小升初数学培优专题讲义全46讲(第37-46讲)1761

让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义目录第37讲逻辑问题....................................................................................................01第38讲抽屉原理....................................................................................................09第39讲加法、乘法原理..........................................................................................16第40讲容斥原理....................................................................................................23第41讲长方体与正方体........................................................................................31第42讲圆柱与圆锥.................................................................................................39第43讲燕尾模型与等积变换................................................................................47第44讲鸟头模型....................................................................................................55第45讲蝴蝶模型与相似模型................................................................................61第46讲不规则图形的面积....................................................................................70让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义第37讲逻辑问题考点解读3、命题趋势：一些以日常问题相关的需要推理的问题。知识梳理解题方法①假设法：通过已知条件无法判断时，可以假设其中的一个的条件来进行推理。②列表法：通过列表把已知里面的关系表示出来，会更加明了。：当已知条件不是很复杂时，可以④图示法：将题目中的相关条件用图示的方法表达出来，有时会起到不错的效果。典例剖析【例1】A、B、C、D、E五位小朋友之间进行象棋比赛，每两个人都要比赛一场，到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了几场？【变式练习】1、A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛进行到某一天时，A、B、C、D、E五支球队分别比赛了5、4、3、2、1场，由此可知恰好比赛了3场的是哪一支球队？1让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【例2】甲、乙、丙、丁分别获得“攀登杯”比赛的前四名，已知甲不是第一名，乙是第一或第三名，丙是第二或第三名，丁不是第二或第四名，那么谁是第一名？【变式练习】1、甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高”，乙说“我不是最矮的”。丙说：“我没有甲高，但还是有人比我矮”，丁说：“我最矮”。实际测量后发现他们四人中只有一个人说错了，那么身高排名第三的是谁？2、一次游泳比赛，由甲、乙、丙、丁四个人参加决赛，赛前他们各说了一句话。甲：我第一，乙第二；乙：我第一，甲第四；丙：我第一，乙第四；丁：我第四，丙第一。比赛无并列名次，且每个人都只说对一半。那么，丁是第几名？【例3】甲、乙、丙、丁四个人分别在看书、做作业、踢足球和打排球。①甲不在看书，也不在打排球；②乙不在踢足球，也不在看书；③如果甲不在踢球，那么丙就不在看书；④丁既不在打排球，也不在看书。那么，他们四人分别在做什么？2让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【变式练习】1、甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民、教师，已知：①甲不在南京工作；②乙不在苏州工作；③在苏州工作的是工人；④在南京工作的不是教师；⑤乙不是农民。问：三人各在什么地方工作？各是什么职业？2、小刘、小张和小徐在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士。现在知道①小徐比战士年龄大；②小刘和农民不同岁；③农民比小张年龄小。那么，谁是工人？【例4】将一个三位数abc的中间数码去掉，变成一个两位数ac且满足如下条件：abc9ac4c（如60596545），则满足条件的三位数有（）个。A、6个；B、7个；C、8个；D、9个。【变式练习】1、一个两位数，将十位与个位上的数字交换后，所得的两位数比原来小27.。则满足条件的两位数共有几个？3小升初数学培优讲义【例5】如图所示是一个99的方格，图中共有多少个？（可旋转翻转）A、224个；B、448个；C、444个；D、222个。【变式练习】441、在的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有多少种？【例6】有20个玩具被丢在地上，小红妈妈每30秒把3个玩具从地板上放到玩具盒中，但30秒一过，小红就从玩具盒中拿出两个玩具，那么小红和他妈妈需要多少秒才能将20个玩具都放到玩具盒中？A、510秒；B、540秒；C、570秒；D、600秒。4小升初数学培优讲义1、A、B、C、D、E五个盒子中依次放有9、5、3、2、1个小球，第一个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第二个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；…当第1000位小朋友放完后，A、B、C、D、E五个盒子中各放有几个球？A、温故知新1、甲、乙、丙、丁和小明五人一起下围棋，已知甲下了四盘，乙下了三盘，丙获得前三名，老师猜测：A不是第一B不是第一名；C不是第三句话中只有一句话是正确的且三人名次无并列的情况，那么C5让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义3、甲、乙、丙三位老师分别教数学、物理、化学、生物、语文和历史，每位老师教两门课程。化学老师和数学老师住在一起；甲老师最年轻；数学老师和丙老师都爱下象棋，物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻，三人中最年长的老师比其他两位老师住得远，问三位老师分别教哪两门课程？4、徐老师、周老师和黄老师三位老师，其中一位是教语文，一位教数学，一位教英语，已知：①徐老师比教英语的老师年龄大；②周老师比教英语的老师年龄大；③教数学的老师经常和周老师一起打球。问三位老师各教什么科目？5、A、B、C三名运动员在一次运动会上都得了奖，他们各自参加的项目是篮球、排球和足球。已知：①A的身材比排球运动员高；②足球运动员比C和篮球运动员都矮。那么A是运动员，B是运动员，C是运动员。6、一次国际足球邀请赛上，来自欧洲、美洲、亚洲、大洋洲、非洲的5支队伍已经到齐了，分组抽签仪式上，A记者：3号是B记者：4号是C记者：1号是D记者：4号是E记者：2号是结果，每人都只说对一那么1号、3号分别是几位记者对各队的编号展开了讨论。2号是美洲队；2号是5号是非洲队；3号是5号是半。欧洲队，亚洲队，大洋洲队；亚洲队，非洲队，大洋洲队；欧洲队，美洲队。什么队？6让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义7、四个小孩站的位置是这样的：乙站在甲的右边；丙站在甲的左边；丁站在丙的左边。请你将甲、乙、丙、丁分别填在方格里。8、有9张卡片，上面分别写着1-9九个数字，甲、乙、丙、丁四人每人拿两张。甲：我的两张数字之和是9；乙：我的两张数字之差是6；丙：我的两张数字之积是12；丁：我的两张数字之商是3；那么，剩下的一张卡片上面写的数字是。B、拓展提升1、共有四人进行跳远、百米、铅球、调高四项比赛（每人四项均参加），规定每个单项第一名记5分，单项第二名记3分，单项第三名记2分，单项第四名记1分，每一个单项比赛中四人得分互不相同。总分第一名共获得17分，其中跳高得分低于其他项的得分。总分第三名共获得11分，其中跳高得分高于其他单项得分。问：总分第二名的铅球这项得分是多少？7小升初数学培优讲义2、A、B、C、D、E、F六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手比赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛。已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，B对C。问：第五天A与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？3、有三张扑克牌，牌上写有互不相同的数字（即0,1,2…9中的三个数字）。把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌上的数字，再重新洗牌、发牌、计数，如此反复三次后，三人各自记录的数字之和分别是13、15、23，请问这三张牌的数字各是什么？4、算式谜题，竖式的最后一行的五位数是。8让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义第38讲抽屉原理考点解读3、命题趋势：抽屉原理一般与计数组合相结合一起考，通常是选择或填空的最后一题。知识梳理n2件。公式：物体数÷抽屉数＝商……余数至少数＝商＋1n③将无穷多个物体任意放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉中有无穷个物体。2.解题步骤①分析题意：分清什么是“苹果”，什么是“抽屉”，也就是什么可以做“苹果”，什么可以做“抽屉”。②制造抽屉：这时关键的一步，这一步就是如何设计抽屉，根据题目条件和结论，结合有量关系，设计和确解定决问题所需的“苹果”其个数，为使③运用原理：运用抽屉原理，观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则解决问题。典例剖析【例1】某校六年级有320位学生，其中至少有多少个人在同一个月过生日？【变式练习】1、把13支笔放入4个文具盒中，至少有一个文具盒内放支笔。9让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义2、某校有370名学生是1992年出生的。其中至少有两个学生的生日是在同一天，为什么？【例2】十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼子里有2只或2只以上的小兔？【变式练习】1、把125本书分给五（2）班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？2、某次考试有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一所学校。”如果他的说法是正确的，那么最多有多少所学校参加了这次考试？【例3】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能于2本书？得到不少10让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【变式练习】1、班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于2本书？2、有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子。至少需要有几只鸽子？【例4】把红、黄、蓝三种颜色的球各10个放在一个袋子里，至少取出几个球，才能保证取到两个颜色相同的球？【变式练习】1、一个口袋装有红、黄、蓝三种不同颜色的小球各10个，至少要取出多少个球，才能保证取出10个相同颜色的小球？2、密封的纸盒里有60颗大小相同的珠子，每15颗都是相同的颜色，为保证一次取出3颗颜色相同的珠子，至少要取出多少颗？11让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【例5】某图书馆购进文学类、语言类、文艺类、手工类、科普类图书各若干本，能够满足全校数百名学生每人从中任意借两本（同类书不允许借两本）。则至少有多少名学生中一定有两个人所借的图书种类完全相同？【变式练习】1、某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、有买两本的的、也有买三本的，至少要去几位同学才能保证一定有两位学生买到相同的书（每种书最多买一本）？2、将400张卡片分给若干个同学，每个人都能分到，但都不超过11张，至少有多少名同学得到的卡片相同？【例6】任意5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，为什么？12让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【变式练习】1、任意6个不同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，为什么？【例7】能否在66的方格表的每个空格上分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？【变式练习】1、证明：在88的方格表的每个空格上分别填上3、4、5这三个数字中的任意一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的？2、在39的方格图中，将每一个方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。为什么？13小升初数学培优讲义A、温故知新1、数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样？2、100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生拥有的苹果数不少于12个？3、三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借到两本书？4、一个不透明的袋子里装有大小一样的红、黄、白三种颜色的小球各10个。至少摸出多少个小球才能保证有两个球颜色相同？至少要摸出多少个球才能保证颜色不同？让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义5、六一班有45个学生，去岳麓山、植物园、橘子洲头三个景点玩，每个学生可以选择其中的一个或两个景点，则至少有多少个学生游玩的景点是相同的？6、从1-80中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是4的倍数？7、能否在55的方格表的每个空格上分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？15让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义第39讲加法乘法原理3、命题趋势：目前各校针对加法乘法原理都比较重视，注意两种原理的区分与应用。知识梳理kmmm种不同的方法。那么完成这件事共有12knmm步有种不同的方法，做第二步有12n需要注意的是：①这件事要分几个独立步骤来完成；来完成。若干种不同的方法①公式法：主要是直接运用加法原理公式与乘法原理公式进行解题，在运用公式的过程中②图示法：在一些过程较为复杂的加法乘法原理问题中，为了明确过程，可以画树状图等图示进行解答。典例剖析6本不同的数学书，下层有5本不同的语文书。若任意从书架上取1本让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【变式练习】1、商店里有5种不同的儿童上衣，4种不同的裙子。妈妈为女儿买一件上衣和一条裙子，有多少种不同的选法？2、张师傅到食堂吃饭，主食有2种，副食有6种，主、副食各选一种，他又几种不同的选法？【例2】直线上有8个点，以其中任意两个点为端点的不同线段有多少条？【变式练习】1、长沙至北京往返的特快列车，中途要停7个站，那么这列车使用的车票有多少种？2、八位老朋友聚会，每两人之间都握了一次手，一共握了多少次手？17让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【例3】用6、5、9三个数字可以组成多少个不同且没有重复数字的三位数？【变式练习】1、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个三位数？多少个百位是8的没有重复数字的三位数？多少个百位是8的没有重复数字的三位偶数？2、在1、2、3、4、5这五个数字中，选出四个数字组成能被3整除的四位数，这样的四位数有几个？【例4】ofo小黄车的密码为四位数，由1、2、3、4、5这五个数字构成，则小黄车的密码有多少种方案？【变式练习】1、六个同学排成一排照相，共有多少种不同的排法？18让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义2、李老师和甲、乙、丙、丁四位同学合影，李老师必须坐中间，共有几种坐法？甲、乙必须坐在一起共有几种坐法？甲、乙不能坐在一起，有几种坐法？【例5】在1、2、3、……399、400中，数字“2”一共出现了多少次？【变式练习】1、一本书共有600页，则数码“0”在页码中出现了多少次？2、各位上的数字的和是34的四位数一共有多少个？19小升初数学培优讲义A、B、C、D、E五点之间跳跃，有两种跳跃方法，一种是一次跳法？（A、B、C、D、E是一条直线上【变式练习】学校小红家超市2、小明到早餐店吃早餐，有包子、油条、烧麦三种早点供选择，最少吃一种，最多吃让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义10个站，问火车需准备多少种火车票？2、往返于长沙到上海的火车，途经3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9四个数字，能够组成多少个没有重复数字的三位数？4、六人站成一横排，按下列要求站：①甲不站两端，有几种站法？②甲、乙必须相邻，有几种站法？5、从北京到广州可以选择直达的飞机或火车，也可以选择中途在上海或者武汉停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有分机和火车两种交通方式外还有汽车。问：从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？6、从1-80中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是4的倍数？21让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义B、拓展提升1、请你从1-100这100个自然数中每次取出2个不同的自然数，使它们的和大于100，一共有多少种不同的取法？2、有一些四位数，如：1234，1004，9939等，它们的各位的数字的和是5的倍数，这样的四位数有多少个？3、数1447，1005，1231都有一些共同特征，它们都是以1开头，含有两个相同的数字，并且都是四位数，请问？这样的数共有多少个？4、在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有多少种？22让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义考点解读3、命题趋势：一般出现在填空题后面几道，大题选考。知识梳理容斥问题：有重复包含关系的问题。容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。1、两种量的容斥原理问题如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元个素数总和=属于A类元个素数+属于B类元个素数—既是A类又是B类的元个素数。即A∪B=A+B-A∩B2、三种量的容斥原理问题如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。即A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C典例剖析让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【例1】在1-30的自然数中，是2的倍数或者3的倍数的数共有多少个？【变式练习】1、在1-200的自然数中能被3或5整除的数有多少个？【例2】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组。其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人？【变式练习】1、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂俄语的有20人，那么懂俄语的教师有多少人？2、一个班有36个学生，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人？24让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【例3】有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一个记号，每4厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？【变式练习】1、有一根120厘米长的绳子，从一端开始，每5厘米作一个记号，每6厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？2、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【例4】一次数学测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二踢有18人做错，那么两题都做错的有多少人？25让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【变式练习】1、某班在一次测验中有28人语文获优，30人数学获优，其中语文、数学双优的有1人，另外还有1人语文、数学均未获优，这个共有多少学生？2、有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在木板有多长？【例5】100个学生中只有1人没有学过外语。学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人。既学过英语也学过法语的有14人，既学过英语也学过俄语的有13人，既学过法语也学过俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？【变式练习】1、某校共100名学生参加运动会，其中39人参加游泳比赛，49人参加田径比赛，4126小升初数学培优讲义人参加球类比赛，既参加游泳又参加田径比赛的有14人，既参加田径又参加球类比赛的有13人，既参加游泳又参加球类比赛的有9人，还有1人这三项比赛都不参加，求这三项比赛都参加的有多少人？2、某学校五年级共有110人，参加语文小组的有52人，语文小组的有16人；参加加英语小组的有15人；参加63人，数学小组的有21人。那么三组都语文、数学、英语三已知参加英语小组的有61人，只参参加的有多少人？A、温故知新情况是：全班学生都借有语文或数学课外书。借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有多少人？2、三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有8人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组？让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义3、某班学生中参加语文小组的有20人，参加数学小组的有22人。既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学的有15人。问该班学生共有多少人？4、有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块，重叠部分是20厘米。求钉成后的木板长多少厘米？5、某班学生参加数、理、化三科考试：数、理、化优秀的学生分别是30人、28人、25人。数+理、理+化、数+化都优秀的学生分别有20人、16人、17人，三科全优秀的有10人。问：数、理、化三科至少有一科优秀的有多少人？6、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺、科学三项中的一项。其中：爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人；只爱好体育和科学的428让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义人，只爱好体育和文艺的17人。问只爱好体育的有多少人？有多少人只爱好科学和文艺两项？7、某班语文、数学、外语三门课程，期中成绩统计如下：至少有一门课程得满分的学生只有18人，语文得满分的有9人，数学得满分的有11人，外语得满分的有8人，语文数学都得满分的有5人，数学外语都得满分的有3人，语文外语都得满分的有4人。问：语文、数学两门课程中至少有一门得满分的有多少人？语文、数学、外语都得满分的有多少人？B、拓展提1、某班有学生46人，其中28人学钢琴，35人学电脑，37人学美术，都学？升40人学奥数，那么这个班至少有多少人四项2、在迎新联欢晚会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出，如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参29让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？3、图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名，已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本，其中同时由甲、乙签名的是29本，同时由甲、丙签名的是25由乙、丙签名的是36本。问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何本，同时一个人借阅过？30小升初数学培优讲义考点解读3、命题趋势：主要以正方体与长方体的表面积与体积计算为主，并结合比的应用和分数应知识梳理六面体特征与基本公式：图形名特征字母意义表面积S、体积V称6个面都是相等的正方形，6个面的面积都相等，12条棱的长度都相等正方体Saa6Vaaaa—棱长6个面12条棱8个顶点6个面一般都是长方形，也可能有两个相对的面是正方形，相对的面面积相等。每一组互相平行的四条棱长度相等。a—长b—宽h—高Vabh长方体S2(abahbh)典例剖析【例1】用丝带捆扎一种礼品盒如下，接头处长25厘米，要捆扎这种礼品盒需准备（）长的丝带比较合理。A、10分米B、21.5分米C、23分米D、30分米31小升初数学培优讲义【例2】一个正方体的上下左右四个面上分别标上了1、2、3、4四个字，这个正方体向右翻滚一周？B、B、小升初数学培优讲义【例3】如图，把一个面的面积是4平方厘米的三个相同的正方体拼成一个长方体，这时【变式练习】1、把一根长8米的长方体木料，锯成4个一样长的正方体木料，表面积增加了多少平方米？2、用12个体积为1立方厘米的小正方体可以摆成体积为12立方厘米的不同长方体，拼成的长方体中，表面积最小的一个是多少平方厘米？【例4】如图是由棱长1厘米的正方体拼成的图形，它的表面积是多少？体积是多少？小升初数学培优讲义【例5】一个长方体的高减小2厘米后，成为一个正方体，那么表面积减小48平方厘米，这个正方体的体积是多少？【变式练习】1、一个长方体，如果高增加3厘米就变成一个正方体，这时表面积比原来增加108平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？小升初数学培优讲义ah小升初数学培优讲义A、温故知新小升初数学培优讲义5、一块长8分米、宽6分米、高5分米的长方体纸盒，最多能方下多少个棱长为2分米的正方体木块？6、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？7、将长是30厘米的长方体截成四段，这样表面积就增加了240平方厘米。则这个长方体原来的体积是多少立方厘米？B、拓展提升1、一个表面涂色的长方体木棒，长5厘米、宽1厘米、高10厘米，把这根木棒切成棱长是1厘米的小正方体，三面涂色的小正方体有多少个？让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义2、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？3、老师用泥巴做了一个长方体，如果把这个长方体的长增加2厘米，体积就增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，体积就增加90立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加96立方厘米。求原长方体的表面积是多少？4、有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形。当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出，求容器内的水有多少升？38小升初数学培优讲义小升初数学培优讲义第42讲圆柱和圆锥考点解读3、命题趋势：主要以圆柱体和圆锥体的表面积与体积计算为主，并结合比的应用来进行考察。知识梳理名图形特征字母意义表面积S、体积V有三个面，上下两个底面是相等的两个圆，侧面展开是一个长方形或正方形。这个长方形的长就是底面圆的周长，宽就是圆柱的高。两个底面之间的距离叫做圆柱的高，高垂直于上下两个底面，圆柱有无数条高。c2rr—底面半径Sch2rh侧r2h—高S圆底c—底面周长SS2S表侧底柱2rh2r2VShr2h底有两个面，底面是圆，侧面展开是一个扇形。圆锥只有一个顶点，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。圆锥只有一条高。r—底面半径h—高V1Shr2h1圆33底锥c—底面周长典例剖析【例1】已知一根圆柱体木料长4米，如果把它锯成3段，表面积就会增加12平方分米，3段用了3分钟，那么把它锯成6段要这根木料的体积是立方分米。如果锯成分钟。让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【变式练习】1、把一个底面周长是18.84分米，高4分米的圆柱，沿底面直径切成两个半圆柱后，表面积共增加了平方分米。2、一根2米长的圆柱体木材，锯成3段小圆柱后，它的表面积总共比原来增加了12.56平方分米，原来这根木材的体积是多少？【例2】一个正方形木块的棱长是2dm，现在把它削成一个最大的圆柱，该圆柱的侧面积是，圆柱的体积占原来正方体体积的%.【变式练习】1、把棱长2分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？41小升初数学培优讲义2、一个圆柱形水池，从里面量得底面直径是8米，深3.5米。在这个水池的底面和四周抹【例3】一个圆锥形沙滩，底面半径是5米，高是2.7米，如果每立方米沙重2000千克，【变式练习】1、一个圆锥形沙堆，底面周长是31.4米，高是1.5米，用这堆沙铺在一个长125米，厚0.1米的路面上，可以铺多宽？2、一个装满粮食的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱底面的周长是62.8米，高2米，圆锥的高是1.2米。这个粮囤能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重500千克，这个粮囤最多能装多少吨？（保留一位销售）小升初数学培优讲义【例4】把一个圆柱形状的木头削成一个最大的圆锥，已知削去的体积是24立方米，则圆锥的体积是立方米。【变式练习】1、已知一个圆锥形的容器可以盛满水34立方米，现在将该玻璃容器用圆柱形塑料盒进行包装，则该塑料盒的体积最小是多少立方米？2、圆柱和圆锥底面积相等，体积也相等，圆柱的高是15厘米，求圆锥的高是多少厘米？【例5】如图，该圆柱形玻璃容器的底面直径为10厘米，里面装有水，水中浸没着一个底面直径为8厘米，高15厘米的圆锥形铅锤，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？小升初数学培优讲义1、如图中，瓶底的面积和锥形高脚杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形被子中，能倒满几杯？2、有两个空的玻璃容器（如图），先在圆锥形容器里注满水，再把这水倒入圆柱形容器中，圆柱形容器里的水深多少厘米？A、温故知新1、用铁皮做一个底面直径为6分米，高为8分米的圆柱形无盖水桶，至少要用多少平方米小升初数学培优讲义6、一段长4分米的圆柱体木料，横截面积是9.42平方分米，利用它加工成一个尽可能大的圆锥体木质零件，这个零件的体积是多少？小升初数学培优讲义器后，这时水深多少厘米？小升初数学培优讲义B、拓展提升让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义第43讲燕尾模型和等积变换考点解读1、考察范围：①多边形面积计算公式；②图形的折叠与对称；③几何模型与面积计算结合。2、考察重点：能灵活运用和差法、转换法、割补法和等积变换及相应几何模型解面积问题。3、命题趋势：主要以转换法、割补法和等积变换模型来进行考察的题型比较多，并要求结合多边形的面积公式来计算结果。知识梳理1、公式SSS三角形2、方法边长边长S长宽长方形正方形底高S（上底下底）高2梯形平行四边形底高2高S2底底S2高三角形三角形①和差法：通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和与差来求面积。②割补法：将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式计算。③转换法：通过平移、旋转、对称等方法将不规则图形转化成面积相等的规则图形。④等积变换模型：相等面积或等体积之间的图形变形。⑤燕尾定理：如图，在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么有如A:BD:DC下结论SSACOABO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和EFACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.OBCD典例剖析【例1】如图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？小升初数学培优讲义【例2】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD的边长是10厘米，则图中阴影部分面积为多少平方厘米？【例3】如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2，长方形EFGH的面积是多少？小升初数学培优讲义【例4】如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是多少？50小升初数学培优讲义1、平行四边形ABCD的周长是102厘米，以CD为底时，高为14厘米；以BC为底时，高为20厘米，求平行四边形的面积是多少？【例6】如图，已知BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积。AEFBDC【变式练习】1、如图，三角形ABC中，BD:DC=2:3，EA:CE=5:4，求AF:FB？小升初数学培优讲义7】ABCD是边长为AB，BC的中点，AF与CE交于G点，则四边形AGCD的面积是多少平方厘米？1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平A、温故知新AD=DE=EC，F是BC中点，G是FC中点，如果△ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？小升初数学培优讲义小升初数学培优讲义534小升初数学培优讲义B、拓展提升让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义第44讲鸟头模型考点解读1、考察范围：①多边形面积计算公式；②图形的折叠与对称；③几何模型与面积计算结合。2、考察重点：能灵活运用和差法、转换法、割补法和等积变换及相应几何模型解面积问题。3、命题趋势：主要以转换法、割补法和等积变换模型来进行考察的题型比较多，并要求结合多边形的面积公式来计算结果。知识梳理1、公式S正方形S平行四边形S三角形2、方法S长宽长方形底高S（上底下底）高2梯形底高2高S2底底S2高三角形①和差法：通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和与差来求面积。③转换法：通过平移、旋转、对称等方法将不规则图形转化成面积相等的规则图形。④等积变换模型：相等面积或等体积之间的图形变形。⑤共角定理（鸟头模型）：小升初数学培优讲义【例1】如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是多少？【变式练习】1、如图在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，△ADE的面ADEBC小升初数学培优讲义【例2】如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2，△ADE【变式练习】【例3】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AE乙甲CBD【变式练习】1、如图，三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，△ADE的面积是20平方厘米，△ABC的面积是多少？小升初数学培优讲义BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC【变式练习】1、设AD1AB,BE1BC,FC1AC,如果三角形DEF的面积为19平方厘米，那么三角形534ABC的面积是多少平方厘米？CFEADB【例5】一只小鸟ABC，后来长成大鸟XYZ了。AB先长出一倍到X；BC再长出两倍到Y；CA再长出三倍到Z；问大鸟是小鸟面积的几倍?【变式练习】1、如下图，将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB的边延长2倍到E，AC边延长1倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是多少？DAEBCF小升初数学培优讲义【例6】图中△ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍。那么△AEF的面积是多少平方厘米？【变式练习】1、如图在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，△ADE的面积是12平方厘米，求△ABC的面积？ADEBC小升初数学培优讲义12、如图，正方形的边长是6厘米，并有31AEECCFBC,求△DEF的面积？，3BE1AB，已知四边形EDACD为BC的中点，E为AB上的一点，且33、如图，在△ABC中，的面积是35，求三角形ABC的面积？AEBDC4、如图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC,求四边形DGEF的面积占△ABC面积的几分之几？B、拓展提已知长方形ABCD的面积是96，E是AD边上靠近D点的近C点的四等分点，G、H分别是AB，BC边上的中点，图升1、如图，三等分点，F是CD边上靠中阴影部分的面积是EADFGCBH让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义第45讲蝴蝶模型与相似模型考点解读1、考察范围：①多边形面积计算公式；②图形的折叠与对称；③几何模型与面积计算结合。2、考察重点：能灵活运用和差法、转换法、割补法和等积变换及相应几何模型解面积问题。3、命题趋势：主要以转换法、割补法和等积变换模型来进行考察的题型比较多，并要求结合多边形的面积公式来计算结果。知识梳理1、公式S正方形S平行四边形S三角形2、方法S长宽长方形底高S（上底下底）高2梯形①和差法：通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和与差来求面积。②割补法：将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式计算。③转换法：通过平移、旋转、对称等方法④等积变换模型：相等面积或等体积之间的图形变形。DAS1S4S2OS3BCCB任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：或者SSSS②AO:OCSS:SS3①S:SS:S12431324124蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义（4）S=S24(一)金字塔模型(二)沙漏模型AFEDADFEBCCGBG；ADAEDEAF①ABACBCAGADEAF2ADAES②SAG2ABACABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．典例剖析【例1】如图，DE平行于BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长？AEDBC让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【变式练习】1、如图已知DE平行于BC，且BO:EO=3:2，那么AD:AB=？ADEBC【例2】如图，已知DE平行于BC，且AD:DB=2:3，那么S:S=。△ADE△ECBAEDBC【变式练习】3、如图，已知△ABC中，DE平行于BC，若AD:DB=2:3，且S比S大8.5cm2，求△梯形DBCE△ADEABC的面积？ADECB【例3】如图，S=2，S=4，求梯形的面积？23S1S2S4S364小升初数学培优讲义1、如图，如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【例4】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_____平方厘米。1、如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是5平方厘米，△CED的面积是10平方厘米。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【例5】如图，正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。CBGDAM65小升初数学培优讲义1、如图，已知E是CD的中点，阴影部分的面积是1，求正方形ABCD的面积是多少？【例6】如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，四边形EFGH的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积？平方厘米．DPCMONAB2、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为______。小升初数学培优讲义7】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？1、如图所示，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：①三角形BGC的面积；②AG:GC是多少？AD123GBC课后精练A、温故知新1、四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O（如图所示），如果△ABD的面积等于△BCD1的面积的，且A