广义积分的判别法

广义积分的判别法现在是1页\一共有26页\编辑于星期一二、无界函数反常积分的审敛法第一讲反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法函数现在是2页\一共有26页\编辑于星期一定义1.设若存在,则称此极限为

f(x)的无穷限广义积分,记作这时称广义积分收敛

;如果上述极限不存在,就称广义积分发散

.一、无穷限广义积分注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积现在是3页\一共有26页\编辑于星期一引入记号则有类似N–L公式的计算表达式:2.无穷限广义积分的计算现在是4页\一共有26页\编辑于星期一一、无穷限反常积分的审敛法定理1.若函数证:根据极限收敛准则知存在,现在是5页\一共有26页\编辑于星期一定理2.(比较审敛原理)且对充,则证:

不失一般性,因此单调递增有上界函数,现在是6页\一共有26页\编辑于星期一说明:

已知得下列比较审敛法.极限存在,现在是7页\一共有26页\编辑于星期一定理3.(比较审敛法1)现在是8页\一共有26页\编辑于星期一例1.判别反常积分解:的敛散性.机动目录上页下页返回结束由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题:

讨论反常积分的敛散性.提示:

当x≥1时,利用可知原积分发散.现在是9页\一共有26页\编辑于星期一定理4.(极限审敛法1)机动目录上页下页返回结束则有:1)当2)当证:根据极限定义,对取定的当x

充分大时,必有,即满足现在是10页\一共有26页\编辑于星期一当机动目录上页下页返回结束可取必有即注意:此极限的大小刻画了现在是11页\一共有26页\编辑于星期一例2.判别反常积分的敛散性.解:机动目录上页下页返回结束根据极限审敛法1,该积分收敛.例3.

判别反常积分的敛散性.

解:根据极限审敛法1,该积分发散.现在是12页\一共有26页\编辑于星期一定理5.机动目录上页下页返回结束证：则而现在是13页\一共有26页\编辑于星期一定义.设反常积分机动目录上页下页返回结束则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.

判断反常积分的敛散性.解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).现在是14页\一共有26页\编辑于星期一(2013)现在是15页\一共有26页\编辑于星期一无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束由定义例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.现在是16页\一共有26页\编辑于星期一定理6.(比较审敛法2)定理3目录上页下页返回结束瑕点,有有利用有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的

x(x>a).现在是17页\一共有26页\编辑于星期一定理7.(极限审敛法2)定理4目录上页下页返回结束则有:1)当2)当例5.判别反常积分解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.现在是18页\一共有26页\编辑于星期一例6.判定椭圆积分定理4目录上页下页返回结束散性.解:由于的敛根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.现在是19页\一共有26页\编辑于星期一类似定理5,有下列结论:机动目录上页下页返回结束称为绝对收敛.则反常积分现在是20页\一共有26页\编辑于星期一三、函数1.定义机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在内收敛.令现在是21页\一共有26页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束综上所述,现在是22页\一共有26页\编辑于星期一2.性质(1)递推公式机动目录上页下页返回结束证:(分部积分)注意到:现在是23页\一共有26页\编辑于星期一(2)得应用中