逆矩阵与二元一次方程组

导入新课在解析几何中,二元一次方程组的解的意义是什么?直角坐标系xOy内相应的两条直线交点的坐标.线性变换的表达式形式与二元一次方程组有很多相似的地方,能否从线性变换的角度来解释二元一次方程组的解的意义呢?.3.3逆矩阵与二元一次方程组二元一次方程组的矩阵形式逆矩阵与二元一次方程组.学习重难点用变换的观点认识解二元一次方程组的意义,会用系数矩阵的逆矩阵解系数矩阵可逆的二元一次方程组..二元一次方程组的矩阵形式例1向量形式:二元一次方程组:①.由矩阵与向量乘法的定义得:∴原方程组①变成:.由例1→一般情况关于变量x,y的二元一次方程组为:则它可以写成矩阵的形式:矩阵A=称为二元一次方程组②的系数矩阵.③式称为二元一次方程组②的矩阵形式.②③.探究1二元一次方程组的系数矩阵对应着一个线性变换,试从线性变换的角度揭示解二元一次方程组的意义..以例1为例二元一次方程组①的系数矩阵对应的线性变换为旋转变换:.∴解二元一次方程组①就是找到向量使得它在该旋转变换下变为向量.举一反三对于一般的二元一次方程组②以线性变换的角度看,可表述为:线性变换平面上一个确定的向量已知:要找到一个向量使得它在ρ的作用下变为已知向量.注意在实际操作中,若线性变换ρ的意义不明显或不为我们所知,那么就很难找到向量,使得引入定义二元一次方程组②的解写成向量的形式,称这种形式的解为二元一次方程组②的解向量..逆矩阵与二元一次方程组探究2如果二元一次方程组的系数矩阵可逆,能用逆矩阵来解方程组么?.以例1为例二元一次方程组①的系数矩阵可逆从线性变换的角度,解方程组①就是找出向量使得它在旋转变换作用下的结果为给定的向量.即:向量按逆时针绕原点旋转30°后得到向量;向量可以看成把向量按顺时针绕原点旋转30°后得到.即:.∴二元一次方程组①一定有解,且解为:.∵二元一次方程组①的任意一个解向量都满足:∴由几何上易看出:二元一次方程组①的解是唯一的..定理若关于变量x,y的二元一次方程组（线性方程组）:的系数矩阵A=可逆，则方程组有唯一解－1.证明：当A=可逆,由二元一次方程组的矩阵形式:A=得：A－1A=A－1∴E2=

A－1.∴原方程组有解：－1下证唯一性：设,是原方程组的任意两个解,由上面的证明过程可得:A－1A－1.∴=,即二元一次方程组的解是唯一的..推论关于变量x,y的二元一次方程组其中a,b,c,d是不全为零的常数,有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式=0..注意：常数项都为零的线性方程组为齐次线性方程组,是其中一个解,称为零解.若向量（,不全为零）是该方程组的解向量,则称之为一个非零解..课堂练习1.关于变量x,y的二元一次方程组其中λ,μ为常数,求当λ和μ满足什么条件时,原方程组有非零解?.解：由推论可得:当系数行列式=0时,原方程组由非零解.

即:当2－λμ=0时,方程组有非零解.∴λμ=2..2.用逆矩阵解二元一次方程组解：二元一次方程组的系数矩阵A=则该方程组的矩阵形式：.∴系数矩阵A=可逆∴方程组有唯一解＝Ａ－１

∵Ａ－１＝＝－１∴∴原方程组的解是.教材