新高中数学人教A选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.1.3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1.3导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1已知函数y=f（x）的图象如图所示,则f'（xA)与f’（xB)的大小关系是()A。f’（xA）〉f’(xB）B.f'（xA）〈f'(xB)C。f'（xA）=f’(xB）D.不能确定解析由题图知f（x)在点A，B处的切线斜率kA,kB满足kA<kB<0.由导数的几何意义，得f'（xA）〈f'(xB）.答案B2已知曲线y=f(x)=12x2-2上一点P1,-32,则曲线在点P处的切线的倾斜角为A.30° B.45°C。135° D.165°解析∵y=12x2-∴y’=lim=lim=limΔx∴y'｜x=1=1。∴曲线在点P1,-32处切线的斜率为1，即切线的倾斜角为45°。答案B3若曲线y=f(x）=x2在点P处的切线斜率为k,则当k=2时点P的坐标为（）A。(-2，-8) B。（-1，-1）C。(1，1） D。-解析设点P的坐标为（x0，y0),则k=f'(x0)=lim=limΔx→0(x0+Δx)2-即2x0=2。所以x0=1,此时y0=x02=12=故点P的坐标为（1，1)。故选C.答案C4已知曲线y=f（x）=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为。

解析设P(x0,2x02+4x则f'(x0)=lim=limΔx→02(Δ∵f'(x0）=16，∴4x0+4=16.∴x0=3。故点P的坐标为(3，30）.答案（3，30)5已知函数y=f（x)，y=g（x），y=h(x）的图象如图所示：其对应导数的图象如图①②③：则曲线y=f'（x)对应图象;曲线y=g'(x）对应图象；曲线y=h'(x)对应图象。（只填序号）

解析由导数的几何意义,知y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则曲线y=f’(x)对应图象②;y=g（x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线y=g'(x)对应图象③;y=h(x)上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大，故曲线y=h’(x）对应图象①.答案②③①6若曲线y=f(x）=2x2-4x+p与直线y=1相切，则p=。

解析设切点坐标为（x0,1），∵f’（x0）=lim=lim=limΔx→0（2·Δx+4x0—4）=4由题意知4x0—4=0，∴x0=1,即切点坐标为（1,1).∴1=2—4+p.∴p=3.答案37若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过"曲线C.下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。

①直线l：y=0在点P(0,0)处“切过"曲线C:y=x3②直线l：x=—1在点P(—1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1)2③直线l:y=x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y=sinx④直线l：y=x在点P(0，0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l：y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx答案①③④8求证:函数f（x）=x+1x图象上各点处的切线的斜率小于1.证明∵f'（x)=lim=limΔx→0x+∴f（x)=x+1x图象上各点处的切线的斜率小于19已知曲线y=f（x)=1t-x上的两点P（2，—1)，Q求：（1)曲线在点P、点Q处的切线的斜率;(2）曲线在点P、点Q处的切线方程。分析由导数的几何意义,可知求曲线在点P、点Q处的切线斜率即求曲线在x=2,x=—1处的导数,求出斜率就易求切线方程了。解把P（2，-1)代入y=1t-x，得t=1，即所以y'=lim=lim=lim=limΔ（1)曲线在点P处的切线斜率为y'｜x=2=1(1曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=14(2）曲线在点P处的切线方程为y-(—1）=x—2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y—12=14[x—(-1)］,即x—4y+能力提升1曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标为（)A.-9 B.—3 C。9 D。15解析由已知得切线的斜率k=y'｜x=1=3,所以切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0。令x=0，得y=9,所以切线与y轴交点的纵坐标为9.答案C2下列说法正确的是(）A。曲线的切线和曲线有且只有一个交点B。过曲线上一点作曲线的切线,这点一定是切点C。若f'(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f（x0)）处无切线D。若曲线y=f（x)在点(x0，f（x0）)处有切线,则f’（x0)不一定存在解析当切线平行（或重合）于y轴时,切线斜率不存在，则f'（x0)不存在。答案D★3已知a〉0,f(x）=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P（x0，f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围为0,π4,则点P到曲线y=f(x）的对称轴的距离的取值范围是（A。0,1aC。0,b2解析f'（x）=lim=lim=limΔx→0因为曲线在点P(x0,f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围为0,π4，所以0≤2ax0又点P到曲线y=f（x)的对称轴的距离为x0所以x0答案B4已知曲线y=f（x）=13x3上一点P2,83,则f(x）在点P处的切线的斜率为,在点P处的切线方程为解析由导数的定义易得f’（x0）=x02，所以f（x)在2,所以切线方程为y—83=4（x-即12x-3y—16=0.答案412x—3y-16=05如图是函数f（x）及f(x）在点P处切线的图象，则f（2）+f'(2）=.

解析由题意可得f（x）在点P处的切线方程为x4+y4.5=1,又点P（2,f(2))为切点,∴f’(2）=-98,且24解得f(2）=94∴f（2)+f'（2)=98答案96已知曲线y=f（x)=x3在点（a，a3）（a≠0）处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为16,则a=。

解析因为f'(a）=limΔx→0(所以曲线在点（a，a3)处的切线方程为y—a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点坐标为23所以三角形的面积为12a-23a·｜a3|=1答案±1★7已知函数y=f(x）=x2a—1(a〉0)的图象在x=1处的切线为l,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值分析先求出f（x)在x=1处的切线l的方程,再求得l与两坐标轴围成的三角形的面积，利用不等式求面积的最小值。解∵Δy=(x+Δx)2a—1∴Δy当Δx无限趋近于0时,ΔyΔx即f’（x)=2x∴f'(1)=2a又f(1）=1a-∴f（x)在x=1处的切线l的方程是y—1a+1=2a(x—令x=0，得y=—1a—1令y=0，得x=a+1∴l与两坐标轴