2021-2022学年四川省南充市黄溪乡中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年四川省南充市黄溪乡中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，） B．（1，） C．（，） D．（，）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，即b＜a，∴＜a，整理得c＜a，∴e=＜∵双曲线中e＞1∴e的范围是（1，）．故选：B．2.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)参考答案：D3.设双曲线（）的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，若以（为坐标原点）为直径的圆与相切，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D4.如图，在长方体中，点P是棱上一点，则三棱锥的左视图可能为（）主视方向A

B

C

D

参考答案：D在长方体中,三棱锥的左视图中，、、的射影分别是、、.所以选D.5.已知中，，则等于A．或

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由得为锐角，；由，由正弦定理得，当为钝角，不符合内角和定理，所以锐角，由，得由，故答案为D考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和的余弦公式6.已知集合，，A∩B=（

）A. B. C.(0,1] D.[1,+∞)参考答案：B∵集合A={x|lnx≤0}={x|0＜x≤1}，B={x∈R|z=x+i，，i是虚数单位}={x|x≥或x}，∴A∩B={x|}=[]．故选：B．点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．7.已知函数则函数的最大值为 （

） A．3

B．4

C．5 D．不存在参考答案：C略8.设函数，则函数的各极小值之和为

（）A、

B、C、

D、参考答案：D略9.函数的定义域为,,对任意,则的解集为（

）A.

B.

C.

D.R参考答案：B10.将的图像向右平移个单位长度后，再使平移后的图像纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，将方程的所有正根按从小到大排成一个数列，在以下结论中：①；②；③．正确结论的个数有（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在（1﹣x）11的展开式中系数最大的是第

项．参考答案：7【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，求出正的系数，选出最大值．【解答】解：由题意，（1﹣x）11的展开式中系数时最大，即第7项．故答案为：7．12.当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．

解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．13.将一颗股子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次构成等比数列的概率与构成等差数列的概率之比为_______.

参考答案：略14.若函数f(x)=(a∈R)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是

．参考答案：[﹣，]【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】去掉绝对值，根据f′（x）≥0，得到a的范围即可．【解答】解：f（x）=；∵x∈[1，2]；∴a≤时，f（x）=，f′（x）=；由f′（x）≥0；解得：a≥﹣≥﹣，即﹣≤a≤时，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]上单调递增；即a的取值范围是：[﹣，]．故答案为：[﹣，]．15.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．参考答案：8【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．16.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为____参考答案：417.函数的单调递减区间是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点，动点P到直线的距离与动点P到点F的距离之比为.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作任一直线交曲线C于A,B两点，过点F作AB的垂线交直线于点N；求证：ON平分线段AB.参考答案：（1）.（2）证明见解析【分析】（1）设，几何关系代数化，得到，化简即得解；（2）设AB的直线方程为，与椭圆联立得到M点坐标，表示直线ON方程，验证M在ON上即可.【详解】（1）设,则化简得（2）设AB的直线方程为则NF的直线方程为联立得∴直线ON的方程为联立得设,,则设AB的中点为,则∴∴将点M坐标代入直线ON的方程∴点M在直线ON上

∴点M平分线段AB【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19.（本小题满分12分）如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

第19题图参考答案：（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则．由，知，△为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），，，且，所以平面．又，所以．于是

，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时,三棱锥的体积最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．当时，；当时，．所以当时，取得最大值．故当时,三棱锥的体积最大．

（Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．于是可得，，，，，，且．设，则.因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．

设平面的一个法向量为，由

及，得

可取．设与平面所成角的大小为，则由，，可得，即．故与平面所成角的大小为

解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．如图b，取的中点，连结，，，则∥.由（Ⅰ）知平面，所以平面.如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，所以.取的中点，连结，又为的中点，则∥，所以.因为平面，又面，所以.又，所以面.又面，所以.因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.即当（即是的靠近点的一个四等分点），．

连接，，由计算得，所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，，则平面．在平面中，过点作于，则平面．故是与平面所成的角．在△中，易得，所以△是正三角形，故，即与平面所成角的大小为

20.

已知，．（1）求的值；（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．参考答案：（1）由条件，

①，在①中令，得．

………………1分在①中令，得，得．

………………2分在①中令，得，得．

………………3分（2）猜想=（或=）．

………………5分欲证猜想成立，只要证等式成立．方法一：当时，等式显然成立，当时，因为，故．故只需证明．即证．而，故即证

②．由等式可得，左边的系数为．而右边，所以的系数为．由恒成立可得②成立.综上，成立.

………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（个白球）的n个小球的组合的个数为，，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为．另一方面，从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为．故，即②成立.

余下同方法一.

………………10分方法三：由二项式定理，得

③．两边求导，得

④．③×④，得

⑤．左边的系数为．右边的系数为．由⑤恒成立，可得．故成立.

………………10分21.某高校在2013年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望.参考答案：解：(1)

第三组的频率为0.065=0.3；第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1.

……3分(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试则:

P(