典型方程和定解条件的推导

典型方程和定解条件的推导第1页，共28页，2023年，2月20日，星期日第一章一些典型方程和定解条件的推导§1.1基本方程（泛定方程）的建立

物理模型（现象、过程）数学形式表述（偏微分方程并求解）目的：掌握基本分析方法，培养归纳、综合、抽象、猜测、试探、演绎的科学素质。步骤：（1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化简整理，得到偏微分方程。

数学物理方程与特殊函数不含初始条件不含边界条件第2页，共28页，2023年，2月20日，星期日物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振动：虽然经典，但极具启发性。数学物理方程与特殊函数一.均匀弦的横振动方程的建立第3页，共28页，2023年，2月20日，星期日X1、建立坐标系选定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）TT’3、忽略与近似4、整理化简T、T’——微元两端所受张力——细弦的线密度（单位长度内的质量g——重力加速度数学物理方程与特殊函数第4页，共28页，2023年，2月20日，星期日X1、建立坐标系选定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）TT’数学物理方程与特殊函数(1)(2)第5页，共28页，2023年，2月20日，星期日3、忽略与近似(1)(2)dsMNM'N’TT’uoxx+dx对于小振动：所以有：第6页，共28页，2023年，2月20日，星期日3、忽略与近似(1)(2)对于小振动：所以有：于是（1）式变为：（2）式变为：一般说来，将g略去。第7页，共28页，2023年，2月20日，星期日3、忽略与近似于是（1）式变为：（2）式变为：一般说来，将g略去，得考虑到角度很小，近似地与u无关：于是左下角式变为：第8页，共28页，2023年，2月20日，星期日3、忽略与近似上式实际上可以明确表示为：这里表示：自变量由x增加到x+dx时，函数的增量。既然dx很小，这个这个增量不妨用微分带代替。令，于是有：一维波动方程第9页，共28页，2023年，2月20日，星期日+–LLCC＋－+-●●二.传输线方程(电报方程)的建立物理状态描述:对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出：同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G表示。1、建立坐标系选定微元2、微元的电路方程数学物理方程与特殊函数P——电路的节点时刻t电路中的瞬时电流第10页，共28页，2023年，2月20日，星期日数学物理方程与特殊函数电容元件：电感元件：换路定理:在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。电路准备知识第11页，共28页，2023年，2月20日，星期日+–LLCC＋－+-●●二.传输线方程(电报方程)的建立与同学们商榷的几个问题：（P4-5）（1）设某时刻t，输入与输出端的对应关系是否合理?（2）电流作为初始条件，在流经电感时是否要变化？（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5.-1.5式）？1、建立坐标系选定微元2、微元的电路方程数学物理方程与特殊函数P——电路的节点？时刻t电路中的瞬时电流“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即第12页，共28页，2023年，2月20日，星期日梁昆淼先生的做法：

“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以R，L，C，G。于是亦即亦即将作用于第一式,作用于第二式,两结果相减,就消去了而得的方程同理,消去,得到的方程第13页，共28页，2023年，2月20日，星期日二.传输线方程(电报方程)的建立设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻R、电感L、电容C和电导G是按单位长度计算其对应的物理量，并且在x+dx范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为dx.数学物理方程与特殊函数设某时刻t，对应关系如下：左端：；右端:+–LLCC＋－+-输入端输出端第14页，共28页，2023年，2月20日，星期日+–LLCC＋－+-数学物理方程与特殊函数由基尔霍夫电压定律:由基尔霍夫电流定律:电容上的电流：电感上的电压：流入流出第15页，共28页，2023年，2月20日，星期日+–LLCC＋－+-数学物理方程与特殊函数由基尔霍夫电压定律:由基尔霍夫电流定律:电容上的电流：电感上的电压：，整理后得到：，略去高阶无穷小量得：第16页，共28页，2023年，2月20日，星期日由基尔霍夫电压定律:由基尔霍夫电流定律:(1.4)(1.5)联立上述两个方程（代入消元法），注意假定与都对是二次连续可微的，即可得到：数学物理方程与特殊函数第17页，共28页，2023年，2月20日，星期日例3.电磁场方程基本电磁场量场的物质方程Maxwell方程电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度介质的介电常数导磁率导电率传导电流的面密度电荷的体密度Vectordifferenceoperator第18页，共28页，2023年，2月20日，星期日目标:利用上述关系,分别解出、。由将代入上式，得对上式两边求旋度，得再将代入上式，得这是一个关于磁场强度的二阶微分方程第19页，共28页，2023年，2月20日，星期日为进一步化简，利用Hamilton算子的运算性质将代入上式，得磁场强度、磁感应强度的散度为零。如法炮制，可得关于电场强度的方程如果介质不导电（σ=0），上述方程简化为：三维波动方程第20页，共28页，2023年，2月20日，星期日目标:建立关于电位u的方程由电感应强度与电场强度的定义知：（电荷体密度）而电场强度与电位之间的关系，由下式确定由此可得：依据Hamilton算子的运算性质：这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程若静电场是无源的，即，上式又可写成这个齐次方程称为拉普拉斯（Laplace）方程上式可写成第21页，共28页，2023年，2月20日，星期日例4.热传导方程物理模型:均匀且各向同性的导热体,在传热过程中所满足的微分方程.研究对象:热场中任一闭曲面S,体积为V,热场V(体积)S(闭曲面)t时刻,V内任一点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t).●M曲面元ds的法向(从V内V外)ds物理规律:由热学的(Fourier)实验可知:dt时间之内,流经面元ds的热量dQ,与——时间dt成正比；曲面面积ds成正比；温度u沿曲面法方向的方向导数成正比。数学表述为：第22页，共28页，2023年，2月20日，星期日●MdsV(体积)S(闭曲面)热场数学表述为：——k=k(x,y,z).物体的传热系数,各向均匀且同性时为常数.“-”号,表示热量流动的方向,与温度梯度的正方向(gradu)相反.从t1t2,通过曲面元S,流入区域V的热量为必然等于V内各点所吸收的热量(热量守恒)问题:上面数学表述中的“-”，为何不见了？上式中的，在热学中的意义？第23页，共28页，2023年，2月20日，星期日数学处理：由于S为闭曲面，假设u(x,y,z)具有一阶连续偏导数,那么依据奥斯特罗—格拉德斯基公式因此有：第24页，共28页，2023年，2月20日，星期日由于[t1,t2]以及区域V的任意性,且被积函数为连续,因此有若令:,那么上述方程可写为三维热传导方程第25页，共28页，2023年，2月20日，星期日讨论:(1).若V内有热源,强度为F(x,y,z,t),则热传导方程为其中(2).若导热体为一根细杆,则(3).若导热体为一薄片,则第26页，共28页，2023年，2月20日，星期日(4).若热场为一稳恒场(温度趋于平衡状态),则与之对应有稳恒温度场内的温度满足Laplace方程.(5).在