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文档简介

第三节曲线的曲率

第四章

一、弧微分

三、曲率的计算公式四、曲率圆与曲率半径二、平面曲线曲率的概念一、平面曲线曲率的概念1.问题的提出引出描述曲线弯曲程度的量——曲率.观察右图，点

M

处的曲率:2.曲率定义在光滑弧上自点其长为开始取弧段对应切线定义弧段上的平均曲率.转角为显然,直线上任意点处的曲率为0.曲率是曲线切线倾角关于弧长s的变化率。yxo)解

如图所示,可见:圆的弯曲程度处处相同;圆的半径越小,圆弯曲得愈厉害.例1求半径为R

的圆上任意点处的曲率.二、弧微分设弧或若曲线由参数方程若曲线由极坐标系方程=()表示,二阶可导,设曲线则有又三、曲率的计算公式注2

若曲线由参数方程给出,则通过计算可得有曲率近似计算公式设曲线由极坐标系方程=()表示,则点(,)处的曲率为:解显然,例2例3：求摆线上的任一点处的曲率。

例4：证明指数螺旋线上任一点处的曲率为四、曲率圆与曲率半径设M

为曲线C

上任一点,把以D为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

M

处的曲率圆(密切圆),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.在点M

处作曲线的切线和法线,在曲线的凹向一侧法线上取点D

使在点M

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.设曲线方程为且曲线上点M

处的曲率半径为例5解xyo1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径内容小结求双曲线的曲率半径R,并分析何处R最小?解则思考题上点的解故曲率为备用题

例2-1

求椭圆曲率最大值与最小值（设a>b>0).因此当从而

K

取最大值这说明椭圆在点处曲率最大.K

最大(小)最小(大)类似地,当K

取最小值即椭圆在点处曲率最小.磨削其内表面以达到要求的光洁度,问选择多大的解

设椭圆方程为由例2可知,椭圆在点处即曲率半径最小,例4-1

设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮曲率最大,为砂轮比较合适?显然,砂轮半径不超过才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.时,设点M

处的曲率圆方程为满足方程组的坐标公式.下面求曲线上点M

处的曲率中心当点M(x,y)沿曲线移动时,的曲率中心的轨迹G相应曲线C曲线C的渐屈线,称为曲线G的渐伸线

.称为由此可得曲率中心公式(仍为摆线)的渐屈线方程.

解代入曲率中心公式,得例4

求摆线可得作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l

是缓和曲线的长度,

求此缓和曲线在其两个端点解备用题

例2-1铁路常用立方抛物线因此于是当列车从直道转入圆弧形弯道行驶时,铁轨的

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