初中生数学学习方法指导

初中生数学学习方法指导第1页，共65页，2023年，2月20日，星期日第2页，共65页，2023年，2月20日，星期日第3页，共65页，2023年，2月20日，星期日学生的成绩永远是教师、家长、社会最关心的话题之一家长说：看到孩子拿着60分的试卷回家，心里说不出的滋味，孩子就是不喜欢数学，看到数学就厌烦......老师说：唉，费了九牛二虎之力学生的数学成绩还不见起色......专家说：只有教不好书的老师,没有教不好的学生.....校长说：学生成绩不好,你要用心提高,否则要你下岗......第4页，共65页，2023年，2月20日，星期日

我们的数学到底怎么了？学生为什么不喜欢数学呢？原因我想大致是以下几个方面：其一，过去所使用的数学教材太抽象、太枯燥，一个数学概念，不问因何而产生，也不提有什么用处，上来就给出定义，接着就是定理，再就是例题。著名数学大师丘成桐说过：“数学并不枯燥，而是我们把它教枯燥了。”其二，尽管新编的数学教材加了不少科普内容，与实际联系紧密了，但仍旧不足以令学生两眼放光。其三，我们的数学忽视了对学生内动力的培养，忽视了对学生广泛的数学能力和全面的数学文化素养的养成。第5页，共65页，2023年，2月20日，星期日数学好玩了，学生才有兴趣

“数学好玩”，是2002年8月，91岁的数学大师陈省身先生致中国少年数学论坛开幕的题词。

数学是什么？有学生说：“数学是一些居心叵测的成年人为学生挖的陷阱！”另有学生说：“数学是一些仅仅出现在课本和试卷上的，让某些老师看着学生崴脚而感到窃喜的东西。”这些学生的幽默回答却不免让授课的老师们感到悲哀，原来他们这些用尽心力教学的老师，在学生心目中无非是一些挖坑布雷的高手，而数学竟成为老师惩治学生的工具。

“数学好不好，其实与学习方法有关。”

——和田秀树第6页，共65页，2023年，2月20日，星期日谁能给数学差的孩子一条“体面”的出路？

孩子上课坐不住，老师讲完没效果，培训班换了好几个，孩子的数学成绩还是一塌糊涂……经常听到家长们诸如此类的抱怨。不知从什么时候开始，中小学生不喜欢数学已经不再是新闻，数学在孩子的心目中已经成了枯燥、乏味的代名词，很多父母表示：面对孩子的数学学习问题感到很棘手。导致初中学生数学成绩差的原因

1.基础知识薄弱2.缺乏学习兴趣3.学习方法不当而导致初中学生数学成绩差的原因又是什么呢？第7页，共65页，2023年，2月20日，星期日

数学的知识点连贯性比较强，相对于其它课目的难度要略大一些，正是因为如此，许多学生学习起来感到相当的困难和吃力，以至于对学习数学兴趣不高，甚至产生厌学、畏学的情绪。当家长们想尽一切办法想让孩子把数学学好时，换来的却是孩子非常强烈的抵触情绪。作为中学的主要课程，孩子却不愿意学习，并且怎么学成绩都得不到提高，究竟是什么原因呢?答案显而易见，那就是学习兴趣和学习方法。孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”所以，想要孩子的数学成绩得到提高，就需要想方设法培养孩子学习数学的兴趣以及学习数学的方法。但需要我们注意的是，提高孩子对数学的兴趣和掌握学习方法不能只是一句空话，关键在于能够唤起孩子的好奇心，然后加以满足。第8页，共65页，2023年，2月20日，星期日一、初中生数学学习存在的主要障碍三、组织有效教学二、如何指导学生学习第9页，共65页，2023年，2月20日，星期日一、初中生数学学习存在的主要障碍1.依赖心理数学教学中，学生普遍对教师存有依赖心理，缺乏学习的主动钻研和创造精神．一是期望教师对数学问题进行归纳概括并分门别类地一一讲述，突出重点难点和关键；二是期望教师提供详尽的解题示范，习惯于一步一步地模仿硬套．事实上，我们大多数数学教师也乐于此道，课前不布置学生预习教材，上课不要求学生阅读教材，课后也不布置学生复习教材；习惯于一块黑板、一道例题和演算几道练习题．长此以往，学生的钻研精神被压抑，创造潜能遭扼杀，学习的积极性和主动性逐渐丧失．在这种情况下，学生就不可能产生“学习的高峰体验”--高涨的激励情绪，也不可能在“学习中意识和感觉到自己的智慧力量，体验到创造的乐趣”第10页，共65页，2023年，2月20日，星期日2.急躁心理一是未弄清题意，不认真读题、审题，没弄清哪些是已知条件，哪些是未知条件，哪些是直接条件，哪些是间接条件，需要回答什么问题等；二是未进行条件选择，没有从贮存的记忆材料中去提取题设问题所需要的材料进行对比、筛选，就急于猜解题方案和盲目尝试解题；三是被题设假象蒙蔽，未能采用多层次的抽象、概括、判断和准确的逻辑推理；四是忽视对数学问题解题后的整体思考、回顾和反思，包括“该数学问题解题方案是否正确？是否最佳？是否可找出另外的方案？该方案有什么独到之处？能否推广和做到智能迁移”等等．第11页，共65页，2023年，2月20日，星期日3.定势心理定势心理即人们分析问题、思考问题的思维定势．在教师习惯性教学程序影响下，学生形成一个比较稳固的习惯性思考和解答数学问题程序化、意向化、规律化的个性思维策略的连续系统—-解决数学问题所遵循的某种思维格式和惯性.它一方面有利于学生按照一定的程序思考数学问题，比较顺利地求得一般同类数学问题的最终答案；另一方面这种定势思维的单一深化和习惯性增长又带来许多负面影响，如使学生的思维向固定模式方面发展，解题适应能力提高缓慢，分析问题和解决问题的能力得不到应有的提高等．第12页，共65页，2023年，2月20日，星期日在一节中学数学课上，老师出了一道难题：8减6是2，8加6也是2，有这种可能吗？请给以证明。一位男生站起来回答：“数学上，8减6是2，但8加6也是2却是不可能的。一个明显不可能的问题作为可能被提出来，肯定有它可能的因素，所以，8加6是2是可能的。数学上既然没有这种可能，生活和自然中肯定有这可能。譬如，上午8点的6个小时之前是凌晨2点，6个小时之后是下午2点。”请找出和其它3个图形不一样的选项，并说出原因第13页，共65页，2023年，2月20日，星期日4.偏重结论偏重数学结论而忽视数学过程，这是数学教学过程中长期存在的问题．从学生方面来讲，同学间的相互交流也仅是对答案、比分数，很少见同学间有对数学问题过程的深层次讨论和对解题方法的创造性研究．至于思维变式、问题变式更难见有涉及．从教师方面来讲，也存在自觉不自觉地忽视数学问题的解决过程，忽视结论的形成过程，忽视解题方法的探索，对学生的评价也一般只看“结论”评分，很少顾及“数学过程”．从家长方面来讲，更是注重结论和分数，从不过问“过程”．教师、家长的这些做法无疑助长了中学生数学学习的偏重结论心理．发展下去的结果是，学生对定义、公式、定理、法则的来龙去脉不清楚，知识理解不透彻，不能从本质上认识数学问题，无法形成正确的概念，难以深刻领会结论，致使其智慧得不到启迪，思维的方法和习惯得不到训练和养成，观察、分析、综合等能力得不到提高．此外，还有自卑心理、迷惘心理、厌学心理、封闭心理等等．这些心理障碍都不同程度地影响、制约、阻碍着中学生学习数学的积极性．第14页，共65页，2023年，2月20日，星期日4.家庭的功利化教育学校不单单是应试教育的“重灾区”，家庭也是功利化教育不可忽视的主阵地。望子成龙的文化心理，“不能输在起跑线上”的现实焦虑，使家庭教育一开始就带有很强的功利色彩。在教育发达国家，父母基本认同的事实是：各个年龄段的孩子中，特别优秀的只有5%到10%，自己的孩子是特别优秀还是比较普通，父母会有比较理性的认识；而中国家长则不然，绝大多数家长都希望孩子成为名列前茅的优秀分子，并严格按照这样的标准培养孩子。杨东平：家庭教育被绑架家长成为应试教育帮凶第15页，共65页，2023年，2月20日，星期日二、如何指导学生学习1.指导学生预习预习是学会学习的一个重要环节。教育家叶圣陶曾说过：“要养成学生的阅读书籍的习惯，就非教给他们预习不可。”预习是上课前对即将学习的数学内容进行阅读，了解其梗概，做到心中有数，以便于掌握听课的主动权。预习是独立学习的尝试，对学习内容是否正确理解，能否把握其重点、关键，洞察到隐含的思想方法等，都能及时在听课中得到检验、加强或矫正，有利于提高学习能力和养成自学的习惯，所以它是数学学习中的重要一环。教师指导学生预习不是让他们单一地看书做题，而是给他们一些基本模式，不同的学习内容预习的模式也不能相同。第16页，共65页，2023年，2月20日，星期日东庐的经验东庐中学制定和使用讲学稿，首先由教师集体备课，制定出讲学稿，提前发给学生，上课时，师生共同使用，完成讲学稿，做到课前、课后两次收阅，以讲学稿为载体，成为教学过程中的突出特点，达到了国家课程校本化。在东庐中学，班班使用讲学稿，人人使用讲学稿。讲学稿指的是教案、学案、作业、测试和复习资料于一体的师生共用的教学文本，是教师集体备课（包括备课标、备教材、备学生、备练习、备考试）的结晶。实行教师超前备课，同备课组进行捆绑式考核，实行“考教合一”的做法。第17页，共65页，2023年，2月20日，星期日导学案

导学案是用于帮助和引导学生自主学习、合作展示梳理探究的学习方案，导学案的设计应充分体现新课改理念，必须以学生为主体，让学生自主发展，做学习的主人。我们的导学案安排了以下环节：“学习目标——自学指导——随堂检测——例题精讲——达标测试——知识链接——总结反思”，其中自学指导就是对学生的预习提出指导性的建议。导学案的目的就是培养学生自主学习的能力，其编制要有利于对学生的“导”，即“导学、导思、导练、导讲”。第18页，共65页，2023年，2月20日，星期日2、指导学生整理知识结构数学家华罗庚先生说过：“书应当越读越薄”，书如何能越读越薄呢？这就需要指导学生整理知识结构，提高概括的能力。这不仅减少不必要记忆的数量，便于记忆重要的东西。更重要的是提高学生迁移能力,学习中对所学习的知识进行概括，就能顺利完成从一个情境到另一个情境的迁移。通过概括这种思维方式促进学生的智力发展。我认为指导学生概括知识结构是教师“教”的一个重要环节。同时学生概括知识结构也是学的一个重要方面。例如学习反比例函数时，把反比例函数与一次函数概括在一起。列出如下一个表格：

定义图象性质一次函数

反比例函数

第19页，共65页，2023年，2月20日，星期日

当学习二次函数时学生自然会再加一个横格，把二次函数纳入这一知识结构之中。第20页，共65页，2023年，2月20日，星期日宜兴实验中学的经验----结构尝试教学法宜兴市实验中学提出建构知识树，也就是对章节都进行了知识梳理，以网络状图表的形式展现，成为课堂教学特色。运用“结构—尝试”教学思想，以“小组合作学习”为主要形式，开展教学实践第21页，共65页，2023年，2月20日，星期日结构尝试教学法的基本思想

⒈教给学生学科的基本结构，即学科基本概念、原理、法则、思想方法及其内在联系，学生就能有效地掌握学科基础知识并解决学科基本问题。⒉以知识树或纲要信号的其它形式能直观有效地呈现并揭示知识结构的内在联系⒊课堂教学中应创设问题情景，促进学生自主建构概括化、结构化的知识内容和方法程序。⒋学习不同的知识类型，要优化设计不同的教学过程和方法。结构尝试教学法的基本环节反馈预习明确目标知识为例探寻方法变式训练感悟验证当堂检测应用提高回归系统深化理解第22页，共65页，2023年，2月20日，星期日结构尝试教学法的教学设计⒈合理设置并有效陈述教学目标。（我们把学生带到哪里）⒉优化设计教学过程和教学方法。（怎样把学生带到那里）⒊有效组织教学效果的检测和评价。（学生是否已到那里）第23页，共65页，2023年，2月20日，星期日第24页，共65页，2023年，2月20日，星期日第25页，共65页，2023年，2月20日，星期日第26页，共65页，2023年，2月20日，星期日第27页，共65页，2023年，2月20日，星期日乘方(意义)科学计数法幂单项式×单项式单项式×多项式多项式×多项式因式分解整式乘法开方n代数案例（概括化、结构化的知识内容）第28页，共65页，2023年，2月20日，星期日几何案例（概括化、结构化的知识内容）第29页，共65页，2023年，2月20日，星期日式数实数有理数无理数分类运算分式整式二次根式整式概念整式加减整式乘除因式分解数与式加减乘除乘方方程的运算逻辑线索和知识网络合并同类项字母不变，系数相加减第30页，共65页，2023年，2月20日，星期日有理数的加减法正数和负数有理数乘方乘法近似数有理数的乘除法有理数的乘方加法减法科学技术法除法有理数数轴绝对值相反数概念和分类分类思想数形结合思想转化思想（利用相反数）运算法则运算律转化思想（利用倒数）运算法则运算律有理数大小比较逻辑线索和知识网络第31页，共65页，2023年，2月20日，星期日3、把“双基”的培养真正落到实处后六中学的经验后六中学，提出"常规+细节+过程=奇迹"，就是要把常规做好，把细节抓紧，把过程抓实。作业的管理很严格，特别是老师布置的作业必须及时批阅，自己来不及批阅的作业坚决不允许布置。向45分钟要效益，评价一节课，绝不是教师在45分钟里教给学生多少，而应该是教会了学生多少，学生已掌握了多少。洋思的经验

先学后教，当堂训练，实行“日日清，周周清，月月清”。做的实在、到位、有效。第32页，共65页，2023年，2月20日，星期日

4、处理好“看”、“听”、“思”、“记”的关系（1）“看”就是上课要注意观察，观察教师的板书的过程、内容、理解老师所讲的内容．（2）“听”是学生直接用感官接受知识，应让学生在听的过程中明确：a:听每节课的学习目的和学习要求．b:听新知识的引入及知识的形成过程．c:理解教师对新课的重点、难点的剖析（尤其是预习中的疑问）．d:听例题解法的思路和数学思想方法的体现．（3）“思”是指学生思考问题．没有思考，就发挥不了学生的主体作用．古人说的好“学而不思则罔.”学生是学习的主人，在课堂上对于老师的讲解，学生不仅仅只是会做，而且要经常思考;在思考方法指导时，应使学生明确：第33页，共65页，2023年，2月20日，星期日a:多思、勤思，随听随思．b:深思，即追根溯源地思考，要善于大胆提出问题，如：本节课教师为什么要这样讲？这道题为什么要这样做？等等．c:善思，由听和观察去联想、猜想、归纳．d:树立辩证意识，学会反思。可以说“听”是“思”的基础，“思”是“听”的深层次掌握，是学习方法的核心和本质的内容，会思考才会学习．（4）“记”是指学生记课堂笔记．初一学生一般不会合理记笔记，通常是教师黑板上写什么学生就抄什么，往往是用“记”代替“听”和“思”．有的笔记虽然记得很全，但收效甚微．因此在指导学生作笔记时应要求学生：记要点、记疑问、记易错点、记解题思路和方法、记老师所补充的内容第34页，共65页，2023年，2月20日，星期日5.培养学生反思的习惯教师可以在课上先结合习题给以指导，给时间让学生进行反思，并对反思的结果进行交流，互相学习，不断提高学习反思的能力和自觉性．逐渐地，学生上完课后能够会反思了，也有了主动性．第35页，共65页，2023年，2月20日，星期日高考状元的经验清华大学侯华伟：1、近乎痴迷的兴趣；2、持之以恒、百折不挠的毅力；3、事半功倍的方法.“数学好的人都聪明”这句话的逆命题“聪明人数学一定好”，这两个命题都有些问题。因为在我们身边，就有许许多多的聪明人的数学并不好；而好多数学学习好的学生不见得有多聪明，那么他们为什么能够取得理想的数学成绩呢？原因是他们掌握了比较好的数学学习方法北京大学段楠：我能学好数学是背例题背出来。我不喜欢题海战术，喜欢从每种类型的题中找出一两道典型题“背”过一两次，理解之后，再看到难题就会拿着例题往里套了。日本学者和田秀书不懂的问题，直接看解答，先背起来再说。如此一来，一题一般只要5分钟便背下来，从量来看，可以追赶得上成绩好的同学。第36页，共65页，2023年，2月20日，星期日北京市十三中的高考状元冯平平:教材试卷化，试卷教材化第一步:把试卷依照教材的顺序清理好，并编上序号。因为试卷基本都是按教材走的，清理起来并不费劲。第二步:在试卷的开始处写上一段“导语”。主要内容有：一是此试卷考什么，二是与考试有关的知识要点。第三步:在试卷结尾处，写上一段“小结”，总结自己考试情况，写出自己在知识上的缺陷。清华大学余林:回过来做课本上的题1.课本上的习题，是编教材的老师费尽心思、反复考虑才挑选出来，是最具代表性的题，是最具代表性的题，是最好的题，值得去做2.一般来讲，课本上的习题，尤其注意与概念、公式、定律的联系，而数学成绩不太稳定的同学的一大通病，就是基础不劳，概念、公式、定律等掌握得不是很好，为此也值得去做课本上的题3.课本上的习题，有的老师讲过，有的教参书上有比较详细的讲解，比较容易做对，从而增强自己的信心第37页，共65页，2023年，2月20日，星期日贵州文科第二名张正伟:先求快，再求准自己计时做题，要求在规定时间内完成，然后自我改卷平分。先求“快”，力求做完，再求“准”。北大蔡珍:专攻大题路虽远,行则必至,事虽难,做到必成第38页，共65页，2023年，2月20日，星期日三、组织有效教学1、教师上课应关注让学生学会思考当学习内容和学习目标确定后，我们更强调的是学生对那些隐藏在数学后面的概念的理解，从而在口头上和书写中能够运用他们所学的东西进行交流，而不是对数学的死记硬背。我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手，学会思考，让孩子把自信建立在自己的能力之上，从而去珍视数学。我们的课程是让学生积极参与到学习中，通过循序渐进、适当的教学活动去学习具体的操作计算。举个例子，这是在我们县举行的公开课上一位教师主讲的《二元一次方程组——实践与探索》教学片断：第39页，共65页，2023年，2月20日，星期日

大屏幕展示世界杯球赛图片，教师解说，接着引出问题：某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车去比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威。可租用的汽车有两种:一种每辆可乘坐8人，另一种每辆可乘坐4人，要求租用的汽车不留空座，也不超载。你能设计出几种不同的租车方案？师：小组讨论，相互交流，给大家8分钟时间。教师让各小组派代表汇报情况。生1：我们设计出了四种方案。方案一：9辆小车。方案二：1辆大车，7辆小车。方案三：2辆大车，5辆小车。方案四：3辆大车，3辆小车。师（认真地听）：很合理的方案！我们再来看看其他组有没有不同的想法？第40页，共65页，2023年，2月20日，星期日生2：我们组还要补充一种方案——4辆大车，1辆小车。师：大家说对吗？（学生表示同意。）还有没有别的方案了？（学生表示没有了。）好，我请一个小组说出你们的解题思路及办法。生：我们是逐个验证的。师：怎么去验证呢？生：根据题中的条件，不留空座也不超载，那就说明座位数等于人数。36能被4整除，所以我们可以只选小车，最多选9辆，然后逐个增加大车数量而减少小车的数量。师：想法非常好！师：哪个小组还有不同的办法？生：我们用直观的数学式子表示出来，让所有人都能一目了然！（这个小组非常自豪。）设大车为x辆，小车为y辆，则4x+8y=36。师：太棒了！大家同意他的观点吗？（学生表示同意。）第41页，共65页，2023年，2月20日，星期日师：的确，他们组以简洁直观的式子表示出了要讨论的内容，省去了大段的文字叙述，这就体现了数学的简洁美！4x+8y=36这其实就是一个二元一次方程，我们知道它的解有无数多个，为什么你们只选了5个呢？生：因为x和y分别表示车辆的个数，它只能取整数，而且必须是正整数。师：我有一个小小的不同的意见，0是正整数吗？按照你的说法我们的第一种方案就不合理了！生：我说错了，x=0也行，x,y应该是非负整数。师：你说得太好了！大家再考虑这道题归根结底我们是要找什么？生：二元一次方程组的非负整数解。师：我们再来观察一下我们找到的这个方程4x+8y=36……（老师未来得及说完。）生：我发现，这个方程的两边可以同时除以4，得到x+2y=9师：你太厉害了。你给大家找到了一个解决这类问题的捷径，我们化简这个方程之后求解应该更方便些。……第42页，共65页，2023年，2月20日，星期日【案例评析】此情形中，教师成功地扮演了一个倾听者，加强了课堂讨论的环节，让学生在讨论中获得知识，学会与学生交流合作；同时，在小组汇报的过程中每次提问都给学生自由的空间，通过不同学生的思维成果展示和比较，优化学生解决问题的思维模式。教师作为引导者，帮助学生认识错误并吸取其中的合理成分，走向成功；当学生陷入困境时，积极引导并鼓励其重新点燃思维的火花，使他们树立探索发现的信心。整个教学过程，学生是在愉悦和谐的气氛中度过的，他们自始至终处于主体地位，他们的兴趣与动机、意志与自信、情感与态度在“听”和“说”的过程中都得到了发展。这节课上，教师不但做了一个倾听者，而且和学生的对话适时适度，恰到好处。第43页，共65页，2023年，2月20日，星期日再举个例子，我们教材中关于《鸡兔同笼》的计算：

笼中有若干只鸡和兔，它们共有5个头和14只脚，问鸡兔各有多少只？

《二元一次方程组的应用问题》教学片段大屏幕展示：一个笼子里有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140条腿，问笼中鸡和兔子各有多少只？师：我请同学说说解题思路及方法。生1：设鸡的只数为x只，兔的只数为y只。由题意可得以下方程组：

（生2举手示意有不同的方法。)师：很好，答案正确！我们看下一题。（老师不予理会生2，没有去听举手的同学想说什么。）第44页，共65页，2023年，2月20日，星期日【案例评析】此情形中，教师的做法是不可取的。我曾经私下问过这位教师，是没看见生2举手，还是别的什么原因。这位教师说，生1已经回答正确了，再听生2的，怕耽误时间，完不成教学进度。我想这位教师不仅剥夺了一个学生表达自我的机会，还反映出教师本身不具备倾听学生之言和培养学生学会倾听的意识。只有让学生在课堂上学会倾听教师的讲解，倾听同学的发言，在听的过程中培养独立思考的能力，获取知识、经验，才能使学生获得情感体验。第1个老师的成功之处，就是充分激发了学生回答的积极性，并通过师生互动，肯定了学生的思考，使学生把数学和生活有机、自然地联系起来了，拉近了数学与生活、数学与学生的距离。对话中学生的主体地位与教师的主导作用得到了充分的展示，这才是理想的课堂。第45页，共65页，2023年，2月20日，星期日在许多人眼里，这完全是一个计算问题。设兔为x，鸡为y，x+y=5；4x+2y=14到底我们该把它看作算术教学，还是数学教学？让我们来看美国的数学教师是怎样处理类似问题的：

某个住在湖边的老人养有狗和鸭子。某天，老人看到5个头和14只脚。老人看到的是多少条狗？多少只鸭？（以下是课堂实录）老师：能不能找到解决问题的方法？学生们纷纷要求回答问题。学生A：要找到答案并不难，只要两个公式：一个解决脚的问题，另一个解决头的问题……老师制止学生A继续往下讲，说道：“很好！谁来设计这两个公式？”学生B：设狗为x，设鸭为y；4x+2y=14学生C写道：x+y=5老师：这两个公式对不对？学生七嘴八舌：“对啦！”

第46页，共65页，2023年，2月20日，星期日老师：现在我们不要去计算答案。我们按照这两个公式来推理，看看答案是否合理……大家你望我，我望你。不让计算，却去猜答案。老师葫芦里卖的什么药？老师：犯愁了？不错！我们现在不打算去计算准确的答案，我们只是去猜测大致的答案。学生仍然丈二和尚摸不着头脑……老师:既然你们不回答，那我就来问你们，5条狗和4只鸭，对不对？学生哄然：不对！5条狗和4只鸭，一共是9个头，老人只看到5个头。老师：那么，谁能告诉我，狗脚和鸭脚的数目？学生们又是你望我，我望你，不知所措……老师：如果我告诉你们，狗不少于4条。你们认为怎么样？第47页，共65页，2023年，2月20日，星期日学生B：不对，请看看我设计的公式：脚的总数是14，而4条狗就有16条腿。除非老人喝醉了，把自己的脚也数进去了！哄堂大笑！老师：非常好！那能不能是3条狗呢？学生们陷入思考……学生C：那也不对！老师很感兴趣地问：“为什么？”学生C：除非有1只鸭子，少了两条腿。您看我设计的公式，总共有5个头。3条狗有12只脚。要符合5个头，14只脚的条件，就只剩两个鸭头，两只鸭脚。因此，除非有1只鸭没有脚……又是一阵哄堂大笑！老师：好吧，让我们假设所有的狗和鸭子都是进化完整的，没有缺胳膊少腿的。那么，该有多少只鸭子呢？学生再没有像前面那样沉默，而是议论纷纷学生D：不管怎么说，前提是不能超过5个头，14只脚。老师：如果狗少于3只，我们能在鸭子的数量上做什么文章呢？第48页，共65页，2023年，2月20日，星期日学生E：这就是说，鸭子必须是3只以上。因为，头的总数是5个，狗少于3只，鸭子没有3只以上凑不够5只。老师：有道理。狗只能少于3只，鸭不能少于3只。那么，我们应该寻找的下一个线索是什么呢？学生思索……老师：如果是3只鸭子，鸭脚应该是……学生们：6只鸭脚。老师：对！如果是3只鸭子，6只鸭脚，狗的数目又该怎么算呢？学生A：如果狗脚不能多于12只，这就是说，狗不能多于3条，鸭子至少得有3只才能凑够5个头。3只鸭，鸭脚就是6只。于是，狗只能是2条，狗脚……老师高兴地大笑：“好！不要往下说了。请大家用公式计算吧”到了这一步，再用公式计算，简直是吃豆腐：狗是2条，鸭是3只。学生B有些不太高兴：“老师，看到您那么高兴，我倒有些费解了。这2条狗、3只鸭的答案，我们推理来推理去，花了快一节课的时间。其实，一开始就让我们拿公式来算，早就该做完了……”第49页，共65页，2023年，2月20日，星期日老师微笑着点头：“你提出了一个非常好的问题，甚至超过了‘2条狗，3只鸭’的答案。请大家想一想，为什么我们没有一开始就用公式来计算，而是花了一节课的时间来走完整个推理的过程？”学生E：我们浪费了不少时间去推论那些不正确的答案。学生C：我不同意“浪费”的说法。有时候，你不能证实一个答案是错的，你就不能证实另一个答案是对的。学生F：但是，值不值得花那么多时间？学生们七嘴八舌……老师会心地笑了：“谢谢大家！数学课不是算术，更不是用一个似懂非懂的公式去计算一个只有公式才能告诉你的答案。公式告诉你做什么？怎么做？我们充其量像个计算器。要真正理解：为什么这么做是对的？为什么那么做是不对的？问题就不那么简单了。就像知道点击电脑的什么键，电脑会怎么反应一样，那是电脑操作员的工作。只有理解：为什么点击电脑第50页，共65页，2023年，2月20日，星期日的这里会产生这个结果？为什么点击那里会产生那个结果？那才能成为电脑程序员。我们要的是通过演绎推理和归纳推理来证实和证伪某些答案，以及在这个过程中所培养和锻炼的推理能力。”

美国著名心理学家布鲁纳说：“学习者不应是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程中的主动参与者。”教师应充分信任学生，把学习主动权交给学生，让学生的学习主动性得到充分发挥。我们教育培养的是聪明的孩子，美国教师教育培养的是智慧的学生。

日本的教师给他的学生讲完中日“甲午战争”布置了这样一道历史试题：“日本跟中国每一百年就打一次仗，19世纪打了日清战争（即甲午战争），20世纪打了一场日中战争（即抗日战争），21世纪如果跟中国开火，你认为大概是什么时候？可能的远因和近因在哪里？如果日本赢了，是赢在什么地方？输了又输在什么条件上？分析之！”第51页，共65页，2023年，2月20日，星期日

其中有个日本学生是这样分析的：“我们跟中国很可能在台湾回到中国以后，有一场激战。台湾如果回到中国。中国会把基隆和高雄封锁。台湾海峡就会变成中国的内海，我们的油轮就统统走右边。这样，会增加日本的运油成本。我们的石油从波斯湾出来跨过印度洋，穿过马六甲海峡，上中国的南海，跨台湾海峡进东海，到日本，这是石油生命线。中国如果把台湾海峡封锁起来，我们的货轮一定要从那里经过，我们的主力舰和驱逐舰就会出动，中国海军一看到日本出兵，马上会上场，那就打！按照判断，公元2015年至2020年之间，这场战争可能爆发。所以，我们现在就要做好对华抗战的准备。”第52页，共65页，2023年，2月20日，星期日举一个例子：在讲授“西安事变”一课时，大多数学校老师讲完史实后，要求学生记时间、地点、人物、事件等，以“学会”为目的，满足于考试结果。看美国老师是如何启发孩子的发散性思维：如果蒋不妥协？如果张、杨不和共产党合作？如果张、杨把蒋处死？如果蒋逃出西安……甚至让学生自己设想发散性的问题。无论哪种方式，学生都在收集材料、研究材料、组织观点的过程中，培养了“会学”的能力。2.课堂教学问题的设计要激发学生的探索的欲望

问题是数学的心脏，问题也是问题解决的起点。2000年美国《中小学数学课程标准》（草案）中指出：“解决问题不仅是数学学习的目的，也是一种主要的学习方式。当学生运用解决问题的途径去研究学习内容时，他们可以发展新的数学理解，强化运用所学数学知识的能力。”因此教师在设计问题时要提出一些探索性的问题，激发学生的探索研究的欲望。第53页，共65页，2023年，2月20日，星期日例如：教材中有这样一个问题：学校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬450元，如果按个人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？如果直接让学生解答该问题，难度较大，不符合学生的认知规律，而且该题探究性不强，抑制学生的思维空间，不利于培养学生的创新思维。所以教学时，我对问题进行了改编：课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了"学校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，"就因校长叫他听一个电话而离开了教室，留下的题你能帮他补齐吗？试试看。我给予学生足够的时间和空间，让学生自主探索，再以4人一小组相互交流，继而合作探究，学生的学习兴趣很浓，抢着发言，课堂气氛很活跃。第54页，共65页，2023年，2月20日，星期日

现把学生的补充题归类展示如下：①、两人合作，需要多少天完成？②、一人先做再两人合作，需要多少天完成？③一人先做再另一个人做，需要多少天完成？④一人先做再两人合格，然后一个人单独做，需要多少天完成？⑤有关报酬问题，学生提出问题后，我引导学生逐一地分析学生提出的问题，找出已知量、未知量，找出相等关系的关键词语，把这些实际问题抽象出一元一次方程的数学模型来解答。第55页，共65页，2023年，2月20日，星期日

《分式》教学片段师：今天我们学习新课《分式》，首先我告诉大家分式的概念：形如A/B（A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。请同学们记住概念，下面我们来看一个例题……。【案例评析】

在该情形中，上课伊始，教师直接生硬地给学生介绍了分式的概念，学生只能被动地接受，即把学生学习知识的过程归结为教师讲、学生听，教师写、学生记；上课做不完，课外继续练。因为不是按学生的知识形成过程开展教学，所以很难有好的教学效果。教师也在教学中使用了讲述与讲授基本功，但使用得过于传统，没有为新知识的学习创设情境，突兀的讲解使学生茫然而不知所措，很难调动学生学习的积极性。

第56页，共65页，2023年，2月20日，星期日例如"相似三角形的识别"一节，由于上节课已认识了相似三角形，知道用定义识别相似三角形比较麻烦。有没有更为简单一点的识别方法呢？设置悬念--引入课题，提出设问：你是否能够通过动手探索得出识别相似三角形的简便方法呢？首先让学生去猜想，教师不直接指出可行性，要求学生分组讨论验证自己的想法。（可以对一些小组进行提示：比如少一些角对应相等或少一些边对应成比例等等，让他们尽可能多地找出所有可能出现的结果，哪些成立呢？简要说明理由）。教师在本节课不忙于下结论。通过这样自主探索两个三角形的"两对应相等，两三角形相似"这一识别方法。学生自主探索中完成对知识的理解和升华，而且达到了较好的效果。第57页，共65页，2023年，2月20日，星期日3、课堂问题设计要给学生思考的空间

如果把一个知识学习的难度看成一座很难攀登的高山，那么教师引导学生登上这座高山的方法就是想办法分散难点，即寻找一些小路，迂回上去。或者是寻找登山的技巧，好的