2019届高考考前60天冲刺-导数专练（理数）

2019届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】导

数专练

1、已知函数f(x)=\nx--,g(x)=f(x)+ax-6\nx,其中aeR。

x

(1)当。=1时，判断，(x)的单调性；

(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数。的取值范围；

2

(3)设函数h(x)=x-/ra:+4,当。=20寸,若玉，G(0,1),Vx2£[1,2],总有g(%)之力(七)成

立，求实数川

2.已知函数/(x)=Inx-a(x-l),a^R.

(I)讨论函数/(x)的单调性；

InY

(II)当时，/(x)W上l上恒成立，求a的取值范围.

x+1

3.已知函数f{x}=a\nx-ax-?＞{aGR).

(I)当。=1时，求函数f(x)的单调区间；

(II)若函数y=/(x)的图象在点(2J(2))处的切线的倾斜角为45°,问：而在什么范围

取值时，对于任意的/£［1,2］,函数g(x)=l+x2［葭+(。)］在区间93)上总存在

极值？

4.已知三次函数/(%)的导函数f'(x)=3x2-3ax,/(0)=b,a.b为实数。m］

(I)若曲线y=/(x)在点(a+1,/(tz+1))处切线的斜率为12,求。的值；

(II)若/(x)在区间［T,1］上的最小值.最大值分别为-2.1,且1＜。＜2,求函

数/(%)的解析式。

lax

5.已知函数/(x)=lnx2一(aeR,e为自然对数的底数).

(I)求函数/(x)的递增区间；

(II)当a=1时，过点P(0,7)(feR)作曲线y=/(x)的两条切线，设两切点为

4(西,/(%)),鸟(々,/(%))(%。％2)，求证无］+工2为定值，并求出该定值。

InY

6.已知函数f(x)=kx,g(x)=——

x

InY

(1)求函数g(x)=—的单调区间；

X

(2)若不等式/(x)2g(x)在区间(0,+8)上恒成立，求实数k的取值范围；

ln2In3Ino1

(3)求证:+…H---<—

n42e

7.己知函数/(幻n=r丝—1一

(1)当。=1时，求/(x)的单调区间;

(H)若对任意/€-,2,/«)>/恒成立，求实数a的取值范围.

_2_

8.已知函数f(x)=ax+]nx,aeR

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)是否存在实数a，使不等式/(x)<ax2对XG(l,+oo)恒成立,若存在,求实数a的取值范

围，若不存在,请说明理由.

1—4c

9设函数=+ax-\x\xia&R).

(I)当。=1时，求函数/(x)的极值；

(II)当a>1时，讨论函数f(x)的单调性.

(IH)若对任意ae(2,3)及任意e[l,2],恒有/m+ln2>|/(X)—f(w)|成立,

求实数m的取值范围.

1—a、

10.设函数/(x)-—-x2+ax-lnx(a£R).

(I)当。=1时，求函数/(x)的极值；

(II)当时，讨论函数/*)的单调性.

(111)若对任意。£(2,3)及任意公工2£口，2]，恒有府+皿2>|/(5)二/(%2)|成立，

求实数机的取值范围.

,。b

11.已知函数，(x)=2ax-\--hInx.

x

(I)若函数/(X)在x=l,x=；处取得极值，求a,8的值；

(U)若/'(1)=2,函数/(幻在(0,+oo)上是单调函数，求。的取值范围.

3

12.设f(x)=x3一](a+l)x?+3ax+1.

(1)若函数/(x)在区间(1,4)内单调递减，求a的取值范围；

(2)若函数/(x)在x=a处取得极小值是1,求a的值，并说明在区间(1,4)内函数f(x)的

单调性.

14.已知三次函数/(x)的导函数/(x)=3Y—3ax,/(O)=b,a.b为实数。m]

(I)若曲线y=/(x)在点(a+1，f(a+l))处切线的斜率为12,求。的值；

(II)若/(x)在区间[T,门上的最小值.最大值分别为-2.1,且1<a<2,求函

数f(x)的解析式。

1,

15.己知函数/1(*)=—/—ax+(a—1)Inx,a>\.

2

(I)若a〉2,讨论函数/(x)的单调性；

(H)已知a=l,g(x)=2f(x)+x3,若数列｛a｝的前〃项和为S“=g(〃)，证明：

1111/c、，、

—+—++—<-(n>2,neN+).

生/an3

16.已知/1。)=20¥-2+111元在1=1与x处都取得极值。

x2

(I)求〃，〜的值；

(II)若对时，/(x)<c恒成立，求实数c的取值范围。

17.已知函数f(x)=If+a/+bx,a,R.

3

(I)曲线C：y=f｛x)经过点尸(1,2),且曲线C在点尸处的切线平行于直线y=2x

+1,求a,b的值；

(II)已知f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，求证：0<d+bV2.

_1

18.已知函数f(x)=一9x**-ax+(aT)Inx,。>1。

2

(1)讨论函数/(光)的单调性；

(2)证明：若a<5,则对任意X[,x2G(0,4-00),Xj^x2,有勺)~_[0

Xj-x2

Inx

19.已知/G)=(0,e],g(x)=---,其中e是自然常数，aeR.

x

(I)当。=1时，研究/(幻的单调性与极值；

(H)在(I)的条件下，求证：/(x)>g(x)+g；

(III)是否存在实数a,使/(x)的最小值是3?若存在，求出。的值；若不存在，说明理

由.

20.设函数/(x)=|x+1|+|ax+1|,已知/(—1)=/⑴,且/(一2)=/d)(aGR,且

aa

aWO),函数g(x)=G?+法2+5"eR,c为正整数)有两个不同的极值点，且该

函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点0在同一直线上。

(1)试求a、b的值；

(2)若x»()时，函数g(x)的图象恒在函数/(x)图象的下方，求正整数c的值。

22.已知函数/'(x)=x'+6sinx—2(6dR),〃(X)=F(x)+2,且对于任意实数x,恒有F(x}

—F(—x)=0.

(1)求函数f(x)的解析式；

⑵已知函数g(x)=f(x)+2(%+1)+alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围.

h1

23.已知/(x)=2ox——+lnx在尤=1与尤=一处都取得极值。

x2

(I)若X=1为/(幻的极大值点，求/(X)的单调区间(用C表示)：

(II)若/(x)：。恰有两解，求实数C的取值范围.

25.已知抛物线C:》2=2pMp>0)的焦点为尸,抛物线上一点A的横坐标为玉(/>0),

过点A作抛物线C的切线4交x轴于点O,交y轴于点Q,交直线/:y=］于点M,当

||=2时，ZAFD=60°.

(I)求证：A4FQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程：

(II)若B位于)，轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线右交直线4于点

P,交直线/于点N,

d9

26.已知函数夕(x)=---,a是正常数。(1)若f(x)=(p(x)+lnx,且"一，求函数f(x)

x+12

的单调递增区间；(2)若g(x)=IInx|+(p(x),且对任意的Xj,x2e(0,2),且x〕W

x2)都有g“2)-g(X|)<-i,求a的取值范围

X2f

1,

27.己知函数/(x)=-alnx(aeR)

(1)求/(x)的单调区间；

(2)设g(x)=/(x)+2x,若g(x)在［l,e］上不单调且仅在x=e处取得最大值，求。的

取值范围.

27.已知函数/'(X)=ax'+H2—x(xG是常数)，且当x=l和x=2时，函数f(x)

取得极值

(I)求函数/(x)的解析式；

(II)若曲线y=/(x)与g(x)=-3x—加(—2<x<0)有两个不同的交点，求实数机的取

值范围

22

28.已知抛物线。的顶点是椭圆±+±=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

43

(1)求抛物线。的方程；

(2)已知动直线I过点P(4,0),交抛物线。于A、8两点.

(。若直线/的斜率为1,求AB的长；

(")是否存在垂直于X轴的直线机被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如

果存在，求出机的方程；如果不存在，说明理由.

Z7V

29.已知函数/(%)=—一在x=l处取得极值2。

x+b

(1)求函数的表达式；

(2)当机满足什么条件时，函数/(x)在区间(加,2m+1)上单调递增？

Z7Y/7V

(3)若P(Xo，y。)为/(x)=F一图象上任意一点，直线/与/(x)=F—

x'+bx+b

的图象切于点P,求直线/的斜率宠的取值范围。

30.已知动圆G过点0),且与直线1-.*=一|相切，动圆圆心G的轨迹为曲线笈曲线£

上的两个动点1(不，%)和庾如㈤.

(1)求曲线6的方程；

(2)已知下•砺=—9(。为坐标原点)，探究直线46是否恒过定点，若过定点，求出

定点坐标；若不过，请说明理由.

(3)已知线段的垂直平分线交x轴于点C,其中凶三用且汨+及=4.求△/以面积的

最大值.

31.已知函数/(x)=，+“比x(a为实常数).

(1)若。=一2,求证：函数/(x)在(1,+.8)上是增函数；

(2)求函数/(幻在［1,e］上的最小值及相应的x值；

(3)若存在使得/(x)〈(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

32.设1+以，其中。为正实数.

4

(1)当时，求/(x)的极值点；

(2)若/(x)为H上的单调函数，求。的取值范围.

答案

1、已知函数/(%)=111%-工8(尤)=/(%)+如-6111%,其中4€7?o

x

(1)当4=1时，判断了(X)的单调性；

(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；

(3)设函数以%)=%2-皿+4,当a=2H寸，若叫e(0,1),V巧e[1,2],总有g(%)2版/)成

立，求实数m的取值范围。

答案：解析：由/(x)=lnx-*得/(x)的定义域为(0,+8),1(%)=*,

XX

r1

当。=1时，/<幻=一厂>05>0),/(X)在(0,+8)上单调递增。

X

(2)由己知得，g(x)=ar-2-51nx，其定义域为(0,+8),且，(*)=“+色_2=公、5》+。

xx2x%2

因为g(x)在其定义域内为增函数，所以Vx40,+啕，X'即

5x.

cue2一5x+Q20,贝！Ja>——.

x+1

而5x5/5,当且仅当产1时，等号成立，所以。2之

X*x+；22

X

92r2-5r+2|

(3)当a=2时，g(x)=2x------5In%,g'(r)=—------[-----由g'(x)=0得，尤=—或

x厂2

x=2,当xe(0,g)时，8'(%)>0;当工€(：,1)时，8'0)<0

所以在(0,1)上，g(x)皿=g(g)=—3+51n2

而“玉1(0,l),Vww[l,2],总有8(苞)之〃(马)成立”等价于“g(x)在(0,1)上的最大值

不小于〃(x)在[1,2]上的最大值”。

又/x)在[1,2]上的最大值为max{力⑴,力(2)},

2.已知函数/(x)=lnx—。(尤一1),a£R.

(D讨论函数/(x)的单调性；

Inx

(II)当x21时，/■(X)・3-恒成立，求a的取值范围.

x+1

解：(I)若。=-1时，f'(x)=x--,(x>0)....................2分

X

丫2__1

由//(幻>0得^~->0,又x>0

x

解得X>1,

所以函数/(%)的单调递增区间为(1,+8).........4分

1,

(1[)依题意得/(幻一111%>0,即2/+a\nx-\nx>Q,

*/x>1,Inx>0,二〃一1>--——,

Inx

_1%2

.......6分

mx

111

——x2-xlnx+-%

设g(x)=---,g'(x)=---------兽一，

Inx(Inx)2

2

令g/(x)=0，解得x=e”

22

当1<X</时，g'(x)>0,g(x)在(0,蓝)单调递增；.......8分

当x>e2时，g'(x)<0,g(x)在(e2,+oo)单调递减：........io分

•'•g(x)max=g(e2)=—e，

—1>—€即。>1—e.

3.已知函数f(x)=alnx—or-3(aw/?).

(I)当。=1时，求函数/(x)的单调区间；

(H)若函数y=/(x)的图象在点(2J(2))处的切线的倾斜角为45°,问：勿在什么范围

取值时，对于任意的yi,2],函数g(x)=/+x2咛+/(创在区间”,3)上总存在

极值？

f'(x)=--a(x>0)

X

11—Y

(I)当。=1时，f'(x)=——1=--,..........................2分

XX

令/'(x)>0时，解得0<x<l,所以〃x)在(0,1)上单调递增；……4分

令/'(x)<0时,解得x>l,所以/(x)在(1,+8)上单调递减......6分

(II)因为函数y=/(x)的图象在点(2,/(2))处的切线的倾斜角为45",

所以八2)=1.

所以。二一2,f\x)=—+2......................................8分

x

g(x)=j^+x2[—+2-—]=d+(―4-2)x2-2x,

2x2

g'(x)=3x2+(4+in)x-2,...................................10分

因为任意的，e[1,2],函数g(x)=/+x2[y+/z(x)]在区间(r,3)上总存在极值，

所以只需1£(2)<°，.........................................12分

U，(3)>0,

,37

解得---<<-9............................................14分

3

4.已知三次函数/(x)的导函数/'(x)=3/-3ax,/(O)=b,a.力为实数。

(I)若曲线〉=/(x)在点(。+1,/(a+1))处切线的斜率为12,求。的值；

(II)若/(x)在区间[T,1]上的最小值.最大值分别为-2.1,且1<。<2,求函

数f(x)的解析式。

解析：(1)由导数的几何意义/(。+1)=12.........1分

3(a+l)2-3a(a+l)=12..........2分

/.3a=9.1a=3..................3分

3

(II).•・小)=3/­。)=。――一……5分

由f'(x)=3x(x-«)=0得X[=0,x2-a

'：XG[-1,1],l<a<2

当XG[-1,0)时，f'(x)>0,/(x)递增；

当xe(0,11时，./''(x)<0,/(x)递减。..........8分

二/(x)在区间[-1,1]上的最大值为/(O)

,:/(O)=b,二b=l................10分

/⑴=13a+l=2-37=3+3

/(-1)</(1)/(-1)是函数f(x)的最小值,

/.f(x)=x3-2x2+1

2a无

5.已知函数/(x)=lnx2-----,(aeR,e为自然对数的底数).

e

(I)求函数/(x)的递增区间；

(H)当。=1时，过点P(0,f)(reR)作曲线y=/(x)的两条切线，设两切点为

4(X],/G0),《(々，/(七))(X|。£)，求证玉+工2为定值，并求出该定值。

解：(I)函数/(X)的定义域是(一8,0)(0,+00).

2(eaJC)

f'(x)^--—=~......................................2分

xeex

2

当。=0时，由/〈幻=一＞0,解得x＞0；

X

当。＞0时，由/'(劝=2侬一4』＞0,解得。＜》＜刍：

exa

当a＜0时，由/'(无)=2(e—4x)〉0,解得%＞(),或*＜刍.-------------4分

exa

所以当。=0时，函数/(x)的递增区间是(0,+oo)；

当。＞0时，函数/(%)的递增区间是(0,-)；

a

当4＜0时，函数/(X)的递增区间是(—8,-),(0,+00)............6分

2(ex)

(II)因为f'(x)=---^~,

xeex

所以以6(X,/(天))为切点的切线的斜率为2(e-X1)；

以巴(々,/(尤2))为切点的切线的斜率为2.—々)....................8分

ex2

又因为切线过点P(0,。，所以"Inxj+区=2(ef)(。一百)；

eex1

22(g%2)

r-Inx2+^-=-(0-%2)..................................10分

eex2

解得，X；=/+2,%2=*2.则％2=/2.

由已知王।从而有％=0.所以X]+%2为定值°。

Inr

6.已知函数/(%)=",g(尤)=---

X

Inx

(1)求函数g(X)=——的单调区间；

X

(2)若不等式/(%)2g(x)在区间(0,+8)上恒成立，求实数k的取值范围;

4丁In2In3Inn1

(3)求证：——+——H----1尸〈——

2434/2e

1riX*

解:(I)-.g(x)=—,故其定义域为(Q+0

x

7、1-lnv

令g'(x)>0,得令g'(x)<0,得力>^

Injf

故函数g(x)=—的单调递增区间为(0,e)单调递减区间为3+四4分

x

(II)・.x>Q无注1.,.左之史二，令/X)=Inx

XX

又一令/z'(X)=O解得X=5/工

当X在(Q+8内变化时，/?'"),〃(幻变化如下表

X(0,Ve)4e

h(x)7一\

2e

由表知，当％=五时函数以幻有最大值，且最大值为L

2e

所以，k>—........10分

2e

(in)由(H)知学《-!-二号J♦二

x22eW仝石

QX

7.已知函数/(x)=—

(I)当。=1时，求/(x)的单调区间;

(II)若对任意re；,2,/«)>，恒成立，求实数”的取值范围.

(I)当。=1时，/(%)=----

ex

二尸(幻=二2.............................................2分

e

由r(x)>0得x<2,f'(x)<0得x〉2

.•./(X)的单调递增区间为(—8,2),单调递减区间为(2,+8)...........4分

(II)若对任意re-,2,使得f(/)>r恒成立，则xe-,2时，丝二>彳恒成立,

22e

即XE-,2时，。〉"+工恒成立........................6分

_2Jx

设g(x)=e"+L2],则g\x)=exy,XG[^,2]

x2x2

121

设h(x)=ex一一,QhXx)="+->0在1w[一,2]上恒成立

7x2

〃(x)在X€[g,2]上单调递增

即g'(x)=e*-4*在X€[±2]上单调递增...........8分

x2

111

Qg'(;)=/_4<0,Qg，(2)=/9>0

24

g'(x)=e，一4■在d，2］有零点相

x2

g'(x)=e*--V在4,切上单调递减，在(也2］上单调递增

10分

尸2

a>y[e+21

”>g(5),即.21

i>。H—

a>e2+-2

a>g(2)2

8.已知函数f(x)=ax+inx,aeR

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)是否存在实数a，使不等式/(x)<ox?对xe(1,+oo)恒成立,若存在,求实数a的取值范

围，若不存在,请说明理由.

【解】(I)f\x)=a+-,x>0..............1分

x

①当a20时，f\x)>0,函数/(尤)在(0,+8)内是增函数，

即函数的单调增区间为(0,+8)..............2分

②当。<0时，令/(左)=0,得*=—l>0,

a

且xe(0,-3时，/'(尤)>0,又xe(—L+oo)时，f'(x)<0,........4分

aa

所以函数/(x)递增区间为(0,-工)，递减区间为(一工,+8).........5分

aa

(H)假设存在这样的实数匹使不等式/(%)<依2对］£(1,+8)恒成立

即ax2_ar-lnx>0(x〉])恒成立.4'h{x)=ax2-cix-\nx(x>l),

则/z⑴=0,且h(x)>0(x>1)恒成立....................6分

,12ax2-ax-1公

n(X)=2ax-a——=...........7分

xx

①当。=0时，//(X)=—!-<0,则函数〃(x)在口,+8)上单调递减,于是〃(x)K/z⑴=()

X

与/z(x)>0(x>1)矛盾,故舍去.................8分

②当Q<0时，h(x)=ax2-ax-\nx=ax(x-])+\n—(x>\)

x

而当x>1时，由函数y二依2一如和y=-lnx都单调递减.

且由图象可知，x趋向正无穷大时，〃(x)=ov(x-l)+lnL趋向于负无穷大.

Xy=lru(x>l)

这与力(x)>0(x>l)恒成立矛盾，故舍去........10分小

(注:若考生给出抛物线丁二水2一6/二皿工草图以说明，/k\

如右，同样也按该步骤应得分给分):Iy=ax2L(«<0)

③当。>0时，h\x)=————-=0等价于2ax2-ax-l=0(△=储+8Q>0)

x

记其两根为X<0<x2(这是因为司为=—<0)

2a

易知工£(%,入2)时，〃'(幻<0,而时，"(X)>0,

⑴若工2>1时，则函数/2。)在(1,工2)上递减，于是%工)<力⑴=0矛盾，舍去；.....11分

(ii)若工2VI时，则函数〃(用在(1,+8)上递增,于是九(x)>〃⑴=0恒成立.

所以0<々VI，即々=°+"2+8"Vl(a>0),解得............12分

4a

综上①②③可知，存在这样的实数“21,使不等式f(x)<ax2对xe(l,+oo)恒成

立........13分

9设函数f(x)=^—^-x2+ax-\x\x(aeR).

(I)当。=1时，求函数/(x)的极值;

(II)当4>1时，讨论函数/(X)的单调性.

(III)若对任意。£(2,3)及任意％,工2£口,2］,恒有加7+成立,

求实数机的取值范围.

解：(I)函数的定义域为(0,+8).

当。=1时，/(X)=x-lnx,/(x)=1--=――令/(x)=0,得尤=1.

xx

当0vxv1时，/(x)v0;当x>1时，f(x)>0.

•・J(x)极小值=1，无极大值・4分

(II)f(X)=(\-a)x+a——=---------------------=--------------------------

XXX

(1_Q)(x---\)(冗-1)

=----------咱-------5分

X

当」一=1,即。=2时，/(x)=-(A-lr<0,/(x)在(0,+00)上是减

。-1X

函数；

当」一<1,即。〉2时，令f(x)<0,得0<x<—一或x>l;

。一1a-\

令/(x)>0,得——<x<1.

a-\

当」一>1,即l<a<2时，令f(x)<0,得()<x<l或x>」一;

a-\a-\

令f(x)>0,得l<x<」一.7分

a-\

综上，当。=2时，在定义域上是减函数；

当a>2时，/(%)在(0,」一)和(l,+a>)单调递减，在(」一,1)上单调递增;

a-\a-\

当l<a<2时，/(x)在(0,1)和(」一,+8)单调递减，在(1,—匚)上单调递

a-\

8分

(III)由(II)知，当。£(2,3)时，/(x)在［1,2］上单调递减，

当x=l时，/(%)有最大值，当工=2时，/(x)有最小值.

|/(x,)-/(x2)|</(I)-/(2)=|-1+In2+In2>^|-1+In210分

13113

而。>0经整理得加A--------由2<av3得一一<--------<0,所以加2().

22。422。

10.设函数

f(x)=—^—x2+ax-lnx{aGR).

(I)当。=1时，求函数/(x)的极值;

(II)当4>1时，讨论函数/(X)的单调性.

(III)若对任意。£(2,3)及任意％,工2£口,2］,恒有加7+成立,

求实数机的取值范围.

解：(I)函数的定义域为(0,+8).

当。=1时，/(X)=x-lnx,/(x)=1--=――令/(x)=0,得尤=1.

xx

当0vxv1时，/(x)v0;当x>1时，f(x)>0.

•・J(x)极小值=1，无极大值・4分

(II)f(X)=(\-a)x+a——=---------------------=--------------------------

XXX

(1_Q)(x---\)(冗-1)

=----------咱-------5分

X

当」一=1,即。=2时，/(x)=-(A-lr<0,/(x)在(0,+00)上是减

。-1X

函数；

当」一<1,即。〉2时，令f(x)<0,得0<x<—一或x>l;

。一1a-\

令/(x)>0,得——<x<1.

a-\

当」一>1,即l<a<2时，令f(x)<0,得()<x<l或x>」一;

a-\a-\

令f(x)>0,得l<x<」一.7分

a-\

综上，当。=2时，在定义域上是减函数；

当a>2时，/(%)在(0,」一)和(l,+a>)单调递减，在(」一,1)上单调递增;

a-\a-\

当l<a<2时，/(x)在(0,1)和(」一,+8)单调递减，在(1,—匚)上单调递

a-\

8分

(III)由(II)知，当。£(2,3)时，/(x)在［1,2］上单调递减，

当x=l时，/(%)有最大值，当工=2时，/(x)有最小值.

|/(x,)-/(x2)|</(I)-/(2)=|-1+In2+In2>^|-1+In210分

13113

而。>()经整理得机〉------由2<。<3得一一<--------<0,所以m2().解(I)可知

22a422。

/(X)的定义域为(°，+8).有

fl(x')=x-a+^—^-=—CIX4~Cl—1(X—l)[x—(4—1)]

XXX-----------2分

因为〃〉2,所以a—

故当1<x<a-1时/'(x)<0,当0<%<1或x>a—1时/"(x)>0

综上，函数“X）在区间（l，aT）上单调递减，在区间（°」）和（aT，+°°）上单调增加.

------------6分

（II）由。=1,知g（x）"+"2-2x,所以5,1=7+42〃.

可得器…一一,&分

—=-------------(〃>2)

所以a,(3〃+2)(〃一1)

111/11、

因为(3〃+2)(〃-1)3n(n-V)3n-\n________

111lr/11、/I、/I1vl

所以42a3an3223n-1n

3”33〃3

综上，不等式得证.------------14分

b

11.已知函数/(x)=2ax+—+Inx.

x

（I）若函数/（X）在X=l,x=g处取得极值，求。，匕的值；

（H）若/'⑴=2,函数/（幻在（0,+8）上是单调函数，求a的取值范围.

（II）函数/（幻的定义域是（0,+8）,

因为/'(1)=2,所以b=2a-l.

2ax2+x-(2a-1)_(x+l)[2ax-(2a-1)]

所以尸（x）=

要使/(x)在(0,+oo)上是单调函数，只要f'(x)>0或f\x)W0在(0,+8)上恒成立.

..............10分

X+1

当。=()时，/(幻二一厂>0恒成立，所以了。)在(0,+8)上是单调函数；

厂

G[1

当。<0时，令r(x)=o,得$=-1,x=——=1—>1,

22a2a

此时f(X)在(0,+8)上不是单调函数；

当。>0时，要使/(元)在(0,+8)上是单调函数，只要1一2。、0,即0<aW，

综上所述，。的取值范围是

2

12.设/(%)=x3——(a+l)x2+3ax+1.

(1)若函数/(x)在区间(1,4)内单调递减，求a的取值范围；

(2)若函数f(x)祗=。处取得极小值是1,求a的值，并说明在区间。，4)内函数“X)的

单调性.

解：f'[x}=3x2-3(a-l)x+3a=3(x-l)(x-a)

(1).••函数〃x)在区间(1,4)内单调递减，

•./4)W0,Aas[4,+oo)........5分

(2)•.•函数〃x)在x=a处有极值是1,f(a)=l.

即a3——(a+l)a2+3«2+1=—a3+—a2+1=1.

2''22

Aa2(a-3)=0,所以a=0或3........9分

当a=0时，/(x)在(TO,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以“0)为极大值，这与

函数“力在x=a处取得极小值是1矛盾，所以

当a=3时，f(x)在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，即八3)为极小值，

所以a=3时，此时，在区间(1,4)内函数“X)的单调性是：

/(x)在(1,3)内减，在[3,4)内增.

13.已知函数/(x)=lnx+/一(awR).

x+1

9

(1)当a=］时，如果函数g(x)=f(x)-氏仅有一个零点，求实数k的取值范围;

(2)当a=2时，试比较/(x)与1的大小；

求证：〃，，

(3)ln(+l)>[+++…+―—).

3572〃+1

99

解:(1)