第七周行列式的性质和按行展开

教学基本要求基本要求：掌握：二阶、三阶行列式的计算公式，行列式的性质。熟悉：应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算高阶行列式。理解：余子式、代数余子式的概念了解：

n阶行列式的概念。重点：行列式的性质，应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算高阶行列式难点：n阶行列式的概念，克莱姆（Cramer）法则现在是1页\一共有127页\编辑于星期一第三节

行列式的性质二、利用“三角化”计算行列式三、小结一、行列式的性质现在是2页\一共有127页\编辑于星期一一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.若记，则.记现在是3页\一共有127页\编辑于星期一性质1

行列式与它的转置行列式相等.性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2如果行列式的某一行（列）中所有元素的为零，则行列式等于零．推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．现在是4页\一共有127页\编辑于星期一性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.例如则D等于下列两个行列式之和：现在是5页\一共有127页\编辑于星期一性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作.现在是6页\一共有127页\编辑于星期一例1设现在是7页\一共有127页\编辑于星期一为对称行列式例为反对称行列式例是反对称行列式不是反对称行列式现在是8页\一共有127页\编辑于星期一例2证明奇数阶反对称行列式的值为零。证当n为奇数时有现在是9页\一共有127页\编辑于星期一二、利用“三角化”计算行列式【总结】

化上三角形行列式的基本步骤：如果第一行第一个元素为0，先将第一行（列）与其他行（列）交换，使得第一行第一个元素不为0，注意符号；然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。10现在是10页\一共有127页\编辑于星期一例3计算如何用行列式的性质化行列式为三角形行列式，然后进行计算.常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解现在是11页\一共有127页\编辑于星期一现在是12页\一共有127页\编辑于星期一现在是13页\一共有127页\编辑于星期一现在是14页\一共有127页\编辑于星期一练习计算行列式15现在是15页\一共有127页\编辑于星期一解16现在是16页\一共有127页\编辑于星期一17现在是17页\一共有127页\编辑于星期一18现在是18页\一共有127页\编辑于星期一19现在是19页\一共有127页\编辑于星期一

利用性质计算行列式2.手段：观察行列式的特点，元素的规律，利用行列式性质，植树造“0”，化简行列式。1.目标：化为三角形行列式；0*0*0*0*,,,20现在是20页\一共有127页\编辑于星期一例4计算解

D现在是21页\一共有127页\编辑于星期一现在是22页\一共有127页\编辑于星期一例4计算阶行列式解将第列都加到第一列得现在是23页\一共有127页\编辑于星期一现在是24页\一共有127页\编辑于星期一例证明现在是25页\一共有127页\编辑于星期一(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).

计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质现在是26页\一共有127页\编辑于星期一一、行列式按行（列）展开法则二、用降阶法计算行列式四、小结第四节

行列式按行列展开三、拉普拉斯定理对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.现在是27页\一共有127页\编辑于星期一例如一、行列式按行（列）展开法则结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？现在是28页\一共有127页\编辑于星期一例如在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.定义1称为元素的代数余子式．中元的余子式和代数余子式分别为现在是29页\一共有127页\编辑于星期一现在是30页\一共有127页\编辑于星期一例如引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．现在是31页\一共有127页\编辑于星期一定理1行列式等于它的任一行（列）的各元与其对应的代数余子式乘积之和，即证或现在是32页\一共有127页\编辑于星期一类似地，若按列证明，可得备注：这个定理叫做行列式按行(列)展开法则现在是33页\一共有127页\编辑于星期一例

计算行列式解这个行列式的第一行只有一个元不为零，故可按第一行展开而降阶计算现在是34页\一共有127页\编辑于星期一现在是35页\一共有127页\编辑于星期一由定理1，还可得如下重要推论现在是36页\一共有127页\编辑于星期一证推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或现在是37页\一共有127页\编辑于星期一同理相同现在是38页\一共有127页\编辑于星期一关于代数余子式的重要性质现在是39页\一共有127页\编辑于星期一仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式按第i行展开的展开式中，用依次代替，可得类似地，用依次代替中的第j列，可得现在是40页\一共有127页\编辑于星期一例

按第三列展开计算行列式现在是41页\一共有127页\编辑于星期一例计算行列式解现在是42页\一共有127页\编辑于星期一现在是43页\一共有127页\编辑于星期一练习现在是44页\一共有127页\编辑于星期一现在是45页\一共有127页\编辑于星期一例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

这里记号“”表示全体同类因子的乘积现在是46页\一共有127页\编辑于星期一例设

分析利用及求现在是47页\一共有127页\编辑于星期一解现在是48页\一共有127页\编辑于星期一现在是49页\一共有127页\编辑于星期一1.计算行列式利用行列式的定义(通常含有很多零)行列式的计算2.计算行列式的一种方法是利用性质2,3,5化成三角形行列式3.计算行列式的一种方法是利用行列式的展开将行列式降阶后进行计算4.递推法、数学归纳法、因子分解、加边法、拆行（列）法现在是50页\一共有127页\编辑于星期一1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.四、小结现在是51页\一共有127页\编辑于星期一二、几个重要定理第五节克莱姆(Cramer)法则一、克莱姆法则三、小结现在是52页\一共有127页\编辑于星期一一、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即现在是53页\一共有127页\编辑于星期一其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为现在是54页\一共有127页\编辑于星期一定理中包含着三个结论：这三个结论是有联系的.应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在后面第四章的一般情形中一并讨论.方程组有解；（解的存在性）解是唯一的；（解的唯一性）解可以由给出.现在是55页\一共有127页\编辑于星期一二、两个重要定理定理4

如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.定理4′

如果线性方程组无解或有至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.设现在是56页\一共有127页\编辑于星期一线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…,0)就是一个解，称为零解.因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解.现在是57页\一共有127页\编辑于星期一齐次线性方程组的相关定理定理5

如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.定理5′

如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.备注这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.在第3章还将证明这个条件也是充分的.即：齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零现在是58页\一共有127页\编辑于星期一练习题：问取何值时，齐次方程组有非零解？解如果齐次方程组有非零解，则必有.所以时齐次方程组有非零解.现在是59页\一共有127页\编辑于星期一1.用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．三、小结现在是60页\一共有127页\编辑于星期一

矩阵的概念

矩阵的运算

逆矩阵分块矩阵矩阵的初等变换

矩阵的秩第二章矩阵现在是61页\一共有127页\编辑于星期一

教学基本要求掌握：矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法熟悉：用伴随矩阵求逆矩阵理解：矩阵的概念，逆矩阵的概念，伴随矩阵的概念，矩阵的秩的概念。了解：单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质，方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质，矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念现在是62页\一共有127页\编辑于星期一

教学基本要求重点：矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法，用伴随矩阵求逆矩阵。难点：逆矩阵的性质，用伴随矩阵求逆矩阵，用初等变换求矩阵的逆矩阵，矩阵的秩。现在是63页\一共有127页\编辑于星期一第一节

矩阵的概念一、引例二、矩阵的概念四、几种特殊矩阵三、矩阵概念的应用现在是64页\一共有127页\编辑于星期一1.线性方程组的解取决于系数常数项一、引例现在是65页\一共有127页\编辑于星期一线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某企业生产3中产品，各产品的季度产值可以用如下数表表示对线性方程组的研究转化为对这张表的研究1234123202327181317211697611产品产值季度现在是66页\一共有127页\编辑于星期一这张表可以简单地表示成如下数表现在是67页\一共有127页\编辑于星期一√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√现在是68页\一共有127页\编辑于星期一为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.现在是69页\一共有127页\编辑于星期一

由

m×n

个数排成的

m行

n列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作二、矩阵的概念现在是70页\一共有127页\编辑于星期一简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线现在是71页\一共有127页\编辑于星期一例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.现在是72页\一共有127页\编辑于星期一例3设某省有m个产煤地它们所产的煤有n个销地，那么这样一个运输方案就可用一个矩阵来表示，其中表示由产地运到销地的数量例4四个城市间的单向航向如图所示，若令从城市i到j市有一条单向航线从城市i到j市没有单向航线①③②④现在是73页\一共有127页\编辑于星期一则图可以用矩阵表示为现在是74页\一共有127页\编辑于星期一行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式现在是75页\一共有127页\编辑于星期一

同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例如为同型矩阵.2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作现在是76页\一共有127页\编辑于星期一例现在是77页\一共有127页\编辑于星期一例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作现在是78页\一共有127页\编辑于星期一只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

（3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意例如不同阶数的零矩阵是不相等的.现在是79页\一共有127页\编辑于星期一形如的方阵称为对角阵．

特别的，方阵称为单位阵．记作记作．现在是80页\一共有127页\编辑于星期一特别地，主对角线上元都相等的对角矩阵称为数量矩阵，记作设A为任一n阶方阵，aE为任一n阶数量矩阵，则即n阶数量矩阵与任一阶方阵A相乘可换当a=1时，数量矩阵即为单位矩阵.现在是81页\一共有127页\编辑于星期一5.三角形矩阵形如的矩阵称为上三角矩阵，其特点是：主对角线的左下方的元全是零.类似地，主对角线右上方的元全为零的矩阵称为下三角矩阵.

现在是82页\一共有127页\编辑于星期一上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角形矩阵其中“*”表示对角线上方的元两个同阶的上（下）三角矩阵的乘积仍是一个上（下）三角形矩阵现在是83页\一共有127页\编辑于星期一一、矩阵的线性运算二、矩阵的乘法三、线性方程组的矩阵表示四、线性变换的概念第二节矩阵的运算现在是84页\一共有127页\编辑于星期一五、矩阵的转置六、方阵的幂七、方阵的行列式八、对称矩阵第二节矩阵的运算九、共轭矩阵现在是85页\一共有127页\编辑于星期一例

某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij

表示上半年工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中cij

表示工厂下半年向第

i家商店发送第j种货物的数量．现在是86页\一共有127页\编辑于星期一解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量现在是87页\一共有127页\编辑于星期一１、矩阵的加法二、矩阵的线性运算设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.现在是88页\一共有127页\编辑于星期一例如现在是89页\一共有127页\编辑于星期一知识点比较现在是90页\一共有127页\编辑于星期一交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然由此可规定矩阵的减法为现在是91页\一共有127页\编辑于星期一设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．现在是92页\一共有127页\编辑于星期一解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．现在是93页\一共有127页\编辑于星期一2、数与矩阵相乘现在是94页\一共有127页\编辑于星期一结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.现在是95页\一共有127页\编辑于星期一知识点比较现在是96页\一共有127页\编辑于星期一例已知求解现在是97页\一共有127页\编辑于星期一例已知且求解现在是98页\一共有127页\编辑于星期一其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例（续）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．现在是99页\一共有127页\编辑于星期一解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．现在是100页\一共有127页\编辑于星期一可用矩阵表示为一般地，现在是101页\一共有127页\编辑于星期一定义3设，，那么规定：矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．3、矩阵与矩阵相乘现在是102页\一共有127页\编辑于星期一例由此定义，一个的行矩阵与一个的列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数，即由此可知，矩阵AB=C的第i行和第j列交叉处的元就是A的第i行与B的第j列的乘积和.现在是103页\一共有127页\编辑于星期一例如不存在.注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，乘积AB才是有意义的；并且AB的行数等于第一矩阵A的行数，AB的列数等于第二个矩阵B的列数.现在是104页\一共有127页\编辑于星期一知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.现在是105页\一共有127页\编辑于星期一例

求AB和BA解显然现在是106页\一共有127页\编辑于星期一例

设求AB，并问BA是否有意义？解显然无意义现在是107页\一共有127页\编辑于星期一例

设求AB和BA解现在是108页\一共有127页\编辑于星期一注：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有，从而不能由得出或的结论．也就是说，当AB=AC时且时，一般情况下不能退出B=C3.进行矩阵乘法时，要注意顺序，因为有的时候乘积是无意义的现在是109页\一共有127页\编辑于星期一但也有例外，比如设则有一般地，如果方阵、的乘积与次序无关，即，称方阵与可交换.显然，如果可换，则必为方阵.注：单位矩阵与任何矩阵都可以交换现在是110页\一共有127页\编辑于星期一矩阵乘法的运算规律(假设运算都是可行的）(1)乘法结合律(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）现在是111页\一共有127页\编辑于星期一可以表示为三、线性方程组的矩阵表示（2）的形式，其中A是方程组的系数矩阵，现在是112页\一共有127页\编辑于星期一证根据矩阵相等的定义，即可知现在是113页\一共有127页\编辑于星期一注:对行(列)矩阵,为与后面章节的符号一致,常用行(列)向量的记法,即用黑体小写字母表之.如果是方程组的解,记列矩阵则这时也称是矩阵方程的解;反之,如果列矩阵即有矩阵等式成立,则即也是线性方程租的解.这样,对线性方程组的讨论便等价于对矩阵方程的讨论.特别地,齐次线性方程组可以表示为现在是114页\一共有127页\编辑于星期一可以表示为例如

线性方程组现在是115页\一共有127页\编辑于星期一例解矩阵方程为二阶矩阵.解设由题设,有即④③②①现在是116页\一共有127页\编辑于星期一定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作A