2021-2022学年湖南省郴州市三星中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年湖南省郴州市三星中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．100参考答案：A【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选A【点评】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．2.已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（

）（A）（0，]

（B）[，]

（C）[，]{}（D）[，）{}参考答案：C

3.执行如图所示的程序框图，其输出的结果是(A)1

(B)

(C)

(D)参考答案：C4.设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]?D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（）A． B．（0，1） C． D．参考答案：D【考点】34：函数的值域．【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．【解答】解：为增函数，存在[a，b]?D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则，即∴a，b是方程为4x﹣2x+t=0的两个不等的根，设2x=m，∴m2﹣m+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0，∴，解得0＜t，故选：D．5.函数的反函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

当时，∵，∴，且；当时，∵，∴，且．故反函数为6.若集合，，则A∩B=（

）A.(－1,1) B.(2,3)C.(－1,3) D.(－1,1)∪(2,3)参考答案：D【分析】化简集合，按交集定义即可求解.【详解】，.故选:D.【点睛】本题考查交集的运算，以及不等式的解法，属于基础题.7.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为

（）A． B． C． D．参考答案：C8.设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（?UA）∩B=（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（2，+∞） D．[2，+∞）参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴?UA=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（?UA）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．9.平面向量满足，，，，则的最小值为（）A.

B.

C.

1

D.2参考答案：【答案解析】B解析：设，则有x=1,m=2,,得，所以，所以选B.【思路点拨】在向量的计算中，若直接计算不方便，可考虑建立坐标系，把向量坐标化，利用向量的坐标运算进行解答.10.从A，B，C，D，E5名学生中随机选出2人，A被选中的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出A被选中包含的基本事件个数m==4，由此能求出A被选中的概率．【解答】解：从A，B，C，D，E5名学生中随机选出2人，基本事件总数n=，A被选中包含的基本事件个数m==4，∴A被选中的概率为p=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行右边的程序框图，输出的T=

.参考答案：30略12.某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升。此驾驶员至少要过

小时后才能开车（精确到1小时）.参考答案：313.在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD，则的最大值为．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立适当的平面直角坐标系，设角度为参数，利用坐标表示与参数方程建立?的解析式，利用三角函数求出它的最值．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设∠BOC=x，则∠BOD=x+；∴C（2cosx，2sinx），D（2cos（x+），2sin（x+）），且A（﹣2，0），B（2，0）；∴=（2cosx+2，2sinx），=（2cos（x+）﹣2，2sin（x+））；∴?=（2cosx+2）×（2cos（x+）﹣2）+2sinx×2sin（x+）=4cosxcos（x+）﹣4cosx+4cos（x+）﹣4+4sinxsin（x+）=4cos﹣4cosx+4cos（x+）﹣4=﹣4cos（x﹣）﹣2；当cos（x﹣）=﹣1时，?取得最大值2．故答案为：2．14.已知向量，向量，且，则

;参考答案：615.过的直线与圆C：(x-1)2+y2=4交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线的方程为

．参考答案：2x－4y+3=016.设数列都是等差数列,若,则______。参考答案：3517.（09年扬州中学2月月考）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为

▲

．参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，，，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形OAPB的面积最大时，求点P的直角坐标.参考答案：（1）（2）四边形的面积时，P点为.【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，先将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后化简，得到所求.（2）设出点的坐标，求得四边形的面积的表达式，利用辅助角公式和三角函数的最值，求得的最大值以及此时点的坐标.【详解】(1),整理得

(2)由动点P是曲线C在第一象限的点，设点设四边形的面积为S，则所以当时，S最大，此时P点【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查三角函数辅助角公式，考查三角函数最值的求法，属于中档题.19.已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线l垂直于直线y=x，求实数a的值及直线l的方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若x＞1，求证：lnx＜x﹣1．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出a的值，从而求出函数的切点，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）由a=1时，f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）上单调递减，得到f（x）＜f（1），从而证明结论．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R），定义域为（0，+∞），∴，∴函数f（x）的图象在x=1处的切线l的斜率k=f′（1）=1﹣a，∵切线l垂直于直线y=x，∴1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=lnx﹣2x+1，f（1）=﹣1，∴切点为（1，﹣1），∴切线l的方程为y+1=﹣（x﹣1），即x+y=0．（2）由（1）知：，x＞0当a≤0时，，此时f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＞0时，若，则f′（x）＞0；若，则f′（x）＜0，此时，f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，综上所述：当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）由（2）知：当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，f（x）＜f（1）=ln1﹣1+1=0，∴x＞1时，lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1．20.设函数，.（1）解不等式；（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.参考答案： ,且无限趋近于4， 综上，的取值范围是21.（10分）甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为l，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息总量为X，若可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．（1）求线路信息通畅的概率；（2）求线路可通过的信息量X的分布列；（3）求线路可通过的信息量X的数学期望．参考答案：解析：（1）,……3分所以线路信息通畅的概率为

…………4分（2）

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