切线的判定与性质

切线的判定与性质第1页，共33页，2023年，2月20日，星期日直线与圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数

公共点名称

直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d<rd=rd>r没有回顾：第2页，共33页，2023年，2月20日，星期日图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？探究：Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。第3页，共33页，2023年，2月20日，星期日（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？（3）由此你发现了什么？

O请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考：lA操作与观察：第4页，共33页，2023年，2月20日，星期日切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

对定理的理解：切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．AOl第5页，共33页，2023年，2月20日，星期日Orl

A∵OA是半径，l

⊥OA于A∴l是⊙O的切线定理的数学语言表达：第6页，共33页，2023年，2月20日，星期日(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A．

则:直线l与⊙O相切这样我们就得到了从“位置”的角度圆的切线的判定方法——切线的判定定理．AOl发现：第7页，共33页，2023年，2月20日，星期日

利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画⊙O的切线吗？讨论交流：OP第8页，共33页，2023年，2月20日，星期日1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA巩固：两个条件缺一不可第9页，共33页，2023年，2月20日，星期日切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？

归纳：第10页，共33页，2023年，2月20日，星期日例1如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC

分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。例题：有交点，连半径，证垂直第11页，共33页，2023年，2月20日，星期日例2如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED无交点，作垂直，证半径第12页，共33页，2023年，2月20日，星期日OBACOABCED归纳：例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.第13页，共33页，2023年，2月20日，星期日1、如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．AODECB证明：连接OD．∵BD＝CD，OA=OB,∴OD是△ABC的中位线.∴OD//AC.又∵

∠DEC＝90°,∴∠ODE＝90°.又∵

D在圆周上,∴DE是⊙O的切线.巩固：有交点，连半径，证垂直第14页，共33页，2023年，2月20日，星期日2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.FECOBA巩固：无交点，作垂直，证半径第15页，共33页，2023年，2月20日，星期日3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.ABCDO有交点，连半径，证垂直第16页，共33页，2023年，2月20日，星期日4、如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO

∴∠CAD＝∠CAO

,故AC平分∠DAB．第17页，共33页，2023年，2月20日，星期日5．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线.

分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，再证明DE⊥OD.第18页，共33页，2023年，2月20日，星期日6．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC/2，E和F分别为AB和AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切.

分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证明OH等于直径EF的一半.H第19页，共33页，2023年，2月20日，星期日7．如图(3)，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝PB·PC，求证：PA是⊙O的切线.分析：∵PA过⊙O上一点A，要证PA为切线，只要证PA⊥AO，为此，作直径AD，并连结CD，只要证PA⊥AD即可.第20页，共33页，2023年，2月20日，星期日如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？探究：OAl第21页，共33页，2023年，2月20日，星期日如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是垂直呢？AOL分析：假设OA与L不垂直，过点作OM⊥L，垂足为M。根据垂线段最短的性质，有OM﹤OA，这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆相交，而这与直线L是圆O的切线相矛盾。因此，OA与直线L垂直。AOLM第22页，共33页，2023年，2月20日，星期日切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。归纳：OAl∵l是⊙O的切线，切点为A∴l

⊥OA第23页，共33页，2023年，2月20日，星期日①过半径外端;②垂直于这条半径.切线①圆的切线;②过切点的半径.切线垂直于半径切线判定定理：切线性质定理：比较：OAl第24页，共33页，2023年，2月20日，星期日例3、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，两切线相交于点P,若∠P=420，求∠ACB的度数。BPCAOPCBCAO‘mm例题：第25页，共33页，2023年，2月20日，星期日1、如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？巩固：注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。第26页，共33页，2023年，2月20日，星期日2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）

A、600

B、1200

C、600或1200

D、1400或600BPCAO第27页，共33页，2023年，2月20日，星期日练习与巩固：2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___

_度.

1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）A.70°B.35°C.20° D.10°OABC（2）（1）3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2,0B=6，⊙O与AB相切于点A,则⊙O的直径为

。OAB（3）第28页，共33页，2023年，2月20日，星期日4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是优弧上的一点,则∠ACB=___.5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（）A. B. C.10 D.5

（5）（4）辅助线的作法：作过切点的半径第29页，共33页，2023年，2月20日，星期日变式一：在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BC的长为

。ABC6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D，则BD的长为

。ABCD变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点B，且AB=2，弦BC∥OA，则BC的长为

。AOBC第30页，共33页，2023年，2月20日，星期日7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。AOBCD（7）8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。AOBCD（8）第31页，共33页，2023年，2月20日，星期日小结：1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：

(1)根据切线定义判定