圆的有关证明与计算题专题

圆的证明与计算》专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：圆中的重要定理:圆的定义:主要是用来证明四点共圆.垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长(或面积)；②求线段比；③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：如图，AB是00的直径，BC丄AB,AD〃0C交00于D点，求证：CD为00的切线；如图，以RtAABC的直角边AB为直径作00,交斜边AC于D,点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是00的切线.如图，以等腰△ABC的一腰为直径作00,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE丄AC于E(或E为CF中点)，求证：DE是00的切线.如图，AB是00的直径，AE平分ZBAF,交00于点E,过点E作直线ED丄AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,求证：CD是00的切线.BB2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长)；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数

2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形1：如图1：AB是00的直径，点E、C是00上的两点，基本结论有:（1） 在“AC平分ZBAE”；“AD丄CD”；“DC是00的切线”三个论断中，知二推一。（2） 如图2、3,DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距0F（或弓形BCE的半弦EF）。4）图2如图（4）：若CK丄AB于K,4）图2如图（4）：若CK丄AB于K,则:1CK=CD；BK=DE；CK=—BE=DC；AE+AB=2BK=2AD；2/ADCs/ACBnAC2二AD・AB在⑴中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG丄CD于E时（如图5）,则：①DE=GB②DC=CG；③AD+BG=AB④AD・BG=^DG2=DC24图形2：如图：Rt/ABC中，ZACB=90°。点0是AC上一点,以0C为半径作00交AC于点E,基本结论有:2)①G是/BCD的内心；②CG=GD:③/BC0s/CDEnB0・DE二C0・CE〜CE2；24)4)在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。AE1如图（3）,若①BC=CE,贝呱②—^=tanZADR③BC：AC：AB=3：4：5；（在①、②、③中知一推二）④设AD2BE、CD交于点H,,则BH=2EH图形3：如图：Rt/ABC中，ZABC=90°，以AB为直径作00交AC于D,基本结论有:如右图：(1)DE切00oE是BC的中点；若DE切00,则：①DDE=BE=CE；D、0、B、E四点共圆nZCED=2ZACD・CA=4EE2,decdbcR~BD~BA

图形特殊化：在(1)的条件下如图1：DE#ABO/ABC、/CDE是等腰直角三角形；如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则:DEEF;®图2DEEF;®图2图形4：如图，/图形4：如图，/ABC中，AB=AC,以AB为直径作00,交BC于点D,交AC于点F,基本结论有：DE丄ACODE切00；在DE丄AC或DE切00下，有：①/DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是bf的中点。④与基本图形1的结论重合。⑤连AD，产生母子三角形。图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有图1 图2C图1 图2C(1)如图1：①AD+BC=CD； ②ZC0D=ZAEB=90°；③0D平分ZADC(或0C(1)如图1：①AD+BC=CD； ②ZC0D=ZAEB=90°；AD・BC=4AB2=R2；如图2,连AE、C0,则有：C0〃AE,C0・AE=2R2(与基本图形2重合)如图3,若EF丄AB于F,交AC于G,贝y：EG=FG.图形6：如图：直线PR丄00的半径0B于E,PQ切00于Q,BQ交直线PQ于R。基本结论有：(1)PQ=PR(/(1)PQ=PR(/PQR是等腰三角形);(2)在“PR丄0B”“PQ切00”“PQ=PR”中，知二推2PR・RE=BR・RQ=BE2R=AB^图形7：如图，/ABC内接于00,1为厶ABC的内心。基本结论有:(1)如图1,①BD=CD=ID②Dl2=DE・DA；I③ZAIB=90°+2ZACB;(2)如图2,若ZBAC=60°，则:BD+CE=BC.图形8:已知，AB是00的直径，C是BG中点，CD丄AB于D。BG交CD、ACBbc=cg=ag于E、F。基本结论有：Bbc=cg=ag1CD=—BG；BE=EF=CEGF=2DE2(反之，由CD=2BG或BE=EF可得：C是BG点)10E二—AF,0E〃AC；/0DEs/AGF2BE・BG=BD・BA若D是OB的中点，贝呱①/CEF是等边三角形；②四、范例讲解：A1.△ABP中，ZABP=90°，以AB为直径作00交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线,交BP于D.AEF(1)求证：CD为00的切线； (2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求的值。AF

2•直角梯形ABCD中，ZBCD=90°,AB=AD+BCAB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F.⑴求证：CD为0O的切线(2)若be3，求亜的值AB~5 DF如图，AB为直径，PB为切线，点C在0O上,AC〃OP。求证：PC为0O的切线。过D点作DE丄AB,E为垂足，连AD交BC于G,CG=3,DE=4,求DG的值。DBB4。如图，已知△ABC中，以边BC为直径的0O与边AB交于点D,点E为BD的中点，AF为AABC的角平分线，且AF丄EC。(1)求证：AC与0O相切；B(2)若AC=6,BC=8,求EC的长CBAA如图，Rt△ABC,以AB为直径作0O交AC于点D,求证：DF为0O的切线；若DF=3,0O的半径为5,求tanZBAC的值.如图，AB为0O的直径，C、D为0O上的两点,ad=DC，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E,F为垂足.(1)求证：EF为0O的切线；(2)若AC=6,BD=5,求sinE的值.如图，AB为00的直径，半径0C丄AB,D为AB延长线上一点，过D作00的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.(1)求证:DE=DF(1)求证:DE=DF；(2)连结AE，若0F=1，BF=3，求tanZA的值.BB如图，RtAABC中，ZC=90°,BD平分ZABC，以AB上一点0为圆心过B、D两点作00,00交AB于点一点E,EF丄AC于点F.求证：00与AC相切；若EF=3，BC=4，求tanZA的值.如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作00交BC于点D,DE丄AC于E.求证：DE为00的切线；若BC=4*5,AE=1,求cosZAEO的值.如图，BD为00的直径，A为bc的中点，AD交BC于点E,F为BC延长线上一点，且FD=FE.(1)求证：DF为00的切线;(2)若AE=2,DE=4,^BDF的面积为8込，求tanZEDF的值.11、如图，AB是00的直径，M是线段0A上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BEN于点F,且ZECF=ZE.求证：CF是00的切线； -设00的半径为1,且AC=CE=运，求AM的长.12、如图，AB是00的直径，BC丄AB,过点C作00的切线CE,点D是CE延长线上一点，连结AD,且AD+BC=CD求证：AD是00的切线；设0E交AC于F,若0F=3,EF=2,求线段BC的长.CBCB13、如图，AABC中，AB=BC,以AB为直径的00交AC于点D,且CD=BD求证：BC是00的切线；已知