高数1极限与连续

1极限与连续2

在16

~

17世纪，随着生产实践和科学技术的发展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的切线，确定物体运动的速度，计算平面曲边图形的面积和空间中表面弯曲的立体的体积等.在这些问题面前，初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动及变化过程的新理论和新方法——变量数学，而微积分作为变量数学的主体，随之而生.

极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工具，是整个微积分学的理论基础.3第三节数列极限例1割圆术

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。一、极限的思想

4

三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周”

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.5定量分析

112345678…项号边数内接多边形周长直径为1241263

2.5980762113533.

3.105828541230

3.13262861328148

3.13935020304796

3.141031950891192

3.141452472285384

3.141557607912……………6例2截杖问题1：剩余的长度：截去的总长度0战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰日截其半万世不竭.7定量分析

2项号项这一项与0的差的绝对值12345678……………………8二、数列的概念及几个特性例如称为无穷数列,简称数列.

1、数列的定义9说明：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数102、单调数列

称单调增加称单调减少单调数列3、有界数列

有界；无界。否则称无界。11三、数列的极限1x212问题：当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?通过上面图示观察：1314如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义总存在正整数N,

不等式记为或15几何解释：其中16几何解释：其中17四、收敛数列的基本性质性质1极限的唯一性证用反证法.

18矛盾，惟一性得证。ab19性质2有界性定理2

收敛的数列必定有界.证20注1

有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件.注2

无界数列必定发散.有界数列不一定收敛.21性质3收敛数列的保号性证定理322证明留作练习。23记作子数列24定理4（收敛数列与其子数列的关系）证25它们分别收敛于１和－１，

同时，此例也说明发散的数列也可能有收敛的子数列.

定理4（收敛数列与其子数列的关系）26例4证明：由定义,27函数的极限28一、自变量趋于无穷大时函数的极限xy29通过上面图示观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”？30例1证31几何解释:3233例3解例2解xy34二、自变量趋于有限点处时函数的极限353.几何解释:说明：36例4例537证得证。例638证得证。例739单侧极限左极限：40左极限：右极限：41解左右极限存在且相等,例842左右极限存在但不相等,例9证4344三、存在极限的函数的基本性质性质1函数极限的唯一性性质2有极限函数的局部有界性45推论1性质3有极限函数的局部保号性注意推论2定理46极限的运算一、无穷小与无穷大定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小.例如,注：1、无穷小是变量,不能与绝对值很小的数混为一谈;3、称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。2、零是唯一可以作为无穷小的数；1、无穷小47无穷小的性质：

1°

有限多个无穷小之和仍是无穷小；

定理2°

有限多个无穷小之积仍是无穷小；

3°

无穷小与有界变量之积仍是无穷小。

48例1解49例2例350定理

变量y以A为极限的充分必要条件是：变量y可以表示为A与一个无穷小的和。即limy=Ay=A+a，其中a是无穷小

。定理表明：

极限概念可以用无穷小概念来描述.证略。2、无穷小与极限的关系513、无穷大绝对值无限增大的变量叫无穷大.xoy52精确定义：

1、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很大的数混为一谈；2、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注：53证

得证.

xoy例454无穷大与无界变量的关系(1)无穷大显然是无界变量；

(2)但无界变量不一定是无穷大。例如数列再如，但它并不是无穷大。

55无穷大与无穷小的关系意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例5无穷大.

56例6解57二、极限的四则运算法则证略定理58说明：1.有两层意思：(1)在limf(x)和limg(x)都存在的前提下，lim[f(x)+g(x)]也存在；(2)lim[f(x)+g(x)]的数值等于limf(x)+limg(x).2.lim[f(x)+g(x)]存在,不能倒推出limf(x)和limg(x)存在.3.若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则lim[f(x)+g(x)]肯定不存在.4.可推广到有限多项.反证：若lim[f(x)+g(x)]存在,已知limf(x)存在,由定理知limg(x)存在,矛盾。59推论1推论260例2例161解例3消零因子法62例4解一般,63例5解64共轭因子法解解变量代换法

例6例765例866例9解先变形再求极限.67解例1068复合函数的极限证略69解例11或解70例12解71例13解共轭因子法72

极限的存在准则两个重要极限证略1、夹逼准则和73例1解由夹逼定理得74上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.定理(夹逼定理)证略。75xy下面利用夹逼准则证明一个重要的极限:

176基本不等式：等号当且仅当x=0时成立。77实际上，对一切实数x成立。基本不等式：等号当且仅当x=0时成立。等号当且仅当x=0时成立。78即得79所以先证80解所以例2例381例4解82称单调增加称单调减少单调数列具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。2、单调有界准则83下面利用准则Ⅱ证明另一个重要的极限：

84增大，且项数增加一项(每一项均为正),

8586以e为底的对数称为自然对数，

可以证明，相应的函数极限有

或87例5解88例7解例8解例6解89例9解求极限90例10解求极限91例11连续复利问题

如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本息之和为

92随着n无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为

称之为连续复利。例如,年利率为3%,则连续复利为

类似于连续复利问题的数学模型，在人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等许多实际问题中都有应用。93小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.94

无穷小的比较一、无穷小的比较例如,

比值极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限95定义：96说明：

1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶.

2、在同一极限过程中的两个无穷小，并不是总能比较阶的高低的.97例1但是，不存在，98例299例3证100例4证101例5解例6解102常用等价无穷小：103定理(等价无穷小替换定理)证只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意在其他极限运算中不能替换！104例7解105例8解解错106例9解107例10解例11解108解例12109解例13110解例14111112

函数的连续性1、函数的改变量一、函数的连续与间断113

例1

证明函数y=x2在给定点x0处连续。

证

在x0处，函数的改变量为所以y=x2在给定点x0处连续。2、函数在一点处连续的定义如果

114下面给出函数连续的定义的另一种等价形式。如果

115例2证（3）函数值与极限值相等.

116定理3、单侧连续：117例3解即不右连续也不左连续,x

y-11O118例4解1194、连续区间与连续函数120例5证121二、函数的间断点定义函数不连续的点称为函数的间断点.1、左右极限都存在的间断点,称第一类间断点：

(1)可去型间断点122例6讨论函数解注意

可去型间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.123(2)跳跃型间断点例7解124例8解2、左右极限至少有一个不存在的间断点,称第二类间断点。

125例9解这种情况称为振荡型间断点。126解例10127解例11128三、初等函数的连续性1、连续函数的四则运算定理1例如,三角函数在其定义域内皆连续.129定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数的连续性130定理33、复合函数的连续性极限运算与函数运算可以交换次序1314、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★讨论不同取值，所有幂函数均在其定义域内连续.132所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数在其定义域内都是连续的.也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。133连续性在函数极限计算中的应用初等函数求极限的方法：代入法.例1例2解解134例3解极限运算与函数运算可以交换次序思考：135例4解类似可得136例5解前面已证等价无穷小替换137例