2023届湖南省新高考教学教研联盟高三年级下册学期3月第一次联考数学试题【含答案】

2023届湖南省新高考教学教研联盟高三下学期3月第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式得到集合，，然后求交集即可.【详解】，.故选：A.2．若，（为虚数单位，是的共轭复数），则（

）A．2 B． C． D．6【答案】C【分析】根据复数乘法法则得到，然后求模长即可.【详解】，所以.故选：C.3．已知数列和均为等差数列，且为定值，若，则（

）A．56 B．72 C．88 D．104【答案】A【分析】根据为定值得到，然后利用等差中项的性质求即可.【详解】因为为定值，所以，又因为，所以，因为为等差数列，所以.故选：A.4．逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路､中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角依次为，其中，则此山的高度为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出直观图，山高，利用仰角表示出，在中，，利用余弦定理建立等式化简即可.【详解】如图，设点在地面上的正投影为点，则，设山高，则，在中，，由余弦定理即有：，整理得，所以.故选：D.5．某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，D，E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有（

）A．96种 B．144种 C．240种 D．384种【答案】C【分析】先将6名教师分成4组，然后再分配到学校即可.【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校.若教师人数依次为，则不同的安排方法种数为：种；若教师人数依次为，则不同的安排方法种数为：种，故不同的安排方法共有种.故选：C.6．已知函数在区间上单调，且满足.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得出函数的对称中心，结合已知的单调区间，限定的范围，由函数在区间上恰有5个零点，再得到的一个范围，取两个范围的交集即可.【详解】在区间上单调，，的对称中心为，且，，即，即，.又的对称中心为，，在区间上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，只需即可，即，又，.故选：B.7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（

）A．6 B． C．4 D．【答案】A【分析】设，由，得为的中点,表示的方程，求出点的坐标，结合抛物线的定义求得结果.【详解】法一：依题意，设，由，得为的中点且，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，由抛物线的定义易知，故，故选:A.法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.故选:A.8．已知函数，直线与的图象交于两点，在两点处分别作的两条切线，这两条切线交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先画出函数图象，根据题意不妨设，求出在两点处的两条切线的方程，解出交点纵坐标，再构造函数利用函数单调性即可求得.【详解】根据题意，画出图象如下图所示：设，则，则，即，且易知，则切线，切线，联立两切线方程得，即有，则，代入方程解得，设，则，令，则在单调递减，所以，即，且趋近于0时，趋近于.故选：B.二、多选题9．下列说法正确的有（

）A．若随机变量服从正态分布，则B．数据的第70百分位数为8C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05【答案】ABC【分析】利用正态分布对称性计算即可得A正确；将数据按照从小到大顺序重新排列可计算出第70百分位数为8；由回归分析相关指数公式可得残差平方和越小，拟合效果越好；根据独立性检验可知时，犯错误的概率超过0.05.【详解】由正态分布的对称性可知，若，则，所以，故正确；数据重排后如下：共8个数，由可得第70百分位数为第6个数，即为8，故B正确；回归分析中残差平方和越小，相关指数越接近于1，拟合效果越好，故C正确；由独立性检验可知，犯错误的概率会超过0.05，即D错误.故选：ABC.10．已知，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为1C．的最小值为 D．的最小值为3【答案】AC【分析】根据均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解.【详解】.对于，当且仅当时取等号，故正确；对于，当时，，故错误；对于，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，，但是当时，不符合题意，故等号不成立，故错误.故选：AC.11．设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（

）A．直线与圆相切时B．到距离的最大值是C．直线与圆相交的最短弦长为D．的最大值为【答案】BC【分析】根据时直线也与圆相切，可判断A选项；根据几何知识得到当时到的距离最大，然后求最大值，可判断B选项；根据几何知识得到当时所得弦长最短，然后得到此时的直线的方程，最后求弦长，可判断C选项；根据几何知识得到点的轨迹，然后利用三角函数或不等式的方法求最值，可判断D选项.【详解】显然当时直线也与圆相切，故错误；直线过的定点为，当时到的距离最大，最大值为，此时到距离的最大值为，故B正确；由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时所得弦长最短，则，又，所以，得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故正确；由，当时，，有，当时，，则，所以，又点是两直线的交点，所以，所以，法一：设，则，因为，所以，所以，故D错误.法二：因为，所以，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：BC.12．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，其中四边形是边长为4的正方形，点是弧上的动点，且四点共面.下列说法正确的有（

）A．若点为弧的中点，则平面平面B．存在点，使得C．存在点，使得直线与平面所成的角为D．当点到平面的距离最大时，三棱锥外接球的半径【答案】AD【分析】利用图形数形结和反例，结合面面垂直的判定、线线平行的判定、线面角的求解方法、几何体外接球的关系以及空间向量的应用逐项分析即可.【详解】连接，如图所示：若点为弧的中点，则，所以，即，因为，所以，又，面，所以平面平面，则平面平面，故A正确；假设存在点，使得，则四点共面，又该几何体上下两个底面平行，且为平面与这两个底面的交线，所以，则四边形为平行四边形，则有，这显然不成立，故B错误；假设存在点，使得直线与平面所成的角为，以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，，设，则，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，即，依题意，整理得，这与矛盾，所以假设不成立，故C错误；当点到平面的距离最大时，点位于点，三棱锥，即三棱锥，即三棱锥，可将其补型为一个以为同一个顶点出发的三条侧棱的正方体，棱长为4，其外接球半径，故正确.三、填空题13．已知函数是定义在上的奇函数，且，则___________.【答案】0【分析】利用可得，再结合是定义在上的奇函数，提出函数的一个周期为2，可求【详解】函数是定义在上的奇函数，则，在中，令，有，在中，用代替，有，所以2是的一个周期，所以.故答案为：014．已知向量，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角___________.【答案】##【分析】根据，得到，然后在上的投影向量为求夹角即可.【详解】法一：因为向量，所以，设与的夹角为，因为在上的投影向量为，则，所以，又，所以的夹角为.法二：因为向量，所以，设与的夹角为，因为在上的投影向量为，则，即，所以的夹角为.故答案为：.15．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上的任意一点，满足的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比___________.【答案】或【分析】设,由椭圆定义和可得，而从而可解.【详解】设，因为所以，在Rt中，由勾股定理，得，①又因为，所以由椭圆的定义得，②联立①②并化简得：，显然点不在坐标轴上，若点在第一或第四象限，则，因为是的平分线，所以；若点在第二或第三象限，则，因为是的平分线，所以.故答案为：或四、双空题16．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设是一个“0，1数列”，定义数列为数列中每个0都变为“”，每个1都变为“”所得到的新数列.例如数列，则数列.已知数列，记数列，则数列的所有项之和为___________；数列的所有项之和为___________.【答案】

（说明：第二空也可以写成【分析】空①根据新定义，利用递推关系得出结果即可；空②根据，，得出，，联立得到，即求得结果.【详解】空①中有2个1，3个；中有8个1，7个；中有22个1，23个0，数列的所有项之和为空②设数列中0的个数为，的个数为，则，，法一：两式相加有，且，所以是以5为首项，3为公比的等比数列，所以①；两式相减有，且，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以②，①-②得，数列的所有项之和即为1的个数，即为.法二：，且，所以是以5为首项，3为公比的等比数列，所以，又因为，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，数列的所有项之和即为1的个数，即为.故答案为：①；②.【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和.五、解答题17．已知的内角的对边分别为，且.(1)求的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用诱导公式、和差公式和辅助角公式化简得到，即可得到；（2）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式和二倍角公式得到，最后求范围即可.【详解】（1），，，，，，可得，，又，.（2）为锐角三角形，，解得，则，，，.的取值范围是18．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值.【答案】(1)(2)11【分析】（1）依题意构造与的方程，与已知方程作差求解结果；（2）由解出的范围，得到，进行数列求和与比较大小即可达到结果.【详解】（1）依题意，①当时，，②.①②两式相减得，即，因为，所以，即，所以是公差为1的等差数列，又，故数列的通项公式为.（2）依题意，即，因为，所以满足不等式的正整数个数为，即，.，因为，所以单调递增，当时，，当时，，所以的最小值为11.19．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技和霹雳舞两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机选取了10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表省代表队电子竞技45512738571926473429霹雳舞26154442322856364820(1)从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过30人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过30人的概率；(2)若霹雳舞参与人数超过40人的代表队所在地可以成为国家队集训基地，现从这10支代表队中随机抽取4支，记X为选出代表队所在地可以成为国家队集训基地的个数，求X的分布列和数学期望；(3)某省代表队准备进行为期3个月的霹雳舞封闭训练，对太空步､空中定格､整体移动三个动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”，已知在一轮测试的3个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响：如果甲队员在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于9次，那么至少要进行多少轮测试？【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：(3)至少要进行11轮测试【分析】（1）根据表格中的数据，利用事件的意义，结合条件概率，即可求解；（2）根据表格数据，可知的所有可能取值为，利用超几何分布，即可求每一个随机变量的概率，即可求分布列和数学期望；（3）首先记甲队员在一轮测试中获得“优秀”为事件，并求，“优秀”的次数服从二项分布，再根据期望公式，列不等式，即可求解.【详解】（1）由题可知10支代表队，参与“霹雳舞”的人数依次为，参与“电子竞技”的人数依次为，其中参与“电子竞技”的人数超过30人的代表队有6个，参与“霹雳舞”的人数超过30人，且“电子竞技”的人数超过30人的代表队有4个，记“这10支代表队中随机选取3支代表队参与“电子竞技”的人数均超过30人”为事件，“这10支代表队中随机选取3支代表队参与“霹雳舞”的人数均超过30人”为事件，则，所以，.（2）参与“霹雳舞”人数在40人以上的代表队共4支，的所有可能取值为，所以，..所以的分布列如下表：01234所以（或写成1.6）（3）记甲队员在一轮测试中获得“优秀”为事件，则，由题意，甲队员在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试.20．如图①，已知是边长为2的等边三角形，是的中点，，如图②，将沿边翻折至.(1)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面与平面所成的二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）利用线线平行证明平面，平面，证得平面平面，可得平面；（2）利用已知二面角的余弦值，可以利用向量法或几何法求三棱锥的高，结合体积公式求解.【详解】（1）存在点满足题意，且，理由如下：在图①中，取的中点，连接，则，在图②中，，平面，平面，所以平面，且；在线段上取点使，连接，则，同理可得平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）在图②中，，平面，所以平面，法一：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，设平面的法向量为，则，令，则，即，易知平面的一个法向量，若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，则，化简整理得：，.所以，所以，则三棱锥的高为，.又因为底面积，所以三棱锥的体积为.法二：延长相交于点，事实上点即为点，则平面平面，过作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，则，所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，即，所以，即，即，又，所以，在中，设点到的距离为，由等面积法可得，解得，即三棱锥的高，又的面积为，所以三棱锥的体积为.21．在平面直角坐标系中，双曲线的焦点到渐近线的距离为，焦距为.(1)求的方程；(2)如图，点为双曲线的下顶点，点在轴上（位于原点与上顶点之间），过作轴的平行线，过的另一条直线交双曲线于两点，直线分别与交于两点，若，求点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据焦距得到，根据焦点到渐近线的距离得到，然后求，即可得到双曲线的方程；（2）根据得到，然后设直线和的方程得到的坐标为，即可得到，设直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，解方程得到即可得到点坐标.【详解】（1）因为焦距为，所以，焦点坐标为；又因为焦点到渐近线的距离为，渐