向量基本知识

向量一、向量的基本概念（1）n维行（列）向量及其表示法；（2）向量组及其与矩阵的关系；（3）向量的运算向量的线性组合、线性表示（1）P可由a，…,a线性表示当且仅当存在一组数k,k，…,k使得p=ka+…ka当1 n 1 2 n 1 1 nn且仅当P是a，…,a的线性组合当且仅当方程组xa+…xa=p有解当且仅当1 n 1 1 nn（a,..・,a）X=P有解1 n主要思想：矩阵T线性方程组T向量P可由a，…,a1 n唯一线性表示oxah—xa=P有唯一解oR（A）=R（B）=n＜线性表示，表示法不唯一一oxa+…xa=P有无穷多解oR（A）=R（B）＜n不能线性表示oxa+…xa=p无解oR（A）＜R（B）J 1 1 nn（其中A=（a，…,a）,B=（a，…,a,P））1 n 1 n3•线性相关和线性无关设有向量组：a，…,a，若不存在不全为0的数k，…,k，使得kah hka=0，则1 n 1 n 1 1 nna,…,a线性相关，否则a,•…，a线性无关（即若ka+…+ka=0，则1n1n11nnk二1二…=k=0)na,…,a线性相关当且仅当勺□ax+•••+ax=0有非零解当且仅当1n11inn□R(a,1…,a)<nna,…,a线性无关当且仅当勺□ax+•••+ax=0只有零解当且仅当1n11inn□R(a,…,a)=n1 n显然的事实：（1）含零向量的向量组线性相关;⑵单个非零的向量线性无关;⑶基本单位向量组线性无关；⑷向量a=（a，…,a），卩=（卩，…，卩）线性相关口对某个k，有a=kP或TOC\o"1-5"\h\z1 n 1 n i iP=kai i基本结果：（1）a，…,a线性相关当且仅当必有一个向量是其余n-1个向量的线性组合1 n

（2） a，…,a线性无关，a，…,a,P线性相关当且仅当P可由a，…,a唯一的线性表TOC\o"1-5"\h\z1 n 1 n 1 n示（3） 部分相关=整体相关，整体无关=部分无关（4） a，…,a是m维向量的向量组，则①m<nna，…,a线性相关；1 n 1②m二nna，…，a线性相关当且仅当|a，…,a1 n 1 n③m>n，a,…，a可能线性相关可能线性无关.1 n向量组的线性表示及等价设A:a，…，a，B:p，…，p为两个列向量组，令A=（a，…,a），B=©，…,卩）1 m 1 n 1 n 1 m则下列说法等价（1）向量组B可以A线性表示o存在矩阵K ，使得（P，…,P）=（a，…,a）Kmxn 1 n 1 m mxno矩阵方程AX=B有解X=KmxnoR(A)=R(A,B)(2)向量组A与B等价1 n nxmo矩阵K，L 使(a，…,a)=(p，…,p)L ，(a，…,a)=(p，…1 n nxmmxn nxm 1 n 1 m mxn 1oR(A)=R(B)=R(A,B)设A:a,.设A:a,.・.,a，B:p，…,p为两个行向量组,1(a、1a2B=1p2<a丿<p丿,则下列说法mn等价（1）向量组B可以A线性表示rp〕1p2=Knxm〔a、1a2'卩丿0丿nmo存在矩阵K ，使得nxmoXA=B有解oR(AoR(A)=R<B丿oR(At)=R(At,Bt)（2）向量组A与B等价o矩阵o矩阵K,L使nxm mxnoR(A)二R二RoR(A)二R二R(B)<B丿oR(At)=R(At,Bt)=R(Bt)由上面的结论我们可以得到若矩阵A,B,C满足AB=C，则下列说法成立（1）B是矩阵方程AX=C的解；（2）C的列向量组可以由A的列向量组线性表示；（3）A是矩阵方程XB=C的解；（4）C的行向量组可以由A的行列向量组线性表示;（5）若AB=0，且A,B为非零矩阵，则A的列向量组线性相关；B行列向量组线性相关。有关结论：设列向量组a，…,a与P，…，P满足（卩，…，卩）=（a，…,a）k若a，…,a线性无1 m 1 n 1 n 1 mmxn. 1 m关，则B，…,P线性无关oR（K）=n1 n mxn特殊情形：若（P，…,P）=（a,..・,a）K，则1 n 1 nnxn（1）若|K|丰0，则,a与p，…,P有相同的线性相关性，且a,...,a与p，…,PTOC\o"1-5"\h\z1 n 1 n 1 n 1 n等价（2） 若IK=0，则（1）中结果不成立（3）a,…,a线性无关，则P，…,P线性相关o|K=01 n 1 n向量组的秩与极大线性无关组（1）极大线性无关组：设a,…,a为一个n维向量组，若其中有r个向量线性无关，而任意r+1个向量线性相1 s关，则称这r个向量为a，…,a的一个极大线性无关组，并定义r为向量组a，…,a的秩,1 s 1 s记作R（a，…,a）=r。1 sP，…，P是a,…,a（r<s）的一个极大线性无关组口①P，…，