人教课标实验版八年级上册第十三章实数章复习【市一等奖】

平方根与立方根是以认识及计算平方根为主，在本章中，我们将学习平方根与立方根的四则运算与根式中分母的有理化，并介绍双重根式的化简.平方根读作「二次根号a」，并简称为「根号a」；而负的平方根记作「」，，即=2及=2.【平方根的乘法与除法】我们首先看如何做平方根之间的乘法及除法运算.因为====ab，由定义我们知道=ab，所以，其中a、b0.同样的，我们知道==，其中a0、b0.在数学上，我们称含有根号的算式为根式.例如：、和都是根式.事实上，形如的数也称为根式.【例1】计算下列根式：(1)(2)(3)(4)[解](1)(2)(3)(4)【类题练习1】计算下列根式：(1)(2)(3)(4)【最简根式】平方数，例如：81=，所以81为完全平方数，因此.另外，当被开方数是整数，且不是一个完全平方数时，我们可利用数的标准分解式及平方根的乘法，来化简根式.例如：化简时，我们先把360写成标准分解式：360=，再化简得到=.当被开方数为有理数时，通常会将运算结果写成分母不含有根号的形式.例如：我们会将平方根改写成下列的形式：（或）也就是说，习惯上我们会将一个正有理数的平方根写成或的形式，其中为最简分数，n为大于1的整数，并且不能被任何大于1的整数的平方整除，我们称这种形式的根式(或)为「最简根式」.称将平方根化成最简根式的过程为「平方根化简」.【例2】将下列根式化为最简根式：(1)(2)(3)[解](1)(2)(3)【类题练习2】将下列根式化为最简根式：(1)(2)(3)(4)当两个根式经过化简后，如果在它们的最简根式的根号内有相同的为）和都是同类方根，但与就不是同类方根.做根式的计算时，我们通常会将式中的同类方根合并，并且将结果的每一项化为最简根式.往后我们所称的根式化简是指将结果以最简根式的形式表示.【例3】化简下列根式：(1)(2)(3)[解](1)==44(2)==(3)===【类题练习3】化简下列根式：(1)(2)(3)现在来看看如何做根式的乘积展开.事实上，我们常利用乘法公式来展开形如根式乘积的算式.【例4】化简下列根式：(1)(2)[解](1)===(2)利用平方差公式，可得==72=5【类题练习4】化简下列根式：(1)(2)【根式分母的有理化】如同方根，一般来说，我们会把根式化为分母不含根号的形式.现在以下面的例子做说明.【例5】将下列各式化为分母不含根号的根式：(1)(2)[解](1)我们利用等值分数的特性及平方差公式，使分母不含根号.====(2)====利用上述的方法，将根式化为分母不含根号的形式的过程称为分母的有理化.【类题练习5】有理化下列各式的分母：(1)(2)【例6】有理化的分母.[解]因为==1=，所以====.【类题练习6】有理化的分母.【双重根式的化简】假设a、b为两个非负的数，而且ab.因为==，所以=.因此得到：如果=（其中ab），则x=ab、y=ab.【例7】化简下列各式：(1)(2)[解](1)===(2)====【想想看】为何需要在=这个公式中，要求ab？【类题练习7】化简下列各式：(1)(2)【例8】化简.[解]=====【类题练习8】化简.

【家庭作业】1.化简下列各式：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)2.化简下列根式：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)3.化简下列各式：eq\o\ac(○,1) eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3) eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5) eq\o\ac(○,6)4.化简下列各式：eq\o\ac(○,1) eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3) eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5) eq\o\ac(○,6)eq\o\ac(○,7) eq\o\ac(○,8)eq\o\ac(○,9) eq\o\ac(○,10)

3-2立方根立方根的性质和运算规则.不同于平方根的被开方数必须是非负的数，立方根的被开方数可以是任意实数.当实数a为某个实数b的三次方时，我们就称b为a的立方根，并记作，其中读作「三次根号a」，并称a为「被开方数」.例如：27=及，所以及.显然的，被开方数与它的立方根同号.为有理数的立方根.【立方根的乘法与除法】(1)(2)=，其中.【例1】计算下列各式：(1)(2)(3)(4)[解](1)==(2)==(3)==(4)====【类题练习1】计算下列各式：(1) (2)(3) (4)由规则(1)知道，==(1)=.因此，习惯上，我们常将改写成，其中a为正数.【最简根式】可以利用数的标准分解式及立方根的乘法，来化简根式.例如：化简时，我们先将720写成，再利用乘法公式求得=.例如，我们会将改写成（或）.类似平方根的化简，我们将立方根写成「最简根式」（或）的形式，其中为最简分数，n为大于1的整数，并且不能被任何大于1的整数的立方整除，最简根式.【例2】化简下列各式：(1)(2)(3)[解](1)(2)因为，所以.(3)我们可先将的分子、分母同乘于后再做化简，即.【类题练习2】化简下列各式：(1)(2)(3)当两个立方根化为最简根式后，如果在它们的最简根式的立方根号内有相同的被开方数时，我们就称这两个立方根为同类方根.例如，、同类方根.在化简根式时，我们可以利用同类方根的合并来简化数学式.【例3】化简下列各式：(1)(2)[解](1)==(2)====注：和不是同类方根.【类题练习3】化简下列各式：(1)(2)对于某些较为特殊的根式乘积，可尝试利用乘法公式.我们先复习两个常用的立方公式：==【例4】利用立方公式化简.[解]我们可以利用第一个公式来化简，令a=、b=.==32=5【类题练习4】利用立方公式化简.【根式分母的有理化】如同平方根的有理化技巧，我们也可利用立方乘法公式来做分母含有立方根的根式的有理化.【例5】有理化下列各根式的分母：(1)(2)[解](1)由立方公式，我们知道==21=3.所以，若想将分母的根号去掉，可对分子与分母同乘以即可.因此得到：==(2)我们对分子与