高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

，22二面角的法，22一定法从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这直线叫做二面角的棱,这个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例中从二面角SAM—B中半平面ABM上一已知点（向棱AM作线得垂足（另半平面内该垂足（）作棱AM垂线（如GF这两条垂线（、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如，四棱锥

中，底面

为矩形，

底面

，

2SD

，点M侧棱上ABM=60°（I）证明M侧棱SC的中点（II）求二面角

AM

的大小。证（I）略解II用二面角的定义。在等边三角形

ABM

中过点

B

作

BF

交

AM

于点

，则点

为AM的中点，过F点在平面ASM内

AM

GF交AS，连结AC，∵ADCeq\o\ac(△,，)ADS，是SC的点，∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS又∵

为AM的点，

G∴GF是的位线，点G是AS的中点。

F则GFB即为所求面.∵

SM

2，

，又∵

SA

6

，∴

AM

，∵

AM

，

∴△

∴

。在△中，AG

62

，AB，

，∴

FB

1116263232

G

F∴二面角

的小为

)

1111111111练习1如已四棱锥-底ABCD为形PA⊥面ABCD，PC的中点1111111111（Ⅰ）证明AE⊥;（Ⅱ）若H为PD上动点，EH与面PAD所最大角的正切值

60

E分别是BC为

，求二面角E—AFC的余弦.分：1题易发现，可通过证AE⊥AD后出AE⊥平面，使命题获证，而第2题则首先须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S和边与SC进计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为二三线

）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条线垂直．通常当点在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例）过二面角B-FC-C中半平面上一已知点B作一半平面FC的线，得垂足；再过该垂足O作FC的线，得垂足P，结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、线BO、射影OP解角三角形求二面角的度数。例四柱ABCD-ABCD中ABCD等腰梯形BC=CD=2,AA1E、、分是棱、AA、AB的中点。1

D

1

C

1（1证明：直线EE//平面；

A

1

B

1（2求二面角B-FC-C的弦值。

E

1

D

CEAF

B证（）略

D

1

C

1解（）为AB=4,BC=CD=2,、F是的点以BF=BC=CF,BCF为正三角形取CF的点O,则OB⊥CF,因

A

1

F

B

1为直四棱柱D中,CC⊥平面以CC⊥

E

1

DCBO,以OB平面CCF,过O在面内⊥CF,足为P,连接则为面角B-FC-C的个平面角在△

A

E

OFB为正三角形中,

OB3

在RtCC中△△F,∵

OPOFCCF11

∴

1OP22

,

在Rt△中

OP22

2

7BP

以二面-C的弦值为

练习2如，在四棱锥P中底面是形．已知AD2,PAB

（Ⅰ）证明

AD

平面

PAB

；（Ⅱ）求异面直线

与

AD

所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角

PBD

的大小．分：题是一道典型的利用三垂定理求二面角问题，在证明⊥平面PAB后容易发现平面PAB⊥平面ABCD，P就是面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法二角

PBD

的大小为

）

三补法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱借前述的定义与三垂线法解题当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3如所示，四棱锥P-的面ABCD是长为1的菱形，∠BCD60，E是CD的中点PA⊥底面，＝2.

D

E（Ⅰ）证明：平面⊥平面PAB;

C（Ⅱ）求平面和面PBE所二面角（锐角）的大分析：本题的平面和面没有明确的交线，依本法显然要补充完（长AD相于点F连.再在完整图形中

A

B的上找一个适合的点形成二面角的平面角解之证解（）延长AD交于点，结.过点A作AH⊥于H，由（Ⅰ知

G平面⊥平面,以AH平面PBE.

F在eq\o\ac(△,Rt)ABF中因∠＝°，所以，=2在等腰eq\o\ac(△,Rt)PAF中取中点G，连接AG则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，

A

H

DB

C

1111oo⊥HG所∠AGH是面和平面PBE所二面角的平面角（锐角1111oo在等腰eq\o\ac(△,Rt)PAF中

AG

PA2.在eq\o\ac(△,Rt)中，

AH

AB

2

22.5所以，在eq\o\ac(△,Rt)AHG中

sinAGH

AHAG

.故平面PAD和面PBE所二面角（锐角）的大小是

rcsin

A

1练习已知斜三棱—AB的棱长都是a侧棱与底面成的，侧面BCC⊥面。

C

1

B

1（1）求证AC⊥BC；（2）求平面C与面ABC所的二面角（锐角）的大小。AL提示：本题需要补棱，可过A作CB平行线L（答案：所成的二面角为45O）

CB四射面法

cos=

射影

）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用影面积公式（cos

SS

）求出二面角的大小。

P．例4如图，在三棱锥PABC，，APBP，AC（Ⅰ）求证：PC

，

A

B（Ⅱ）求二面角

B

的大小；

C分析：本题要求二面角BAP—的大小，如果利用射影面积法解题不难想到在平面与面中建立一对原图形与射影图形并分别求出S与S于是得到下面解法。

P解）证略

E（Ⅱ）ACBC，BP，eq\o\ac(△,)APCBPC

．又又

AC，PC．90BC，即

，且

IC

，

A

C

B

111111111111111111111111111111

平面

．取

AP

中点

E

．连结

BE，

．QAB

，BE

．是在面PAC的射影，

．∴△ACE是△ABE在平面内射影，于是可求得：

APAC

2

2

，BEAB

2

AE

2

6，AE则

S射

11••22

，S原

1AE•2•32

D

C设二角∴二面角

BAP的小，cosBAP的小为

13

33

AA

1

D

1

BB

EC图练习4：如5，为方体ABCD－ABCD的棱CC的点，求面AB和面ABCD所成锐角的余弦值分平与底面ABD交即二面角的棱没有给出找二面角的平面角必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形在平面ABD上射影是三角形AB，而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。2（答案：所求二面角的余弦值为cos=）.3五向法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例4：如图，在五面体中FA平面AD//BC//FEABAD，M为EC的点，

12

AD(I)求异面直线BF与DE所的角的大小；(II)证平面AMD

平面；求二面角A-CD-E的弦值。现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点B

A

为坐标原点。设得

1111M1112（I

解

•1BF2•2所以异面直线

BF

与

DE

所成的角的大小为

（II）证明由AM

E•AM2

，•AD因AM，AD.又AMA，C平A而C平面CDE，所以平面MD平面DE.（III

面DE的，y，z•D令可得y0.又由题设，平面

ACD

的一个法向量为

v(0练习、如图，在直三棱柱（Ⅰ）求证：ABBC；

AB中，平面