中考数学三角形练习题（含答案）

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第第页中考数学二轮复习拔高训练卷专题6三角形一、单选题（共12题；共36分）1.(3分)如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（

）A.

2：1

B.

3：2

C.

3：1

D.

2：22.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（

）A.

5

B.

6

C.

7

D.

83.(3分)如图，在ΔABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则A.

1：2

B.

1：3

C.

1：4

D.

2：34.(3分)如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到ΔAB'C'，B'C'与BC，AC分别交于点D，E.设CD+DE=x，ΔAEC'的面积为A.

B.

C.

D.

5.(3分)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55A.

25

B.

45

C.

53

D.

106.(3分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=2，AD=6，则两个三角形重叠部分的面积为（

）A.

2

B.

3-2

C.

37.(3分)如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（

）A.

30°

B.

35°

C.

45°

D.

60°8.(3分)如图，AB⊥CD，且AB=CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=bA.

a+c

B.

b+c9.(3分)在RtΔABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交ABA.

BC=EC

B.

EC=BE

C.

BC=BE10.(3分)如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E，将ΔBDE沿直线DE折叠，得到ΔB'DE，若B'D，B'E分别交AC于点F，G，连接OF，A.

ΔADF≅ΔCGE

B.

ΔB'FG的周长是一个定值

C.

四边形FOEC的面积是一个定值

D.

四边形OGB11.(3分)如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（

）A.

362

B.

332

C.

6

12.(3分)如图，等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心，∠FOG=120∘.绕点o旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE,给出下列四个结论:①OD=OE;②SΔODE=SΔBDE;③四边形ODBEA.

1

B.

2

C.

3

D.

4二、填空题（共7题；共24分）13.(3分)如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD=12DC=2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG.若将正方形DEFG14.(6分)图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为________分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为________分米．15.(3分)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为________.16.(3分)如图，ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N．下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）．①AM=BN；②ΔABF≌ΔDNF；③∠FMC17.(3分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.18.(3分)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB=219.(3分)如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP=6，BP=8，CP=10．则S△ABP三、解答题（共2题；共12分）20.(6分)如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．

21.(6分)已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF。

求证：△ABC是等边三角形。四、综合题（共4题；共28分）22.(6分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD.在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF.（1）若AC＝BC，BD＝DE.①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为________.②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由.________（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，CDAC=45，且E，C，F三点共线，求23.(6分)（1）【思维启迪】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是________米.（2）【思维探索】在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE.①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是________；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；________③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值.________24.(6分)如图1，ΔABC（12AC<BC<AC）绕点C顺时针旋转得ΔDEC，射线AB交射线（1）∠AFD与∠BCE的关系是________（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG=OD，连接①写出∠AFD与∠GCD②如图3，连接AE,BE，若∠ACB=45∘，CE=425.(10分)在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB

答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【解答】解：根据题意标好字母，如图，依题可得：∵∠EGK+∠HGM+∠KGM=180°，∠EGK+∠GEK+∠EKG=180°，∴∠EKG=∠KGM=∠FKE，∴△EFK≌△EGK，设AE=AF=x，EG=GH=y，∴EF=y，∴2x2=y2，即x=22y连结KMNP，易知四边形KMNP是平行四边形，∴可得SA=SB+2S四边形KNMP，∵SB=8S△EGK=8×12y×2+12y=2（2+1）y又∵AB=QR，∴h=2+12∴SA=2（2+1）y2+2y2=（22+4）y2=22（2+1）y2∴SASB=2故答案为：A.【分析】设AE=AF=x，EG=GH=y，根据题意得2x2=y2，解之得x=22y，连结KMNP，易知四边形KMNP是平行四边形，由SA=SB+2S四边形KNMP，先求SB=8S△EGK=2（2+1）y2，从而可得SA=2（2+1）y2+2y2=22（2+1）y22.【答案】B【考点】三角形中位线定理，切线的性质，平行线分线段成比例【解析】【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB＝23×5＝103，OPAC＝OBAB＝∴OP＝83∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴ODBC＝OQAB＝1∴OD＝1，∴MN最小值为OP﹣OF＝83﹣1＝53如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝103+1＝133∴MN长的最大值与最小值的和是6。故答案为：B。【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，首先在△ABC中，根据勾股定理算出AB，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出OP∥AC，根据平行线等分线段定理得出OPAC＝OBAB＝23，根据比例式即可算出OP的长；根据切线的性质得出OD⊥AC，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出OD∥BC，根据平行线等分线段定理得出ODBC＝OQAB＝13，根据比例式算出OD的长，即可算出MN最小值；如图，当N在AB边上时，M3.【答案】B【考点】三角形的面积，平行线分线段成比例【解析】【解答】解：如图，过O作OG//BC，交AC于G∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD：DC∴∴∴设SΔBOE＝S，SΔAOB∴∵∴∴SΔAEC∴故答案为：B．【分析】如图，过O作OG//BC，交AC于G，根据平行线分线段成比例可得出AD：DC=1:2，从而可得AD=DG=GC，AG：GC=2:1，AO：OE=2:1，由△AOB与△BOE同高，可得S△AOB：S△BOE=AO：OE=2:1,由同高不同底的三角形中底与三角形的面积关系即可BE：FC4.【答案】B【考点】一次函数的图象，三角形的面积，含30度角的直角三角形，旋转的性质【解析】【解答】解：连接B′C，作AH⊥B′C′，垂足为H，∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到ΔAB'∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，∴AH=12AC′=1∴C′H=AC'∴B′C′=2C′H=23，∵AB′=AC，∴∠AB′C=∠ACB′，∵∠AB′D=∠ACD=30°，∴∠AB′C-∠AB′D=∠ACB′-∠ACD，即∠DB′C=∠DCB′，∴B′D=CD，∵CD+DE=x，∴B′D+DE=x，即B′E=x，∴C′E=B′C′-B′E=23-x，∴y=12C'E·AH=12×(2观察只有B选项的图象符合题意。故答案为：B。【分析】连接B′C，作AH⊥B′C′，垂足为H，根据等边对等角得出∠C=∠B=30°，根据旋转的性质得出AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AH=1，根据勾股定理算出C'H的长，根据等边对等角及等量减去等量差相等得出∠DB′C=∠DCB′，故B′D=CD，根据线段的和差及等量代换得出B′E=x，进而根据线段的和差由C′E=B′C′-B′E表示出C'E,然后根据三角形的面积计算方法建立出y与x的函数关系式，根据所得函数的图象与系数的关系即可作出判断得出答案。5.【答案】B【考点】垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【解答】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=25或-25（舍弃），∴BE=2a=45，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=45（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH∴DH=55BD∴CD+55BD=CD+DH∴CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥45∴CD+55BD的最小值为45故答案为：B．

【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M,由tanA=BEAE=2，可设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a值,从而求出BE的长，利用等腰三角形的性质可得CM=BE=45.利用锐角三角函数定义，可得DH=55BD，根据垂线段最短可得CD+DH≥CM，即得CD+55BD≥456.【答案】D【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ECA中，{DC∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA=2,∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∴AB=AD2+B在Rt△ABC中，∴2AC2=AB2=8，∴AC=BC=2，在Rt△ECD中，∴2CD2=DE2=(2+∴CD=CE=3+1，∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，∴△CAO∽△CDA，∴SΔCAO：SΔACD=(23+1)又∵SΔECD=12CE2=12DE∴CH=(3+1)22∴SΔACD=12AD·CH=12×6×2+∴SΔCAO=（4-23）×SΔACD=3-即两个三角形重叠部分的面积为3-3.故答案为：D.【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA=2,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=22，同理可得AC=BC=2，CD=CE=3+1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.7.【答案】B【考点】三角形全等的判定，角平分线的性质【解析】【解答】解：过点M作ME⊥AD交于点E，∵∠ADC+∠C+∠B+∠BAD=360°，∴∠BAD=360°-（∠ADC+∠C+∠B）=360°-（110°+90°+90°）=70°，∵DM平分∠ADC，且ME⊥AD，∠C=90°，M是BC的中点，∴ME=MC=BM，在Rt△AME和Rt△AMB中，{ME∴Rt△AME≅Rt△AMB，∴∠MAB=∠MAE=12∠BAD=35故答案为:B．【分析】由四边形内角和可求∠BAD的度数；由角平分线的性质可作M作ME⊥AD，及中点的定义可得ME=MC=BM，由HL可得Rt△AME≅Rt△AMB，从而可知AM平分∠BAD．8.【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图,∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C.∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故答案为：:D.【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，三角形的内角和得出∠A=∠C.然后利用AAS判断出△ABF≌△CDE,根据全等三角形的对应边相等得出AF=CE=a,ED=BF=b,，根据线段的和差得出答案。9.【答案】C【考点】余角、补角及其性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故答案为：C．【分析】根据同角的余角相等得出∠BCD=∠A．根据角平分线的定义得出∠ACE=∠DCE．根据等式的性质得出∠BEC=∠BCE，然后由等角对等边得出BC=BE．从而得出答案。10.【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：A、连结OA、OC，

∵点O是等边三角形ABC的外心，

∴AO平分∠BAC，

∴点O到AB、AC的距离相等，

由折叠得：DO平分∠BDB'，

∴点O到AB、DB'的距离相等，

∴点O到DB'、AC的距离相等，

∴FO平分∠DFG，

∠DFO=∠OFG=12（∠FAD+∠ADF），

由折叠得：∠BDE=∠ODF=12（∠DAF+∠AFD），

∴∠OFD+∠ODF=12（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，

∴∠DOF=60°，

同理可得∠EOG=60°，

∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG,

∴△DOF≌△GOF≌△GOE

∴OD=OG,OE=OF,

∠OGF=∠ODF=∠ODB,∠OFG=∠OEG=∠OEB，

∴△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,

∴AD=CG,AF=CE,

∴△ADF≌△CGE.

故A不符合题意；

B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE,

∴DF=GF=GE,

∴△ADF≌△B'GF≌△CGE,

∴B'G=AD,

∴△B'FG的周长-FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），

故B不符合题意；

C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=13S△ABC（定值），

故C不符合题意；

D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+S△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG,

过点O作OH⊥AC于H，

∴S△OFG=12·FG·OH,

由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F【分析】A、根据等边三角形ABC的外心的性质可知，AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,可得AD=CG,AF=CE,从而得△ADF≌△CGE；

B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE,所以△ADF≌△B'GF≌△CGE,可得结论；

C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=13S△ABC（定值），据此判断；

D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG,根据S△OFG=12·FG·OH,FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形11.【答案】D【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，CD=2CH∵∠OCH=30°，∴OH=12OC=32CH=3OH=32∴CD=2CH=3．故答案为：D．【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，根据对称性得出MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3

，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，故PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，根据等腰三角形的性质得出CH=DH，CD=2CH，∠OCH=30°，根据含30º角的直角三角形的边之间的关系得出OH,CH的长，从而得出答案。12.【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，偶次幂的非负性【解析】【解答】连接BO，CO，∵O为△ABC的中心，∴BO=CO，∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°．∵∠DOE=120°，∴∠DOB=∠COE．在△OBD和△OCE中，∵∠DOB=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO，∴△OBD≌△OCE，∴BD=CE，OD=OE，故①正确；当D与B重合时，E与C重合，此时△BDE的面积=0，△ODE的面积＞0，两者不相等，故②错误；∵O为中心，OH⊥BC，∴BH=HC=2．∵∠OBH=30°，∴OH=33BH=233，∴△OBC的面积=12∵△OBD≌△OCE，∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积=433过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=12x，DI=3∵BD=EC，BC=4，∴BE=4－x，IE=BE-BI=4-32x．在Rt△DIE中，DE=DI2+IE2=(32x)2+(4-32x)2

=故答案为：C．【分析】连接BO，CO，首先根据ASA判断出△OBD≌△OCE，根据全等三角形对应边相等得出BD=CE，OD=OE，从而判断①正确；通过特殊位置，当D与B重合时，E与C重合，可判断△BDE的面积与△ODE的面积的大小，从而判断②错误；由△OBD≌△OCE，得到四边形ODBE的面积=△OBC的面积，从而判断③正确；过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=

12x，DI=

32x．由BD=EC，BC=4，得到BE=4－x，IE=4−32x．在Rt△DIE中，由勾股定理得出关于DE的表达式，由△BDE的周长=BD+BE+DE=4+DE，当DE二、填空题13.【答案】8【考点】等边三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，旋转的性质【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC于M∵BD=1∴DC=4∴BC=BD∵△ABC∴AB=AC∵AM⊥BC∴BM=1∴DM=BM在Rt△ABM中，AM当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，AD+AE即此时AE取最小值，在Rt△ADM中，AD∴在Rt△ADG中，AG故答案为：8.【分析】过点A作AM⊥BC于M，由已知得出DC＝4，得出BC＝BD＋DC＝6，由等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC＝6，BM=12BC=12×6=3，由线段的和差得出DM＝BM−BD＝1，在Rt△ABM中，由勾股定理得出AM的长，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，AD＋AE＝DE，即此时AE取最小值，在Rt△14.【答案】5+53；4【考点】全等三角形的性质，三角形全等的判定，旋转的性质【解析】【解答】解：（1）作OP⊥CD，OQ⊥AM，∵∠AOQ+∠QOC=∠POC+QOC=90°，得∠AOQ=∠COP，又OA=OC，故△AOQ≌△COP，所以AQ=CP，AM=AQ+QM=OP+CP=5+53

。（2）在OE上取一点M，使OM=OE∵OE∥CD，∴∠E'OM=∠OCD=60∘，故△E'OM是等边三角形，得E'M=E'O，根据旋转图形的特点，∠BOB'=∠EFE'=60∘【分析】（1）要求AM的长度，∵AM是垂线段，可以联想到作垂线段，把AM分割，∵平行线间的垂线段相等，最后问题集中在求剩下的一段长度，由∠AOC=90°出发，构造三角形，证明全等即可。（2）根据旋转图形的特点，先理清旋转以后哪些线段相等，哪些是旋转角。本题关键是把B'E'-BE转化为15.【答案】132或3【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=12,CD=5,∴AD=13；在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=12,BC=CD+DB=18,∴AB=613；过点D作DM⊥AB于点M，∵AD=BD=13,∴AM=12在Rt△ADM中，∵AD=13,AM=313

,∴DM=213∵当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，∴半径为6的⊙P不可能与AC相切；当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，∴PE⊥BC,且PE=6，∵PE⊥BC，AC⊥BC,

∴PE∥AC,∴△ACD∽△PED，∴PE∶AC=PD∶AD,即6∶12=PD∶13,∴PD=6.5,∴AP=AD-PD=6.5;当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，∴PF⊥AB,且PF=6，∵PF⊥BA，DM⊥AB,∴DM∥PF,∴△APF∽△ADM，∴AP∶AD=PF∶DM即AP∶13=6∶213∴AP=313综上所述即可得出AP的长度为：13故答案为：13【分析】根据勾股定理算出AD,AB的长，过点D作DM⊥AB于点M，根据等腰三角形的三线合一得出AM的长，进而再根据勾股定理算出DM的长；然后分类讨论：当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，故半径为6的⊙P不可能与AC相切；当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，根据切线的性质得出PE⊥BC,且PE=6，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PE∥AC,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ACD∽△PED，根据相似三角形对应边成比例得出PE∶AC=PD∶AD,由比例式即可求出PD的长，进而即可算出AP的长；当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，根据切线的性质得出PF⊥BC,且PF=6，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出DM∥PF,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APF∽△ADM，根据相似三角形对应边成比例得出AP∶AD=PF∶DM,由比例式即可求出AP的长,综上所述即可得出答案。16.【答案】①③④【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例【解析】【解答】：①∵ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∴∠ACB+即∠BCE=在ΔBCE和ΔACD中，{BC=∴ΔBCE≌ΔACD∴AD=BE，∠ADC=∠BEC在ΔDMC和ΔENC中，{∠MDC∴ΔDMC≌ΔENC∴DM=EN，CM∴AD-DM=BE-EN②∵∠ABC=∴AB//CD∴∠BAF=∵∠AFB=∴ΔABF∽ΔDNF③∵∠AFB+∠ABF+∠∴∠AFB+∴∠AFB=∴∠MFN=∵∠MCN=∴∠FMC+④∵CM=CN，∠∴ΔMCN是等边三角形，∴∠MNC=∵∠DCE=∴MN//AE∴MNAC=∵CD=CE，MN∴MNAC=∴MNAC=1两边同时除MN得1AC=∴1MN=故答案为①③④

【分析】根据“SAS”可证△ACD≌△BCD，可得AD=BE，再根据"ASA"可证△DMC≌△ENC，可得DM=EN，CM=CN，利用等式性质可求出AM=BN，据此判断①；根据两角分别相等可证△ABF∽△DNF，据此判②；利用角的和差求出∠AFB=60°，继而可得∠MFN=120°，由∠MCN=60°，根据四边形的内角和等于360°可判断③；先求出△MCN是等边三角形，可得∠CNM=60°，从而判定MN∥AE，利用平行线分线段成比例定理可得MNAC=DNCD=CD-17.【答案】10-【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，计算器—三角函数，旋转的性质【解析】【解答】过点A作AH⊥DE，垂足为H，∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，∴DE=AD2+AE2=62∴AH=12DE=32，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30∴AF=AHcos∠∴CF=AC-AF=10-2故答案为：10-【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H。根据旋转的性质，△ABD与△ACE全等。故△DAE是等腰直角三角形，利用勾股定理得DE。根据等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边上中线的性质，求得AH。利用三角函数值计算，分析求出AF，从而求得CF。18.【答案】6-【考点】等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【解答】如图，过点A作AF⊥BC于F在RtΔABC中，∠B=45∴BC=2AB=22∵两个同样大小的含45°∴AD=在RtΔADF中，根据勾股定理得，DF=A∴CD=故答案为：6-2

【分析】先利用等腰三角形的性质求出BC，BF,和AF的长度，再利用勾股定理即可算出答案19.【答案】24+163【考点】三角形的面积，勾股定理的逆定理，旋转的性质【解析】【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP'=∠CAB=∴△BPP′为等边三角形，∴BP'由旋转的性质可知，AP'在△BPP′中，PP'=8，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S故答案为：24+16

【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知∠PBP'=∠CAB=60°，BP=BP'，根据等边三角形的判定可知△BPP′为等边三角形，根据等边三角形的性质可得BP'=BP=8=P三、解答题20.【答案】证明：∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

∴BF=CE，

在△ABF和△DCE中

{AB=DC∠B=∠CBF=CE

∴△ABF≌△DCE【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据等式的性质，由BE=CF，得出BF=CE，然后利用SAS判断出△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应角相等得出∠GEF=∠GFE，再由等角对等边得出结论：EG=FG。21.【答案】∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵DE⊥AB，DF⊥BC

∴∠DEA=∠DFC=Rt∠

∴D为AC的中点，

∴DA=DC

又∴DF=DF

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）

∴∠A=∠C．

∴∠A=∠B=∠C．

∴△ABC是等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定【解析】【分析】根据AB=AC，可得出∠B=∠C．根据垂直的定义，可证得∠DEA=∠DFC，根据中点的定义可得出DA=DC，即可证明Rt△ADE≌Rt△CDF，就可得出∠A=∠C．从而可证得∠A=∠B=∠C，即可求证结论。四、综合题22.【答案】（1）DF＝2CD.

；结论仍然成立.理由：如图2中，连接CF.延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G.∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠BDE＝90°，∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGH，∴∠CBD＝∠CAF，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝2CD

（2）解：如图3中，延长BD交AF于H.设BH交AC于G.∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵∠BDE＝90°，∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGH，∴∠CBD＝∠CAF，∵BDDE=∴BDAF=∴△CBD∽△CAF，∴CDCF=BCAC=2∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∵AD∥EF，∴∠ADC+∠DCF＝180°，∴∠ADC＝90°，∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，∴CF＝12CD＝2k∴EC＝EF﹣CF＝k，∴DE＝AF＝CD2∴AFCE【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】（1）①解：如图1中，连接CF.设AC交BF于G.∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠BDE＝90°，∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGF，∴∠CBD＝∠CAF，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝2CD.故答案为DF＝2CD.【分析】（1）①如图1中，连接CF.设AC交BF于G，根据平行四边形的性质得出AF＝DE，DE∥AF，进而找出AF=BD，根据平行线的性质得出∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，根据等角的余角相等得出∠CBD＝∠CAF，从而利用SAS判断出△BCD≌△ACF，根据全等三角形的性质得出∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题；

②结论仍然成立．如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．证明方法类似（1）；

（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G，首先判断出△CBD∽△CAF，根据相似三角形的性质得出CDCF=BCAC=2，∠BCD＝∠ACF，进而推出∠ADC＝90°，由CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，进而用含k的式子表示出23.【答案】（1）200

（2）PC＝PE，PC⊥PE；PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE.理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），∴BF＝DE，PE＝PF＝12EF∵DE＝AE，∴BF＝AE，∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，∴ED∥AC，EA∥BC∵FB∥AC，∠FBC＝90，∴∠CBF＝∠CAE，在△FBC和△EAC中，{BF=∴△FBC≌△EAC（SAS），∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°，∴△FCE是等腰直角三角形，∵EP＝FP，∴CP⊥EP，CP＝EP＝12；如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°同②可得△FBP≌△EDP（SAS），同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝22CE在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，∴HE＝12，AH＝32又∵AC＝AB＝3，∴CH＝3+32∴EC2＝CH2+HE2＝10+33∴PC2＝12【考点】全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形【解析】【解答】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，在△ABP和△DCP中，{BP=∴△ABP≌△DCP（SAS），∴DC＝AB.∵AB＝200米.∴CD＝200米，故答案为：200.（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE.理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），∴PF＝P