单的方差分析

单的方差分析第1页，共29页，2023年，2月20日，星期一进行多因素方差分析从理论上说并无任何困难，但随着因素数的增加，普通方差分析的复杂性迅速增加，这种复杂性不仅表现在分析计算的繁复，更表现在所需实验次数呈现出几何级数的增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到；当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特殊的方差分析方法，例如正交实验设计方法。

多因素方差分析繁复第2页，共29页，2023年，2月20日，星期一单因素方差分析相比，交互作用是多因素方差分析中新的概念之一。当一个因素的效应明显地依赖于其他因素的水平时，我们称这些因素间有交互效应。例如，由于人的体质不同，药物的疗效也可能会有不同；不同的地施用同样的肥料，增产效果也有不同，等等。

模型类型及交互作用概念第3页，共29页，2023年，2月20日，星期一A1A2

A3B1B2B3A1A2

A3B2B3B1

(a)无交互效应(b)有交互效应图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。

交互效应第4页，共29页，2023年，2月20日，星期一多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型三类。这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。

按因素类型进行分类第5页，共29页，2023年，2月20日，星期一多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这两类计算公式也有些差别，下面我们以两因素方差分析为例，介绍它们试验设计方面的不同点。交叉分组：实验中，A因素的每个水平都会和B因素的每个水平相遇，因此A，B的地位是完全对称的。这是最常见的实验设计方法。

按实验设计分类第6页，共29页，2023年，2月20日，星期一先按A因素的a个水平分为a组，在每一组内再按B的水平细分。一般A因素不同水平的组内B因素的水平可取不同值。例如研究PH值对酶活性的影响，不同的酶可能有不同的最适PH值，因此应对每种酶设置PH值偏高、合适、偏低三个水平，而不同的酶(因素A的不同水平)PH值(因素B)的水平可能是不相同的。

系统分组：第7页，共29页，2023年，2月20日，星期一

1.

固定效应模型。首先考虑有重复的情况。线性统计模型为：xijk=+i+j+()ij+ijk,i=1,2,……a,j=1,2,……b;k=1,2,……n其中：：总平均值；i：A因素i水平主效应；j：B因素j水平主效应；()ij：A因素i水平与B因素j水平的交互效应；ijk：随机误差。

两因素交叉分组方差分析第8页，共29页，2023年，2月20日，星期一H01:i=0,i=1,2,……aH02:βj=0,j=1,2,……bH03:()ij=0,i=1,2,……a,j=1,2,……b备择假设为:HA:上述各参数中至少有一个不为0。(这实际上是三个备择假设。)

零假设第9页，共29页，2023年，2月20日，星期一方差分析的基本思想仍是总变差分解：即： SST=SSA+SSB+SSAB+SSe自由度：abn-1a-1b-1(a-1)(b-1)ab(n-1)总变差分解第10页，共29页，2023年，2月20日，星期一均方数学期望

第11页，共29页，2023年，2月20日，星期一检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，分母全部采用MSe即可。检验H01，H02，H03的统计量分别为：

检验H01，H02，H03的统计量从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三个分子才是2的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行检验。

第12页，共29页，2023年，2月20日，星期一各效应的估计值

其中i=1,2……a,j=1,2,……b。第13页，共29页，2023年，2月20日，星期一计算公式第14页，共29页，2023年，2月20日，星期一计算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均

计算步骤第15页，共29页，2023年，2月20日，星期一变差来源平方和自由度均方统计量F主效应A主效应B交互效应AB误差

总和

方差分析表第16页，共29页，2023年，2月20日，星期一把计算所得结果填入上表后，再根据各F统计量的自由度查出其F0.95及F0.99分位数，并将F计算值与相应分位数相比，大于F0.95则在统计量F右上角标一个“*”号；大于F0.99则再加一个“*”号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结，即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著

F测验第17页，共29页，2023年，2月20日，星期一如果MSAB小于或约等于MSe，即FAB小于或约等于1，说明此时交互作用不存在，在这种情况下也可把MSAB和MSe合并在一起(即把平方和和自由度都合并)作为σ2的估计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下

交互作用不存在然后可用作统计量FA和FB的分母，对两个主效应进行统计检验。注意查表时分母自由度要相应改变。

第18页，共29页，2023年，2月20日，星期一原料种类(A)温度（B）30℃35℃40℃1414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930选择最适发酵条件

第19页，共29页，2023年，2月20日，星期一本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验应视为重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的

固定因素第20页，共29页，2023年，2月20日，星期一

ji123

134.518.251823.58

24937.515.534

345.25462739.42

42.9233.9220.12

各处理平均数

第21页，共29页，2023年，2月20日，星期一发酵实验方差分析表

变差来源平方和自由度均方F原料A温度BAB误差1554.183150.50808.821656.5022427777.091575.25202.2161.3512.67**25.68**3.30*总和7170.0035

第22页，共29页，2023年，2月20日，星期一查F分布表，得：F0.95(2,27)≈F0.95(2,30)=3.316,F0.99(2,27)≈F0.99(2,30)=5.390,F0.95(4,27)≈F0.95(4,30)=2.690,F0.99(4,27)≈F0.99(4,30)=4.018,∴FA,FB均达极显著，标上“**”，FAB只达显著，标上“*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。

F测验第23页，共29页，2023年，2月20日，星期一在固定效应模型中，若各F统计量有达到显著或极显著水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合。例如在例4.3中，我们已经发现原料，温度以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较了。各处理间进行多重比较如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab个水平组合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用Duncan法。

第24页，共29页，2023年，2月20日，星期一把各处理平均数从大到小排列(记为x1～x9)：49,46,45.25,37.5,34.5,27,18.25,18,15.5，求出各对差值，列成下表：

多重比较

x9x8x7x6x5x4x3x2x1x2x3x4x5x6x7x833.5**30.5**29.75**22**19**11.52.752.531**28**27.25**19.5**16.5**90.2530.75**27.75**27**19.25**16.25**8.7522**19**18.25**10.57.514.5*11.510.75311.58.57.753.750.753第25页，共29页，2023年，2月20日，星期一求得：，df=27

查Duncan检验的r值表，

df=27,k=2~9,Kr0.05R0.05r0.01R0.01234567892.913.053.143.213.273.303.343.3611.4011.9412.3012.5712.8112.9213.0813.163.924.104.204.294.354.404.454.4915.3516.0616.4516.8017.0417.2317.4317.58Duncan检验的r值第26页，共29页，2023年，2月20日，星期一分析：从这一差值表中可见，x1至x5，除x1至x5外相互间都没有显著差异。但x4，x5与其他3个值差异相对大一些。x6至x9差异均不显著。而x1，x2，x3与x6~x9差异均达极显著。另外，x1，x2，x3以及x7，x8，x9之间的差异都很小。由于现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要关心x1，x2，x3。从以上分析中可知，基本上可把x1，x2，x3