极限的基本性质

（优选）极限的基本性质ppt现在是1页\一共有25页\编辑于星期一二、函数极限的性质唯一性局部有界性局部保号性函数极限与数列极限的关系

第二章

现在是2页\一共有25页\编辑于星期一一、收敛数列的性质

1.唯一性定理1.1

(收敛数列极限的唯一性)即若则必有若极限则极限唯一.现在是3页\一共有25页\编辑于星期一(用反证法)及且取因

N1

N+,使当n>N1时,假设即当n>N1

时,从而使当n>N1

时,证法1现在是4页\一共有25页\编辑于星期一同理,因故

N2

N+,使当n>N2时,有从而使当n>N2

时,有从而使当n>N1

时,则当n>N

时,矛盾！故假设不真!现在是5页\一共有25页\编辑于星期一例1

证明数列是发散的.证

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.对于则存在N,使当n>N

时,有因此该数列发散.于是推得矛盾！区间长度为1这与现在是6页\一共有25页\编辑于星期一2.有界性例如:有界无界现在是7页\一共有25页\编辑于星期一即若使(n=1,2,…).定理2.2(收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.现在是8页\一共有25页\编辑于星期一证设取则当时,从而有取则有即收敛数列必有界.有现在是9页\一共有25页\编辑于星期一注有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.

收敛有界关系：例如,虽有界，但不收敛.数列推论无界数列必发散.现在是10页\一共有25页\编辑于星期一3.保号性、保序性定理2.3(收敛数列的保号性)(1)若则使当n>N

时，(<)(<)(2)若则a0.(<)()恒有且现在是11页\一共有25页\编辑于星期一对a>0,取证(1)(2)

用反证法证明.注如：现在是12页\一共有25页\编辑于星期一推论2.3(保序性)使当n>N时，恒有(2)若时,有现在是13页\一共有25页\编辑于星期一证(

用反证法)取因故存在N1,

使当n>N1

时,假设从而当n>N1

时,现在是14页\一共有25页\编辑于星期一从而同理,因故存在

N2,使当n>N2

时,有则当n>N

时,便有与已知矛盾,于是定理得证.当n>N1

时,现在是15页\一共有25页\编辑于星期一4.收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念称为数列{xn}的一个子数列(或子列)。现在是16页\一共有25页\编辑于星期一例如,

从数列中抽出所有的偶数项是其子数列.它的第k项是组成的数列：现在是17页\一共有25页\编辑于星期一(2)收敛数列与其子数列的关系定理2.4也收敛，且证

设的任一子数列.若则当时,有取正整数K,使于是当时,有从而有现在是18页\一共有25页\编辑于星期一注定理1°

某收敛例如，但发散.2°

若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，

发散!现在是19页\一共有25页\编辑于星期一二、函数极限的性质1.唯一性定理2.1'

(函数极限的唯一性)2.局部有界性现在是20页\一共有25页\编辑于星期一如：(2)若则

X>0,函数f(x)有界.使得当时，现在是21页\一共有25页\编辑于星期一3.局部保号性

定理2.3'

(函数极限的局部保号性)(1)如果且

A>0,则存在(A<0)(2)如果且存在A

0.则(A

0).据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号现在是22页\一共有25页\编辑于星期一(1)如果存在X>0(或δ>0),时,恒有f(x)<g(x)(或推论2.3'(函数极限的局部保序性)时,恒有现在是23页\一共有25页\编辑于星期一问题:若f(x)<g(x),能否推出？例如:设当x>0时,有f(x)<g(x),但是不能！现在是24页\一共有25页\编辑于星期一内容小结1.