2021年辽宁省大连市民和第二高级中学高三数学理期末试题含解析

2021年辽宁省大连市民和第二高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B2.对于函数=(其中,,),选取,,的一组值计算

和，所得出的正确结果一定不可能是A.4和6

B.3和1

C.2和4

D.1和2参考答案：D3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：A4.如图2，三棱柱的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱底面，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A．16

B．

C．

D．

参考答案：D该三棱柱的侧视图是长为4，宽为的矩形，故选D.5.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴则=．故选：C．6.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点，则的最小值为（

）A．16

B．12

C.11

D．参考答案：C7.已知全集U=R，集合，集合，则（

）A．

B．(1,2]

C．[2,+∞)

D．(1,+∞)参考答案：C8.是内的一点，，则的面积与的面积之比为（

）．

．

．

．参考答案：A9.已知集合，，则（

）A．(0,3)

B．(－1,0)

C．(－∞,0)∪(3,+∞)

D．(－1,3)参考答案：A10.已知，则的值是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：

D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数对任意实数x、y满足，若，，则用a、b表示____________.参考答案：12.某工厂生产的、、三种不同型号的产品数量之比依次为,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为

．参考答案：试题分析：因,故,应填.考点：分层抽样的方法和计算．13.若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f＝______.参考答案：1/3__略14.已知sinα﹣cosα=m﹣1，则实数m的取值范围是．参考答案：﹣1≤m≤3【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式可将sinα﹣cosα化简为2sin（α﹣），利用正弦函数的有界性即可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵m﹣1=sinα﹣cosα=2sin（α﹣），∴由正弦函数的有界性知，﹣2≤m﹣1≤2，解得﹣1≤m≤3．∴实数m的取值范围﹣1≤m≤3．故答案为：﹣1≤m≤3．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的有界性，属于中档题．15.某普通高中有3000名学生，高一年级800名，男生500名，女生300名；高二年级1000名，男生600名，女生400名；高三年级1200名，男生800名，女生400名，现按年级比例用分层抽样的方法抽取150名学生，则在高三年级抽取的女生人数为________．参考答案：20略16.若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题：①内单调递增；②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4；③之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[－4,1]；④之间存在唯一的“隔离直线”．其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号)参考答案：①②④解析：①，，，，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对任意恒成立，即有对任意恒成立.由对任意恒成立得.若则有符合题意;若则有对任意恒成立,又则有，，即有且，，，同理，可得，所以，，故②正确，③错误；④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由恒成立，若，则不恒成立.若，由恒成立，令，在单调递增，，故不恒成立.所以，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，故答案为①②④．17.已知函数，则

.参考答案：1007三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在正方体中，，为的中点，为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数，并说明理由.参考答案：（Ⅰ）证明：在正方体中，

因为平面，平面，所以平面平面.

………………4分（Ⅱ）证明：连接，，设，连接.因为为正方体，所以，且，且是的中点，又因为是的中点，所以，且，所以，且，即四边形是平行四边形，所以，

………………6分又因为平面，平面，所以平面.

………………9分（Ⅲ）解：满足条件的点P有12个.

………………12分理由如下：因为为正方体，，所以.所以.

………………13分在正方体中，因为平面，平面，所以，又因为，所以，

则点到棱的距离为，所以在棱上有且只有一个点（即中点）到点的距离等于，同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于，所以在正方体棱上使得的点有12个.

………14分

略19.（本小题满分12分）如图，棱柱ABCD—的底面为菱形，AC∩BD=O侧棱⊥BD,点F为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：平面平面.参考答案：证明：（Ⅰ）又

(Ⅱ)

又

20.（本小题满分12分）在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：21.已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、．

（Ⅰ）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；

（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．参考答案：解（Ⅰ）、、成等差，且公差为2，、.又，，，

，恒等变形得，解得或.又，.

（Ⅱ）在中，，，，.

的周长，又，,

当即时，取得最大值．略22.在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前