高职单招考试数学总复习

第一章

集合与简易逻辑复习指南1.了解集合的意义及其表示方法，了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解集合与集合、元素与集合的关系符号，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系.2.理解命题、量词、充分条件、必要条件、充分必要条件的概念.命题探究

本章是每年考试的必考内容，也是比较容易得分的知识点.集合在近几年考试中主要从三个方面考查：一是考查集合的概念、集合的基本关系及常用数集的符号表示；二是考查集合的基本运算，命题常以两个集合的交集、并集和补集运算为主，多与绝对值、不等式等相结合；三是考查命题、量词等概念，充分条件、必要条件和冲要条件的判断，多与函数等相结合.知识结构目录第二节

集合的运算第一节

集合的概念与集合之间的关系第三节

简易逻辑§第一节

集合的概念与集合之间的关系

知识清单知识点一集合的概念与表示法

知识清单知识点一集合的概念与表示法5.集合的两种表示法（1）列举法将集合的元素一一列出，写在大括号内，这种表示集合的方法叫作列举法.注意：用列举法表示集合时，要注意以下几点：（1）元素之间用逗号“，”隔开.（2）元素不能重复（满足集合中元素的互异性）.（3）元素不能遗漏.（4）当集合中的元素较少时，用列举法比较简单；当集合中的元素较多或无限，但存在一定的规律时，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.知识清单知识点一集合的概念与表示法5.集合的两种表示法（2）描述法用集合所含元素的共同特性表示集合的方法叫作描述法.描述法表示集合的一般形式是{x|p(x)}，其中“x”是集合中元素的代表形式，“p(x)”是集合中元素的共同特征，两者之间的竖线不可省略.知识清单知识点一集合的概念与表示法5.集合的两种表示法注意：用描述法表示集合时，要注意以下几点：（1）写清楚集合中元素的代表形式（一般用小写字母表示）.（2）写明集合中元素的特征或性质.（3）用于描述元素特征的语句要力求简明、准确，不产生歧义；多层描述时，应当准确使用“且”“或”等关联词.（4）所有描述的内容都要写在大括号内.（5）在不引起混淆的情况下，用描述法表示集合有时也可以省去竖线和竖线左边的部分.例如，正整数的集合可简记为{正整数}，但是集合{x|x>1}就不能省略竖线及其左边的“x”.知识清单知识点一集合的概念与表示法

知识清单知识点二集合间的关系2.真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则集合A是集合B的真子集（A包含于B但不等于B），记作A⫋B或B⫌A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.性质：空集是任何非空集合的真子集；对于集合A，B，C，若A⫋B，B⫋C，则A⫋C.注意：元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系.知识清单知识点二集合间的关系3.集合相等一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B中的任何一个元素也都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（A，B的所有元素均相同）.注意：（1）若两个集合相等，则两个集合所包含的元素完全相同，反之亦然.（2）要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，主要看它们的元素是否完全相同；若是无限集合，则从“互为子集”入手进行判断.若A⊆B，且B⊆A，则A=B.知识清单知识点二集合间的关系例典例精析解析：（1）“我国著名的数学家”不是一个明确的标准，不能构成一个集合；（3）中的“矮个子学生”这一标准也不确定，不能构成集合；（4）中的对象是确定的；（2）（5）中的对象虽然有无限个，但它是确定的.故选C.点拨：判断某组对象能否构成集合，关键看对象是否为整体的和确定的.标准一定要是明确的，不能模糊，否则无法判断.例1

在下列每组对象中，能构成集合的是

（

）（1）我国著名的数学家；

（2）超过20的所有自然数；（3）某校2020年招收的矮个子学生；

（4）方程x2-4=0的实数解；（5）在直角坐标平面内，第三象限的所有点.A.（1）（2）（3）

B.（2）（3）（4）C.（2）（4）（5）

D.（3）（4）（5）典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第二节

集合的运算

知识清单知识点一集合的交集

知识清单知识点二集合的并集3.图示两个集合的交集、并集（1）用Venn图表示两个集合的交集、并集（图1-1）.（2）借助数轴表示数集的交集、并集（图1-2）.知识清单知识点二集合的并集

知识清单知识点三集合的补集典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第三节

简易逻辑在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题.正确的命题叫作真命题，记作T；错误的命题叫作假命题，记作F，T和F叫作命题的真值(有的书上用1和0作为命题的真值).p与q为等值的命题记作p=q.知识清单知识点一命题的定义1.量词常用的量词有全称量词和存在量词，用符号表示分别为∀和∃.含有全称量词的命题为全称命题；含有存在量词的命题为存在性命题.2.逻辑联结词常用的逻辑联结词有“且”“或”“非”，符号分别为“∧”“∨”“﹁”.知识清单知识点二量词及逻辑联结词知识清单知识点二量词及逻辑联结词3.常见的四种复合命题真值表（表1-1）

知识清单知识点三充要条件的相关知识

知识清单知识点三充要条件的相关知识

知识清单知识点三充要条件的相关知识

知识清单知识点三充要条件的相关知识典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析第二章

不等式复习指南考纲要求1.了解不等式的性质.2.会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，会解一元二次不等式，会表示不等式或不等式组的解集.3.会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式.4.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.5.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并会运用.命题探究考纲要求

不等式主要从三个方面进行考查:一是考查不等式的基本性质;二是考查一元一次不等式组、一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解法，会用集合、区间表示不等式的解集；三是考查线性规划问题.其考查的知识点主要集中在以下五点：

（1）作差法是比较两个实数或代数式大小的基本方法.

（2）不等式的性质是不等式解法的基础，是常考的知识点之一.

（3）注意区间端点值的取舍，关注区间与集合运算的综合性问题.

（4）对于形如(ax+b)(cx+d)>0(a>0,c>0)的一元二次不等式的解法,要准确把握考纲的要求.

（5）对于线性规划问题的考查，要注意用数形结合的方法解题.知识结构目录第二节

一元一次不等式(组)第一节

不等式的基本性质第三节

一元二次不等式第四节

含绝对值的不等式第五节

简单的线性规划§第一节

不等式的基本性质1.不等式的定义表示不等关系的式子叫作不等式，满足不等式的未知数的取值的集合叫作不等式的解集.知识清单知识点一不等式的基本性质

知识清单知识点一不等式的基本性质（4）乘法性质：a>b,c>0⇒ac>bc；a>b,c<0⇒ac<bc.推论：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.推论：a>b,ab>0⇒<.（5）可乘方性：a>b>0⇒an>bn（n∈N+）.（6）可开方性：a>b>0⇒

>

（n∈N且n≥2）.知识清单知识点一不等式的基本性质

知识清单知识点二不等式的证明3.综合法综合法是指利用某些已知的不等式和不等式的性质,结合已知条件证明不等式的方法.常用的不等式如下:.（1）（a-b）2≥0（当且仅当a=b时取等号）.（2）若a>0,b>0，则

（当且仅当a=b时取等号）.（3）若ab>0，则

知识清单知识点二不等式的证明1.有限区间设a,b∈R，且a＜b，则：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫作闭区间，表示为［a，b］.（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫作开区间，表示为（a，b）.（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫作半开半闭区间，分别表示为［a，b）和（a，b］.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，用实心点表示包括区间端点在内的端点，用空心点表示不包括区间端点在内的端点，见表2-1.知识清单知识点三区间知识清单知识点三区间

知识清单知识点三区间例典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第二节

一元一次不等式(组)1.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式不等式，叫作一元一次不等式.ax<b或ax>b或ax≤b或ax≥b（a≠0）叫作一元一次不等式的标准形式.ax<b或ax>b或ax≤b或ax≥b(a≠0)叫作一元一次不等式的标准形式.2.解一元一次不等式具体步骤为：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.知识清单3.解一元一次不等式组一般地，几个一元一次不等式的解集的交集叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集.解一元一次不等式组的一般步骤如下：(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集.(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集.注意：（1）利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点.（2）若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.知识清单知识清单4.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况见表2-2典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第三节

一元二次不等式1.一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式.例如，x2-5x<0.任意的一元二次不等式总可以化为一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a>0）.知识清单2.一般一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a>0）的解集可以联系二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图像，图像在x轴上方部分对应的横坐标x值的集合为不等式ax2+bx+c>0的解集，图像在x轴下方部分对应的横坐标x值的集合为不等式ax2+bx+c<0的解集.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的两根为x1,x2，且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则相应的不等式的解集的各种情况见表2-3.知识清单知识清单注意：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2是相应的一元二次不等式的解集的端点取值，是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标.（2）表2-3中不等式的二次项系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质将其转化为二次项系数为正的形式，然后再讨论解决.3.解一元二次不等式（1）看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数.（2）写出相应的方程ax2+bx+c=0（a>0），计算判别式Δ.①当Δ>0时，求出两根x1，x2，且x1<x2（注意灵活运用因式分解法和配方法）.②当Δ=0时，两根x1=x2=

.③当Δ<0时，方程无解.（3）根据不等式，写出解集.知识清单典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第四节

含绝对值的不等式1.绝对值的定义（1）代数意义：一个数的绝对值是非负数，即

（2）几何意义：一个数的绝对值|a|表示这个数a在数轴上对应的点到原点的距离.知识清单

知识清单典例精析典例精析典例精析典例精析§第五节

简单的线性规划1.线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题.2.线性约束条件由关于x,y的不等式（或方程）组成的不等式组称为x,y的约束条件.关于x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组称为x,y的线性约束条件.3.线性目标函数需求最大（小）值的函数称为目标函数；当目标函数是关于变量x,y的一次解析式时，又称为线性目标函数.知识清单知识点一线性规划直线l：Ax+By+C=0将直角坐标平面内不在l上的点分为两部分，那么直线l的法向量n=（A,B）指向的那一侧半平面内的所有点的坐标，满足不等式Ax+By+C>0;而在l另一侧的半平面内的所有点的坐标，满足不等式Ax+By+C<0.在求二元一次不等式表示的区域时，还可以用试点法.在直线的某一侧任取一点，若其坐标满足这个不等式，则该点所在的这一侧区域是所求的区域，否则直线的另一侧是所求的区域.非严格不等式Ax+By+C≤0包含直线Ax+By+C=0，即有等号时画实线，无等号时画虚线.知识清单知识点二二元一次不等式表示的区域一般地，满足线性约束条件的解（x,y）叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域.在可行域中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作这个问题的最优解.线性规划图解法的步骤：（1）根据题意，设出变量x,y；（2）找出线性约束条件；（3）确定目标函数；（4）画出可行域；（5）利用线性目标函数作出平行直线系f（x,y）=t；（6）观察图形，找出直线f（x,y）=t在可行域上使t取得最值的位置，确定最优解，给出答案.知识清单知识点三线性规划问题的图解法及应用典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析第三章

函

数复习指南1.理解函数的概念，会求一些常见函数的定义域.2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性.3.理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图像和性质，会求它们的解析式.4.理解二次函数的概念，掌握它的图像和性质，会求二次函数的解析式及最大值或最小值，能运用二次函数的知识解决有关问题.命题探究

本章内容一直是考查的重点，其考查的知识点主要集中在以下三点：

（1）函数的定义，函数的三种表示法，求简单函数的定义域、函数值.

（2）单调函数、奇偶函数的概念和图像特点，会判断简单函数的奇偶性、单调性，并应用单调性、奇偶性求值，比较函数值的大小.

（3）通过实际应用问题，建立函数关系式，综合应用二次函数的图像、性质以及方程、不等式等知识解决.知识结构目录第二节

函数的性质第一节

函数的概念及表示法第三节

常用初等函数及函数的实际应用§第一节

函数的概念及其表示法如果在一个变化过程中有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则，都有唯一确定的y值与它对应,那么y就是x的函数,x叫作自变量,x的取值范围叫作函数的定义域,各x的值对应的y的值叫作函数值,函数值的集合叫作值域（我们称用变量叙述的定义为函数的传统定义）.函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,数集B={f（x）|x∈A}为值域.定义域、对应法则、值域构成了函数的三要素.知识清单知识点一函数的概念1.解析法如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式来表达的，这种表示f（x）的方法叫作解析法，这个代数式叫作函数的解析表达式，简称解析式.2.列表法通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫作列表法.知识清单知识点二函数表示的方法3.图像法如果图形F是函数y=f（x）的图像,则图像上的任一点的坐标（x,y）都满足函数的关系式y=f（x），反之，满足函数关系式y=f（x）的点（x,y）都在图像F上.这种由图形表示函数的方法叫作图像法.知识清单知识点二函数表示的方法对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.知识清单知识点三分段函数若y是u的函数，u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x），x∈（a,b），u∈（m,n），那么y关于x的函数y=f[g（x）]，x∈（a,b）叫作f和g的复合函数，u叫作中间变量，u的取值范围是g（x）的值域.知识清单知识点四复合函数1.函数的解析式的概念如果把两个变量之间的函数关系用一个等式来表示，那么这个数学式子就叫作函数的解析式.知识清单知识点五函数的解析式2.求函数的解析式的常用方法（1）配凑法:应用配凑法的关键是从解析式的结构入手，把括号里的代数式看作一个整体，把表达式配凑成整体的形式.（2）换元法:若已知表达式f[g（x）]，则常用换元法求f（x），换元法的关键是设g（x）=t，用t把x表示出来，代入f[g（x）]的解析式得f（t），再把t换成x即可（注意新元的取值范围）.（3）待定系数法:已知函数模型时，常用待定系数法求解析式.（4）消去法:用消去法求函数解析式，就是将所求解析式作为整体，采用构造方程的方法，通过解方程组得出f（x）的表达式.知识清单知识点五函数的解析式1.函数定义域的含义如无特别说明,函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.2.函数定义域的求法（已知函数解析式,求定义域）（1）整式形式的函数，定义域是实数集.（2）分式形式的函数,分母不等于零;偶次根式被开方数非负;x0中的底数x不等于零.（3）分段函数的定义域是各段中x取值的并集;若f（x）是由多个部分的式子构成的,则函数的定义域是使各部分有意义的集合的交集.（4）若f（x）的定义域为[a,b],则其复合函数f[g（x）]的定义域由a≤g（x）≤b解出.知识清单知识点六函数的定义域1.函数值域的含义函数的值域取决于函数的定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域.知识清单知识点七函数的值域2.求函数值域的常用方法（1）配方法:求二次函数值域最基本的方法，形如F（x）=af2（x）+bf（x）+c（a≠0）的函数的值域问题，均可用配方法.（2）分离常数法:形如

的函数的值域为

（3）换元法:运用代数或三角代换，将所给函数转化成容易求值域的另一个函数，从而求得原函数的值域.形如

（a,b,c,d均为常数）的函数的值域问题，均可用此方法.知识清单知识点七函数的值域3.常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的值域为R.（2）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，值域为当a<0时，值域为（3）反比例函数

的值域为{y∈R|y≠0}.知识清单知识点七函数的值域典例精析典例解析典例精析典例解析典例精析典例精析典例解析典例精析典例解析典例解析典例精析典例解析§第二节

函数的性质1.函数单调性的概念如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1,x2，当x1<x2时，有f（x1）<f（x2），那么函数f（x）在此区间上单调递增（增函数）；当x1<x2时，有f（x1）>f（x2），那么函数f（x）在此区间上单调递减（减函数）.如果函数f（x）在某个区间上是增函数或减函数，就说f（x）在此区间上具有单调性，这个区间叫作单调区间.知识清单知识点一函数的单调性2.单调函数的图像增函数的图像从左往右呈上升趋势，减函数的图像从左往右呈下降趋势.3.函数单调性证明的一般过程（1）在指定区间内任取两个自变量的值x1,x2,且x1<x2.（2）作差f（x1）-f（x2），通过因式分解、配方或有理化等手段对差进行变形.（3）判断f（x1）-f（x2）的符号，由定义得出函数的单调性.知识清单知识点一函数的单调性4.复合函数的单调性这些结论可概括为“同增异减”.知识清单知识点一函数的单调性1.轴对称和中心对称的图形一般地，设点P(a，b)为平面上任意一点，则点P(a，b)关于x轴的对称点的坐标为(a，-b)，点P(a，b)关于y轴的对称点的坐标为(-a，b)，点P(a，b)关于原点的对称点的坐标为(-a,-b).结论：关于谁，谁不变；关于原点都改变.对于函数图像，我们有如下的结论：(1)如果函数图像上任意一点P关于原点的对称点P′也在函数的图像上，那么，函数图像关于原点对称，原点O称为这个函数图像的对称中心.(2)如果函数图像上任意一点P关于y轴的对称点P′也在函数的图像上，那么，函数图像关于y轴对称，y轴称为这个函数图像的对称轴.知识清单知识点二函数的奇偶性2.函数奇偶性的定义(1)奇函数：如果对于函数f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)，则这个函数叫作奇函数.(2)偶函数：如果对于函数f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x)，则这个函数叫作偶函数.(3)如果f(x)是奇函数或偶函数，我们就说f(x)具有奇偶性.知识清单知识点二函数的奇偶性3.奇函数和偶函数的性质(1)若y=f(x)是奇函数，则f(x)的图像关于原点对称；若y=f(x)是偶函数，则f(x)的图像关于y轴对称.(2)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.(3)奇函数在其对称的单调区间上具有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间上具有相反的单调性.知识清单知识点二函数的奇偶性4.奇偶函数的判定(1)检查函数的定义域是否关于原点对称.若定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再考察函数值的关系.(2)判断函数奇偶性的方法.①定义法：若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)为偶函数.②图像法：若函数f(x)的图像关于原点对称，则f（x）为奇函数；若函数f(x)的图像关于y轴对称，则f（x）为偶函数.知识清单知识点二函数的奇偶性5.待定系数法(1)定义.一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写成一般的形式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间的关系式的方法称为待定系数法.(2)一般过程.首先确定所求问题含待定系数的函数解析式；其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程(组)；最后解方程(组)或消去待定系数.知识清单知识点二函数的奇偶性

知识清单知识点二函数的奇偶性（1）y=f（－x）与y=f（x）的图像关于y轴对称.（2）y=－f（x）与y=f（x）的图像关于x轴对称.（3）y=-f（-x）与y=f（x）的图像关于原点对称.（4）若函数f(x)（x∈R）满足f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)图像的对称轴方程是（5）若函数f(x)（x∈R）满足f(x-a)=f(b-x)，则函数f(x)图像的对称轴方程是知识清单知识点三函数图像的对称性典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第三节

常用初等函数及函数的实际应用知识清单知识点一正比例函数1.正比例函数的表达式y=kx（k≠0）知识清单知识点一正比例函数2.正比例函数的图像和性质（表3-2）知识清单知识点二反比例函数1.反比例函数的表达式知识清单知识点二反比例函数2.反比例函数的图像和性质（表3-3）知识清单知识点三一元一次函数1.一元一次函数的表达式知识清单知识点三一元一次函数2.一元一次函数的图像和性质（表3-4）知识清单知识点四一元二次函数1.一元二次函数的表达式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）.（2）顶点式：y=a（x－h）2+k（a≠0)，顶点是（h，k）.（3）两根式：y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0)，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根.知识清单知识点四一元二次函数2.一元二次函数的图像和性质（表3-5）1.应用问题应用问题是指有实际背景和实际意义的数学问题（常常涉及反映两个变量依存关系的问题）.2.数学模型数学模型是指把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或模拟实际问题，它可以是几何图形、方程、解析式等.知识清单知识点五函数的实际应用3.解答函数应用题的一般步骤（1）审题:理解题意，把握数学本质.（2）建模:分析题中的数量关系，建立相应的数学问题，将应用问题转化为数学问题.（3）解模:用数学知识与方法解决转化了的数学问题.（4）检验：回到应用问题，检验结果的实际意义，给出答案.知识清单知识点五函数的实际应用典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析第四章

指数函数与对数函数复习指南1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质.命题探究

本章内容一直是考查的重点.其考查的知识点主要集中在以下四点：

（1）熟练利用实数指数幂与对数的运算法则进行化简和求值,熟练掌握根式与分数指数幂的互化公式、指数式与对数式的互化公式，即

（2）幂函数、指数函数和对数函数的概念及其区别与联系是考点之一.

（3）指数函数和对数函数是常考内容,以考查它们的图像、性质为主,性质又以单调性为主.

（4）准确把握求对数函数定义域的要求.知识结构目录第二节

指数函数第一节

实数指数幂第三节

对数第四节

对数函数§第一节

实数指数幂知识清单1.定义知识点一指数幂的性质与运算知识清单2.有理数指数幂的性质知识点一指数幂的性质与运算知识清单3.根式知识点一指数幂的性质与运算

1.幂函数的概念形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数.知识清单知识点二幂函数2.幂函数的性质(1)图像分布：幂函数图像分布在第一、二、三象限，第四象限无图像.幂函数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称)；是奇函数时，图像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图像只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图像都经过点(1，1).(3)单调性：如果α>0，则幂函数的图像过原点，并且在（0，+∞)上为增函数.如果α<0，则幂函数的图像在(0，+∞)上为减函数，在第一象限内，图像无限接近x轴与y轴.知识清单知识点二幂函数

知识清单知识点二幂函数知识梳理知识梳理知识梳理典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第二节

指数函数1.指数函数的概念一般地，形如y=ax（a＞0且a≠1）的函数叫作指数函数，其中x是自变量，x∈R.2.指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质见表4-2.知识清单知识点一指数函数的概念与性质知识清单1.指数方程的定义在指数里含有未知数的方程叫作指数方程.2.一些特殊指数方程的解法（1）形如af（x）=ag（x）（a＞0且a≠1）的方程，一般可用指数的性质化成普通方程f（x）=g（x）去求解.（2）形如f（ax）=0（a＞0且a≠1）的方程，可以采用换元的方法设ax=t（t＞0），解方程f（t）=0，求出t，得到ax=t（t＞0）的方程，两边取对数进一步求解.知识清单知识点二指数方程典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第三节

对

数1.对数的概念如果ab=N（a>0且a≠1），则b叫作以a为底N的对数，记作b=logaN（a>0且a≠1,N>0）.2.对数与指数的关系知识清单知识点一对数1.常用对数的概念以10为底的对数叫作常用对数，记作：lgN,即log10N.2.自然对数的概念以无理数e（e=2.71828…）为底的对数叫作自然对数，记作lnN,即logeN（e=2.71828…）.知识清单知识点二常用对数与自然对数1.对数的性质(logaN,a>0且a≠1)（1）loga1=0（1的对数总是0）.（2）logaa=1（底的对数总是1）.（3）真数N＞0（零和负数没有对数）.知识清单知识点三对数的性质及运算法则2.对数的运算法则如果a>0，a≠1,M>0,N>0,那么知识清单知识点三对数的性质及运算法则典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第四节

对数函数1.对数函数的概念一般地，函数y=logax（a＞0且a≠1，x＞0）叫作对数函数.2.对数函数的图像和性质（1）对数函数的图像和性质见表4-3知识清单知识点一对数函数的概念知识清单2.对数函数的图像和性质（2）特别说明.①函数（a＞0且a≠1）与（a＞0且a≠1）的图像关于x轴对称.②利用对数函数的单调性可以比较两对数值的大小，还可以解一些简单的对数不等式和对数方程.③y=logax（a＞0且a≠1）的图像与y=ax（a＞0且a≠1）的图像关于直线y=x对称.知识清单知识点一对数函数的概念1.对数方程的定义对数符号后面含有未知数的方程叫作对数方程.2.一些特殊对数方程的解法（1）形如logaf（x）=b的方程，可以用对数的定义，化成f（x）=ab的普通方程进行求解.2）形如logaf（x）=logag（x）的方程，可以利用对数性质，转化为进行求解.（3）形如f（logax）=0的方程，可以利用换元法求解：设t=logax，先解f（t）＝0，再进一步解出x=at.知识清单知识点二对数方程典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析第五章

三角函数知识结构图复习指南1.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念.2.了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算.3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值.4.掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算和化简.5.掌握两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算和化简.6.掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题.了解正切函数的图像和性质.7.会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、最大值和最小值，会由已知三角函数值求角.8.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形.命题探究

（1）角的概念推广、特殊角的弧度制与角度制的互化、三角函数值在各象限的符号等常会与其他知识相结合出题，这些题目的难度不大，属于基础知识.

（2）任意角三角函数的定义是本章的重点,它是其他公式的推导依据.要能正确运用同角三角函数的基本关系式及诱导公式进行三角函数式的简单化简和求值.

（3）三角函数的性质是研究三角函数的主体,是解决实际问题的工具;三角函数的图像是数形结合的基础，是性质的形的表现.利用三角函数图像的直观性可以得出三角函数的性质,利用三角函数的性质可以描绘三角函数的图像，以形助数，以数辅形.知识结构目录第二节

弧度制与任意角的三角函数第一节

角的概念推广第三节

同角三角函数的基本关系及诱导公式第四节

和角公式、倍角公式第五节

三角函数的图像和性质第六节

已知三角函数值求角第七节

已知三角函数值求角§第一节

角的概念推广知识清单知识点一角的概念

1.角的定义

角可以看成是由一条射线绕着它的端点在平面内旋转而成的.如图5-1所示，射线OA绕着它的端点O旋转到OB，就形成了角α.OA叫作角α的始边，OB叫作角α的终边，点O叫作角α的顶点.知识清单知识点一角的概念

2.正角、负角和零角

（1）正角：按逆时针方向旋转而形成的角叫作正角（图5-2）.

（2）负角：按顺时针方向旋转而形成的角叫作负角（图5-3）.

（3）零角：当射线没有做任何旋转时，也认为形成一个角，所形成的角叫作零角.为了研究方便，经常在直角坐标系中研究角，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.（1）象限角：角的终边落在第几象限内,就称这个角是第几象限角.（2）界限角：如果角的终边落在坐标轴上,那么这个角就不属于任何一个象限.终边在坐标轴上的角叫作界限角.知识清单知识点二象限角与界限角知识清单知识点三终边相同的角

任意一个角唯一确定一条终边.但是，任意一条终边却可以表示无数个角.一个角增加或减少360°，终边又会回到原来的位置，终边相同的角会周而复始地出现.当角α的终边绕其顶点，按逆时针方向旋转n圈时，就形成n·360°+α的角，按顺时针方向旋转n圈时，就形成-n·360°+α的角，这些角与角α都有相同的终边.因此，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k·360°,k∈Z}，即任意一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第二节

弧度制与任意角的三角函数知识清单知识点一弧度制

1.弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度.知识清单知识点一弧度制2.角度与弧度的互化说明：用弧度表示角的大小时，rad或弧度可以省略不写.常用的特殊角的度数与弧度数的对照见表5-1.注意：采用弧度制后，每一个角都对应唯一的实数；反之，每一个实数都对应唯一的角.这样，角与实数之间就建立起了一一对应的关系.知识清单知识点一弧度制

知识清单知识点一弧度制4.象限角和界限角的表示第一象限的角：

第二象限的角：第三象限的角：

第四象限的角：终边与y轴重合的角：

终边与x轴重合的角：终边与坐标轴重合的角：1.任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，使它的顶点与坐标原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，设α的终边上任意一点P（除顶点外）的坐标是（x,y），它到原点的距离是

(r>0)（表5-2）.知识清单知识点二任意角的三角函数2.任意角的三角函数值在各象限内的符号各象限角的三角函数值符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦，如图5-4所示.知识清单3.特殊角的三角函数值各特殊角的三角函数值（表5-3）.知识清单典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第三节

同角三角函数的基本关系

及诱导公式知识清单1.平方关系2.商数关系知识点一同角三角函数的基本关系3.倒数关系1.α+2kπ（k∈Z）的诱导公式sin（α+2kπ）=sinα；cos（α+2kπ）=cosα；tan（α+2kπ）=tanα.2.－α的诱导公式sin（－α）=－sinα；cos（－α）=cosα；tan（－α）=－tanα.记忆公式口诀：函数名不变，符号看象限.3.π±α的诱导公式sin（π+α）=－sinα；cos（π+α）=－cosα；tan（π+α）=tanα.sin（π－α）=sinα；cos（π－α）=－cosα；tan（π－α）=－tanα.知识清单知识点二诱导公式知识清单知识点二诱导公式知识清单知识点二诱导公式5.利用诱导公式求三角函数值的一般步骤利用诱导公式求三角函数值的一般步骤如图5-5所示.典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第四节

和角公式、倍角公式知识清单1.两角和与差公式知识点一两角和与差公式、倍角公式的相关知识点知识清单2.倍角公式知识点一两角和与差公式、倍角公式的相关知识点知识清单3.三角函数式化简的常用方法方法：①直接应用公式进行降次、消项；②异名化同名；③三角公式的逆用等.化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.知识点一两角和与差公式、倍角公式的相关知识点知识清单（1）降幂公式.知识点一两角和与差公式、倍角公式的相关知识点（2）升幂公式.知识清单（3）几个重要的结论.知识点一两角和与差公式、倍角公式的相关知识点知识清单知识点一两角和与差公式、倍角公式的相关知识点4.和、差角公式、二倍角公式及内在联系（图5-6）1.给角求值一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题.2.给值求值给出某些角的三角函数（式）的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α=(α+β)－β，2α=(α+β)+(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论.3.给值求角实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.知识清单知识点二三角函数的求值类型1.三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”.2.三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明.知识清单知识点三三角等式的证明典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第五节

三角函数的图像与性质知识清单

知识点一正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质知识清单

知识点二三角函数图像的变换知识清单

3.函数图像的左右平移变换

一般地，函数y=sin（x+φ）（φ≠0）的图像可以看作是把函数y=sinx的图像上所有点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位长度而得到的.

4.函数图像的上下平移变换

一般地，函数y=sinx+k（k≠0）的图像可以看作是把函数y=sinx的图像上的所有的点向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位长度而得到的.知识点二三角函数图像的变换知识清单

知识点三正弦型函数的图像与性质知识清单

2.由函数y=sinx得到函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像

3.将三角函数式化为正弦型函数式

知识点三正弦型函数的图像与性质典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第六节

已知三角函数值求角知识清单（1）化简题目中的条件，求出角的某个三角函数值；（2）结合特殊角的三角函数值逆向求角，表示出符合条件的角；（3）依据题目条件中角的对应范围求得相应角的值.知识点一已知三角函数值求角的步骤知识清单1.已知正弦函数值，求［0,2π］内的角（表5-5）知识点二已知特殊三角函数值求角知识清单2.已知余弦函数值，求［0,2π］内的角（表5-6）知识点二已知特殊三角函数值求角知识清单3.已知正切函数值，求［0,2π］内的角（表5-7）知识点二已知特殊三角函数值求角典例精析典例精析§第七节

正弦定理、余弦定理知识清单1.正弦定理知识点一三角形边与角的关系2.余弦定理知识清单3.三角形的面积公式知识点一三角形边与角的关系4.重要结论（1）在△ABC中，若A，B，C所对的边分别是a，b，c，则sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.（2）在△ABC中，若A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A＞B＞C，则a＞b＞c.（3）在△ABC中，给定A，B的正弦或余弦值，则C有解的充要条件是cosA+cosB＞0.（4）在△ABC中，sin（A+B）=sin（π－C）=sinC，知识清单知识点二解斜三角形常见的类型1.已知两角A，B与边a，由A+B+C＝π，及

求解b,c和角C.2.已知两边b，c与其夹角A，由a2=b2+c2－2bccosA求出a，再由余弦（正弦）定理求出角B，C.3.已知三边a，b，c，由余弦定理求出角A，B，C.4.已知两边a，b及其中一边所对的角A，由正弦定理

求出角B，再求C和c.知识清单求角B时，可能会出现一解、两解或无解三种情况，具体方法如表5-8所示.知识点二解斜三角形常见的类型典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析第六章

数

列复习指南1.了解数列及其通项、前n项和的概念.2.理解等差数列、等差中项的概念，会运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题.3.理解等比数列、等比中项的概念，会运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题.命题探究

本章内容在历年真题中出题形式多样，难度中等，主要考查学生的运算能力、逻辑思维以及分析问题、解决问题的能力.涉及的知识点：数列的通项公式，等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，以及数列的应用.其中能根据数列的前几项写出数列的通项公式，能根据通项公式写出其中任意一项，能利用通项公式和前n项和公式进行运算是重要内容.同时要关注以等差数列或等比数列的通项公式及前n项和公式为载体的简单综合性问题.知识结构目录第二节

等差数列第一节

数列的概念第三节

等比数列§第一节

数列的概念

一般地，把按一定次序排成的一列数称为数列.

数列中的每一个数都是这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（首项），第2项，第3项，…，第n项，….数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,简记作{an}，其中an是这个数列的第n项.知识清单知识点一数列的基本概念如果一个数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就称为数列的通项公式，即an=f(n).因此，如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，4，…代替公式中的n就可以求出这个数列的各项.求数列的通项公式，通常先求出数列的前几项，再观察数列各项的值与它的序号之间的关系，找出其中的规律，得出数列的通项公式.知识清单知识点二数列的通项公式注意：（1）不是所有的数列都有通项公式，如π的不同近似值数列3,3.1，3.14,3.141，….（2）有的数列的通项公式不一定唯一，如数列1，-1,1，-1,1，-1，….它的通项公式可以写成an=（－1）n－1，也可以写成知识清单知识点二数列的通项公式1.有穷数列、无穷数列按照数列的项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限项，就是有穷数列.2.单调数列按前后项之间的大小关系来分，若前面的项永远小于它后面的项，即a1<a2<a3<…<an<…,这样的数列称为递增数列；若前面的项永远大于它后面的项，即a1>a2>a3>…>an>…,这样的数列称为递减数列.3.常数列若数列的所有项均为同一个数，则称其为常数列，如7，7，7，…,7,….知识清单知识点三数列的概念典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第二节

等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列称为等差数列，常数d称为等差数列的公差.2.通项公式等差数列的通项公式为:an=a1+(n－1)d(n≥1).将通项公式an=a1+(n－1)d变形，得an=nd+(a1－d)，从函数角度来看，它是关于n的“一次函数”（d≠0）.知识清单3.等差中项如果a,A,b成等差数列，那么A称为a与b的等差中项，即：A是a与b的等差中项<=>2A=a+b<=>a,A,b成等差数列.4.前n项和公式等差数列的前n项和公式：5.等差数列的判定方法（1）定义法：an+1－an=d(n∈N*,d是常数)<=>{an}是等差数列.（2）中项法：2an+1=an+an+2(n∈N*)<=>{an}是等差数列.知识清单6.等差数列的常用性质（1）an=am+(n－m)d，公差

，其中m，n∈N*,m≠n.（2）在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，…为等差数列，公差为kd.（3）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，其中m，n，p，q∈N*.（4）连取m项的和组成的数列，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…依然成等差数列.知识清单典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第三节

等比数列1.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（q≠0），那么这个数列称为等比数列，常数q称为等比数列的公比.2.通项公式等比数列的通项公式为an=a1qn－1，a1为首项，q为公比.3.等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G称为a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔G2=ab（G≠0）⇔a,G,b成等比数列.知识清单4.等比数列前n项和公式5.等比数列的判定方法（1）定义法：

（n∈N*,q为不等于0的常数）⇔{an}是等比数列.（2）通项法：an=cqn

（c,q均为不等于0的常数）⇔{an}是等比数列.知识清单6.等比数列的常用性质（1）an=am·qn－m(n，m∈N*).（2）数列{an}是等比数列，则数列{kan}，{

}（k为非零常数）均为等比数列.（3）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，…为等比数列，公比为qk.（4）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则am·an=ap·aq.（5）若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依然成等比数列.知识清单典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析第七章

平面向量复习指南1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加、减运算，掌握向量的数乘运算，了解两个向量共线的条件.3.了解平面向量的分解定理.4.掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题时的应用，了解向量垂直的条件.5.了解向量的坐标的概念，掌握向量的坐标运算.6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式.命题探究（1）平面向量的三种线性运算的结果仍为向量.在三种线性运算中,加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础,都可以归结为加法运算,在学习时要注意它们之间的联系与区别.线性运算的关键是会灵活运用三角形法则或平行四边形法则.（2）向量引入坐标表示后,向量的工具性作用得到了质的提升,向量运算实现了代数化.而对于平面向量的坐标运算的考查,常出现利用相关性质和定理求与向量坐标有关的未知量的题目,尤其要关注两向量平行、垂直的充要条件和对平面向量内积的考查.知识结构目录第二节

平面向量的坐标表示第一节

平面向量的概念及线性运算第三节

平面向量的内积§第一节

平面向量的概念及线性运算1.向量的概念既有大小又有方向的量称为向量.2.向量的表示字母表示法：如a，b，c等.几何表示法：用一条有向线段表示向量，如

，

等.（3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量

的起点O为坐标原点，终点A的坐标为(x，y)，则(x，y)称为

的坐标，记为

=(x，y).注意：向量既有代数特征，又有几何特征，它是数形兼备的好工具.知识清单知识点一平面向量的基本概念3.向量的模向量的大小(长度)称为向量的模，

的模记作

.4.零向量模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向不确定.5.单位向量模为1个单位长度的向量称为单位向量.知识清单知识点一平面向量的基本概念1.平行向量方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故又称为共线向量.规定：0与任一向量共线.2.相等向量模相等且方向相同的向量称为相等向量，若a与b相等，则记作a=b.注意：向量不能比较大小，因为向量有方向，而方向没有大小.3.相反向量模相等且方向相反的向量称为相反向量.若a与b互为相反向量，则记作a=-b.知识清单知识点二平行向量与相等、相反向量1.向量的加法三角形法则：已知向量a，b，在平面内任取一点A，作

=a，

=b，则

为a与b的和向量，如图7-1(a)所示.平行四边形法则：已知不共线向量a，b，设O为平面内任意一点，作

=a，

=b，以

、

为邻边作平行四边形OACB，则

为a与b的和向量，如图7-1(b)所示.2.向量的减法三角形法则：已知向量a1，b1，在平面内任取一点O，作

=a1，

=b1，则

=

-

=a1-b1,如图7-1（c）所示.知识清单知识点三向量的线性运算知识清单知识点三向量的线性运算3.向量的数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.

λa与a的模、方向的关系规定如下：(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.4.向量共线的条件向量共线的充要条件：向量a与非零向量b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a=λb.5.向量的线性运算法则λ(μa)=(λμ)a,

(λ+μ)a=λa+μa,

λ(a+b)=λa+λb，其中λ，μ∈R.a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a+0=0+a=a.知识清单知识点三向量的线性运算典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第二节

平面向量的坐标表示1.向量的坐标表示使得a=xi+yj成立的有序实数对(x,y)称为向量a的坐标，记作a=（x,y）.其中i是x轴正方向上的单位向量，j是y轴正方向上的单位向量.2.求向量的坐标已知两点A（x1,y1）和B(x2,y2),则

=(x2-x1,y2-y1).3.向量加法、减法、数乘运算的坐标表示及模的运算设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则①a+b=(x1+x2,y1+y2);

②a-b=(x1-x2,y1-y2);③λa=(λx1,λy1)；

④知识清单知识点一向量加法、减法、数乘运算的坐标表示设a=（x1,y1）,b=(x2,y2),（其中a，b均为非零向量），当λ≠0时，有a=λb⇔a∥b⇔x1y2－x2y1=0.知识清单知识点二向量共线的充要条件的坐标表示典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析§第三节

平面向量的内积1.两个向量的夹角已知两个非零向量a和b，过点O作

=a，

=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）称为向量a与b的夹角，记作θ=〈a,b〉.当向量a与b方向相同时，θ=0°；当向量a与b方向相反时，θ=180°.2.两个向量垂直如果两个向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b.3.两个向量的内积（数量积）的定义向量a与b的模与它们的夹角的余弦之积称为a与b的内积（数量积），记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.说明：零向量与任意向量的内积为0.知识清单4.向量内积的性质（1）

（2）

当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.（3）（4）

已知a与b为非零向量，当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ=90°时，a·b=0;反之也成立.5.向量内积的运算律（1）a·b=b·a.（2）(λa)·b=λ(a·b)=a·（λb）.（3）(a+b)·c=a·c+b·c.知识清单6.两非零向量a与b垂直的充要条件a⊥b<=>a·b=0.7.向量内积的坐标表示（1）设向量a=(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.（2）设向量a=(x,y),则（3）设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b<=>x1x2+y1y2=0.知识清单典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析第八章

复数的概念与运算复习指南1.理解复数的有关概念：虚数单位、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等.2.理解复数相等的充要条件.3.理解复数的几何意义，并会用复平面内的点和向量来表示复数.4.会进行复数的加、减、乘、除运算，理解复数加、减运算的几何意义.命题探究从多年的单招试卷来看，都把复数作为考查内容，但是涉及的都是最基本的运算，且一般是以填空题、选择题为主.复数的基本概念有很多，需要将其意义辨别清楚，复数的除法运算法则是分母实数化.知识结构目录第二节

复数的运算第一节

复数的概念第三节

复数的几何意义§第一节

复数的概念1.复数的代数形式我们把形如a+bi(a,b∈R，i是虚数单位)的数叫作复数的代数形式，其中a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部，并有：（1）复数a+bi(a,b∈R)表示实数的充要条件是b=0.（2）复数a+bi(a,b∈R)表示虚数的充要条件是b≠0.（3）复数a+bi(a,b∈R)表示纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.复数包含实数和虚数，所有复数的集合叫复数集，用C表示；所有虚数的集合叫虚数集，用I表示，则有C=R∪I.知识清单知识点一复数的概念2.复数相等（1）虚数不能比较大小.（2）两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),如果它们的实部和虚部对应相等，称这两个复数相等，即z1=z2⇔a=c且b=d.知识清单知识点一复数的概念1.复数代数形式的运算法则已知两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),则（1）(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.（2）(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.（3）(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.（4）知识清单知识点二复数的运算2.复数的运算律（1）运算律.①复数的加法、乘法满足交换律、结合律.②乘法对加法和减法满足分配率.（2）指数运算法则.当指数为整数时，指数运算法则对复数也成立.知识清单知识点二复数的运算律3.虚数单位i虚数单位i的乘方运算有如下规律：（1）i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i

(n∈N).(2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0

(n∈N).4.共轭复数如果两个复数实部相等，虚部互为相反数，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数常用

表示.知识清单知识点二复数的运算5.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程的解有如下规律：（1）当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根：（2）当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根：（3）当Δ=b2-4ac<0时，方程有一对共轭复数根：知识清单知识点二复数的运算1.用复平面内的点表示复数z=a+bi可以用复平面内的点Z(a,b)表示.2.复数的向量表示z=a+bi可以用向量

=(a,b)表示.向量

的长度叫复数的模，即当z∈R时，

即实数的模就是实数的绝对值.知识清单知识点三复数的几何表示知识清单知识点三向量的线性运算3.向量的数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.

λa与a的模、方向的关系规定如下：(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.4.向量共线的条件向量共线的充要条件：向量a与非零向量b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a=λb.5.向量的线性运算法则λ(μa)=(λμ)a,

(λ+μ)a=λa+μa,

λ(a+b)=λa+λb，其中λ，μ∈R.a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a+0=0+a=a.知识清单知识点三向量的线性运算典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析