝BM，PA＝PM，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明△MAB是等边三角形即可求出角度；（2）对A点分别落在对角线AC、BD上进行分类讨论，①当A点落在对角线BD上E点时，设AP＝x，分别出PE、DE、PD，用勾股定理即可求解；②当A点落在对角线AC上E点时，过E作EF∥AB，设AP＝x，PF＝a，证明△GEB∽△FPE，从而求出GE＝，再求出GE、BG，用勾股定理即可求解；（3）设AP＝x，分别求出当0＜x≤4和4＜x≤8时，面积所满足的函数关系式，并在x的取值范围