课题学习最短路径问题

第十三章

轴对称13.4课题学习最短

路径问题现在是1页\一共有36页\编辑于星期日1课堂讲解运用“垂线段最短”解决最短路径问题运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升现在是2页\一共有36页\编辑于星期日如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你能解答这个问题吗？现在是3页\一共有36页\编辑于星期日知1－导1知识点运用“垂线段最短”解决最短路径问题【例1】体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是(

)A．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且

只有一条B．两点之间，线段最短

C．垂线段最短D．两点确定一条直线C现在是4页\一共有36页\编辑于星期日知1－练如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.1（来自《典中点》）现在是5页\一共有36页\编辑于星期日知2－导2知识点运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题如图13.4-1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问

题（一）现在是6页\一共有36页\编辑于星期日知2－导如果把河边l近似地看成一条直线（图13.4-2)，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.由这个问题，我们可以联想到下面的问题：现在是7页\一共有36页\编辑于星期日知2－导如图13.4-3,点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？AB··l利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即:连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.图13.4-3现在是8页\一共有36页\编辑于星期日知2－导现在，要解决的问题是：点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l

上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？如果我们能把点B移到l的另一侧B'处，同时对直线l上的任一点C,都保持CB与CB'的长度相等，就可以把问题转化为“图13.4-3”的情况，从而使新问题得到解决.你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B'吗？现在是9页\一共有36页\编辑于星期日知2－导如图13.4-4,作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB.这样，问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB'的和最小？现在是10页\一共有36页\编辑于星期日知2－导如图13.4-5,在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短.因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求.

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C'(图13.4-5)，连接AC',BC',B'C'，证明AC+CB<AC'+C'B.你能完成这个证明吗？现在是11页\一共有36页\编辑于星期日1.如图13.4­-1，点A，B分别是直线l异侧的两个点，

连接AB，与直线l相交于点P，根据“两点之间，

线段最短”，可知点P为直线l上到点A、点B的距

离之和最短的点．图13.4­-1知2－导现在是12页\一共有36页\编辑于星期日2.如图13.4­-2，点A，B是直线l同侧的两个点，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA

＋PB＝PA′＋PB＝A′B.由“两点之间，线段最短”

可知，点P为直线l上到点A、点B的距离之和最短

的点．图13.4­-2知2－导现在是13页\一共有36页\编辑于星期日3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、

平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而

作出最短路径．知2－导现在是14页\一共有36页\编辑于星期日某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电．(1)如果居民小区A，B在主干线l的两旁，如图13.4­-3，那么分支点M在什么地方时总线路

最短？知2－讲【例2】图13.4­-3（来自《点拨》）现在是15页\一共有36页\编辑于星期日知2－讲(2)如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图13.4­-4，

那么分支点M在什么地方时总线路最短？

图13.4­-4（来自《点拨》）(1)连接AB，与l的交点即

为所求分支点M；(2)作点B关于l的对称点B1，

连接AB1交l于点M，点M即为分支点．导引：

现在是16页\一共有36页\编辑于星期日(1)如图13.4-­3，连接AB，与l的交点即为所求分支

点M.(2)如图13.4-­4，作点B关于l的对称点B1，连接AB1

交l于点M，点M即为所求分支点．知2－讲解：

（来自《点拨》）图13.4­-3

图13.4­-4现在是17页\一共有36页\编辑于星期日

解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点．知2－讲现在是18页\一共有36页\编辑于星期日知2－练如图，A处是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上的点P处喝水，再游到B处，但要使游泳的路程最短．试在图中画出点P的位置．1（来自《点拨》）现在是19页\一共有36页\编辑于星期日知2－练（来自《典中点》）(2015•黔南州)如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是(

)A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角2现在是20页\一共有36页\编辑于星期日知2－练（来自《典中点》）如图，直线l表示一条河，P，Q两地相距10km，P，Q两地到l的距离分别为2km，8km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是(

)3现在是21页\一共有36页\编辑于星期日知2－练（来自《典中点》）如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是(

)A．(－2，0)

B．(4，0)

C．(2，0)

D．(0，0)4现在是22页\一共有36页\编辑于星期日知2－讲(造桥选址问题）如图13.4-6,A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）问

题（二）现在是23页\一共有36页\编辑于星期日我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b(图13.4-7)，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？知2－讲现在是24页\一共有36页\编辑于星期日知2－讲由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把“图13.4-7”的情况转化为“图13.4-3”的情况？如图13.4-8,将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N,点A

移动到点A'，则AA'=MN，AM+NB=A'N+NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？现在是25页\一共有36页\编辑于星期日知2－讲如图13.4-9，在连接A'，B两点的线中，线段A'B最短.因此线段A'B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.现在是26页\一共有36页\编辑于星期日知2－讲为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N',过点N'作N'M'⊥a,垂足为M'连接AM'

，A'

N'，N'B,证明AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B,你能完成这个证明吗？现在是27页\一共有36页\编辑于星期日在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.现在是28页\一共有36页\编辑于星期日如图13.4­-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．知2－讲【例3】（来自《点拨》）图13.4­-5现在是29页\一共有36页\编辑于星期日要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接PA，PB，即得放牧所走的最短路线．知2－讲（来自《点拨》）导引：

现在是30页\一共有36页\编辑于星期日如图13.4­-5，作点P关于直线a的对称点P1，关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接PA，PB.由轴对称的性质知，PA＝P1A，PB＝P2B，所以先到点A处吃草，再到点B处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走的总路程最短．知2－讲解：

（来自《点拨》）现在是31页\一共有36页\编辑于星期日

解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径．知2－讲现在是32页\一共有36页\编辑于星期日知2－练（来自《点拨》）1为庆祝教师节，阳光中学八年级(2)班举行了一次文艺晚会，桌子摆成两条线