线性系统的状态空间分析

线性系统的状态空间分析第1页，共55页，2023年，2月20日，星期六状态空间描述不仅适合于线性系统，也适应于时变系统、非线性系统和随机控制系统。从这个意义上来讲，状态空间描述是对系统的一种完全描述。

8.1.1基本概念1.分析图8-1，能够描述小车行走状态的的变量有；、、，以及a(t)和t，其中t是隐变量，

a(t)与F(t)、v(t)线性相关。。

如果已知外力F(t)

、x(t)和v(t)，则可以计算出任意t≥t0时刻系统未来的状态x(t)和v(t)。单输入单输出模型，一次只能看到一个两维平面的变化，不能同时观察到所有平面内的变化。第2页，共55页，2023年，2月20日，星期六状态：时域内运动信息的集合，包括过去的（是现在的“因”）、现在的（是过去的“果”；将来的“因”）和将来的（“果”）。状态变量：独立、完全确定系统状态的一组数目最小的变量称为状态变量。独立——线性无关；完全确定——给定t时刻的变量组和系统在t≥t0时间内的输入函数，则系统在t≥t0的任意时刻的状态就可完全确定。数目最小——如果状态变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于该值，又不足以描述系统的状态。状态向量：由状态变量组成的矢量。小车系统中，状态向量为

状态或连续或离散，但因果关系是能量传递链，可显可隐却不会间断——“离散”。2.基本术语解释第3页，共55页，2023年，2月20日，星期六状态空间：由n个状态变量xi(t),(i=1,2,…,n)为坐标轴所张成的n维空间。状态向量X(ti)为某一时刻状态空间中的一个点，X(t)随时间推移在状态空间中的运动轨迹，称为状态轨迹。状态空间可以是希尔伯特空间的子空间或特例。状态方程：描述系统状态向量与输入向量之间关系的一阶微分方程或差分方程。输出方程：动态方程：线性时变系统动态方程的一般形式希尔伯特空间是有限维欧几里得空间向无穷维的推广（H∞），也是巴拿赫空间(Banachspace)的特例。欧几里得空间、序列空间、勒贝斯格空间、Sobolev空间都是希尔伯特空间的特例。都在时域下张成，未能突破时间。第4页，共55页，2023年，2月20日，星期六对于线性定常系统A、B

、G、H、C、D为常系数矩阵，G、H形式同A、B。第5页，共55页，2023年，2月20日，星期六图中，I为（n×n）单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。例8-1

试确定图8-4(a)，(b)所示电路的独立状态变量。图中分别是输入电压和输入电流，为输出电压，为电容器电压或电感器电流。(a)(b)图8-4(a)只有一个变量是独立的，状态变量只能任选其中一个。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。图8-4(b)，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即和或和，可以任用其中一组作为状态变量。反映内部能量变化第6页，共55页，2023年，2月20日，星期六8.1.2动态方程与传递函数的关系设初始条件为零，对线性定常系统的动态方程进行拉氏变换系统的传递函数矩阵（简称传递矩阵）定义为线性定常系统£：×第7页，共55页，2023年，2月20日，星期六例8-2

已知系统动态方程为试求系统的传递函数矩阵。解：已知故第8页，共55页，2023年，2月20日，星期六8.1.3线性定常系统动态方程的建立8.1.3.1根据系统物理模型建立动态方程例8-3

试列写图示RLC电路方程，选择几组状态变量建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。第9页，共55页，2023年，2月20日，星期六解：有明确物理意义的常用变量主要有：电流、电阻器电压、电容器的电压与电荷、电感器的电压与磁通。根据回路电压定律

（1）设，则状态方程为Abc真正的内部变量是i第10页，共55页，2023年，2月20日，星期六（3）设，其中无明确的物理意义，但也可以推出一组动态方程。

结论：对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方程也不是惟一的。一般选择储能器件上的量做为状态变量。例8-4试列写图示系统的动态方程。

（2）设初速度≠0第11页，共55页，2023年，2月20日，星期六例8-5

试列写电枢控制直流电动机的状态空间表达式。电枢回路微分方程机械旋转部分的微分方程电磁感应公式+单输入单输出变为单输入三输出，即增加了对速度和加速度的测量点。第12页，共55页，2023年，2月20日，星期六设则若则,且二阶↓三阶

结论：同一系统动态方程的维数、变量、系数矩阵都不唯一。返第13页，共55页，2023年，2月20日，星期六

8.1.3.3由系统传递函数建立动态方程(P.304)

——从SISOS推出的结论适合MIMOS1.实现问题提出：传递函数→动态方程不唯一。凡能复现同一传递函数的动态方程称为可实现模型，其物理实现也是系统的真实构造。结论：可以证明系统可实现的条件是：传递函数必须是真的或者严格真的，即系统分母阶数不小于分子阶数(n≥m)。否则，自动态方程返还的传递函数可能不再是原有的结构，因为原系统存在能量自激。第14页，共55页，2023年，2月20日，星期六£-1零初值最小实现：2.能控标准型设则若n=m，则为非最小实现。第15页，共55页，2023年，2月20日，星期六设x及各阶导数均为储能元件输出，则令第16页，共55页，2023年，2月20日，星期六3.能观标准型一般地则首一对偶系统第17页，共55页，2023年，2月20日，星期六前例的能观标准型为若系统∑(AC，BC，CC)与∑(AO，BO，CO)存在如下关系，则称它们为对偶系统。第18页，共55页，2023年，2月20日，星期六4.对角线型同前例Abc推广至一般形式求£-1第19页，共55页，2023年，2月20日，星期六为不相重极点处的留数第20页，共55页，2023年，2月20日，星期六若G(s)含有重实极点其结构图和动态方程为则系数矩阵如下——约当型Y(s)=U(s)第21页，共55页，2023年，2月20日，星期六A1例8-8自习。

8.1.3.2由高阶微分方程建立动态方程例8-6已知系统的微分方程为，求系统动态方程的能控、观标准型。设初始条件为零，则能控标准型001y=[1.510.5]避开繁琐推导第22页，共55页，2023年，2月20日，星期六能观标准型加例：已知系统微分方程为，求系统能控标准型动态方程。首一解：则001y=[1.510.5]+2u首一且最小实现说明：三种标准型状态变量的物理意义不太明确，可从结构图或信号流图中看到微积分关系。第23页，共55页，2023年，2月20日，星期六8.1.3.4由差分方程和脉冲传递函数建立动态方程两端取Z变换，并整理得脉冲传递函数为∵∴Z-1Z-1首一最小实现第24页，共55页，2023年，2月20日，星期六简记8.1.4动态方程的非唯一性对同一系统，由于状态变量选取不唯一，便有不同形式的动态方程。这些动态方程之间可以进行非奇异线性变换。设系统的状态方程为令则d1=d动态方程的非唯一性+d1u+du；传递函数的不变性设同一系统（n≥m）的两个动态方程分别为总可以找到非奇异的PG、H、C、D标准型同连续系统回放投影关系第25页，共55页，2023年，2月20日，星期六其传递函数分别为思路：直接求解状态方程几乎不可能，我们将从解的形式寻找类推规律。和且则8.2动态方程的响应8.2.1线性定常系统齐次状态方程的解——零输入解u(t)=0+Bu结论：不同的动态方程→唯一的传递函数；但传递函数→动态方程不唯一。第26页，共55页，2023年，2月20日，星期六根据一元一阶微分方程的解∴类推出记——状态转移矩阵幂级数法拉氏变换法L：£：£-1£-1怎样确定？零输入解第27页，共55页，2023年，2月20日，星期六8.2.3线性定常系统非齐次状态方程的解——u(t)≠0，x(0)≠0£：£-1：£-1£-1零输入解零状态解£-1∴∵=£-1可以证明(P.316):第28页，共55页，2023年，2月20日，星期六例8-11设系统状态方程为试求在作用下状态方程的解。解1：£-1：£:→①第29页，共55页，2023年，2月20日，星期六②=£-1=£-1∴解2：利用信号流图求解状态方程。I：x(t)=1(t)，x1(0)≠0，

x2(0)≠0，则视系统为3I2O；O：x1(t)

，x2(t)。第30页，共55页，2023年，2月20日，星期六以x2为输出的前向通路以x1为输出的前向通路第31页，共55页，2023年，2月20日，星期六£-18.2.4线性定常离散系统的运动分析第32页，共55页，2023年，2月20日，星期六8.3线性系统的稳定性、能控性和能观性8.3.1能控性和能观性的定义稳定性——特征方程det(sI-A)=0，即︱sI-A︱=0的所有根位于左半s平面。£-1Z-1传递函数矩阵与脉冲传递函数矩阵对比：第33页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．能控性——输入可以控制状态到达状态空间内的任意点。例8-12解：与输入u(t)和状态变量x1均没有关系，x2明显不能控制。如果改写上式则x2可由u直接控制，而x1可通过x2由u间接控制。是否可以从状态方程直接观察出能控性？解：例8-13设系统的初始状态为零第34页，共55页，2023年，2月20日，星期六x1=x20不能从状态方程直接观察。定义：，如果存在无约束的分段连续控制函数u(t)

，能使系统从任意初态x(t0)转移至任意终态x(tf)

，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。只要有一个状态变量不能控，则称系统状态不完全能控，简称系统不能控。第35页，共55页，2023年，2月20日，星期六y(t)反映的是x1(0)

与x2(0)的差值随时间衰变的过程，无法得到各自独立的运行状况。3.能观性——输出可以反映状态空间内的任意状态点。

例8-14y=x1可直接测量，而与x1无关，所以不可能从y中间接得到x2。例8-15定义：对于任意初始时刻t0，若能在有限时间t>t0之内，根据系统的输出y(t)

，唯一地确定在初始时刻的状态x(t0)，则称系统状态完全能观，简称系统能观。只要有一个状态变量在初始时刻t0的值不能由输出唯一地确定，则称系统状态不完全能观，简称系统不能观。第36页，共55页，2023年，2月20日，星期六说明：能控性是通过u(t)控制(掌握)所有未来的状态；能观性是通过y(t)测量(“回忆”)过去的状态。单从动态方程难以确定能控性和能观性。从动态方程的解中也很难找出判断规律，且求解困难。8.3.2+8.3.3能控性与能观性判据1．秩判据第37页，共55页，2023年，2月20日，星期六系统状态完全能控不能观。结论：能控标准型状态必完全能控，结论可逆。附加例题：讨论系统的能控能观性。解；能控标准型：对角线型能观标准型：第38页，共55页，2023年，2月20日，星期六系统状态完全能观不能控。结论：能观标准型状态必完全能观，结论可逆。2．对角线或约当型判据——可用秩判据，也可直观判断。若既不完全能控也不完全能观。则既能控也能观；能观不能控；能控不能观。第39页，共55页，2023年，2月20日，星期六推论：1.对角线型系统状态完全能控和/或能观的条件是B中没有零元素行和/或C中没有零元素列。2.约当型系统状态完全能控和/或能观的条件是B中与各约当块末行对应的行不全为零和/或C中与各约当块首列对应的列不全为零。例8-17，教材P.3213.离散系统能控能观性判据加例：试判断连续和离散系统的能控性和能观性。临界稳定，可通过观测器和状态反馈极点配置改变其稳定性。返回第40页，共55页，2023年，2月20日，星期六8.3.4能控性、能观测性与传递函数矩阵的关系连续系统离散后能控能观性将变差，且与采样周期密切相关。能观不能控；能控不能观；能控能观离散系统能控能观的条件。连续系统既能控也能观。第41页，共55页，2023年，2月20日，星期六有零极对消(sI-A)-1b存在零极对消，不能控。c(sI-A)-1不存在零极对消，能观。有零极对消c(sI-A)-1存在零极对消，能控不能观。无零极对消，能控能观。第42页，共55页，2023年，2月20日，星期六结论：单输入-单输出系统能控、能观测的充要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零、极点对消；系统能控的充要条件是(sI-A)-1b不存在零、极点对消；系统能观的充要条件是c(sI-A)-1不存在零、极点对消；若传递函数有可对消的零、极点，在推导状态方程时不应实施对消，以免掩盖稳定性、能控/观性，传递函数（低维空间描述）不是完全的描述。8.4状态反馈与状态观测器——用于性能改善8.4.1线性定常系统常用反馈结构使，则状态反馈回放第43页，共55页，2023年，2月20日，星期六状态反馈通过(sI-A+BK)-1改变极点位置，但不影响输出；状态是内部变量，所以实现状态反馈的前提是状态可观测。2.输出反馈由于C中往往有零元素，所以输出反馈仅利用了状态变量的线性组合进行反馈，其信息量较小。一般认为输出所引用的状态变量都是可测量的。8.4.2状态反馈与极点配置假设状态都可直接测量，K第44页，共55页，2023年，2月20日，星期六极点配置定理：状态反馈不改变系统的能控性但可能改变能观性。用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是系统状态完全能控。根据︱sI-A︱=0，可按期望极点位置选择K矩阵。第45页，共55页，2023年，2月20日，星期六例8-20试用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1±j1。解：设状态反馈系统特征方程为期望闭环极点对应的系统特征方程为由两特征方程同幂项系数应相同，可得保证稳定性保证能控性省略判断第46页，共55页，2023年，2月20日，星期六8.4.3状态重构与状态观测器设计极点配置，状态反馈明显优于输出反馈，但状态变量并非都可直接测量；输出量都可测量，但往往不包含所有状态，所以输出反馈不能任意配置系统的闭环极点。利用系统的输出，通过状态观测器可重构系统的状态。观测器包括全维状态观测器或降维观测器。第47页，共55页，2023年，2月20日，星期六如果，则观测器完全等同于原系统。只要det[sI-(A-HC)]=0的特征根具有负实部，则上述结论成立。显然，特征根据虚轴越远，收敛越快。定理

系统可以设计状态观测器的充分必要条件是原系统状态完全能观测。例8-21试设计全维状态观测器，极点配置在(-10，-10)处。这种方法实际又叫“软测量”，例如无速度传感器电机调速系统，完全由软件实现速度观测。