概率教材习题解

AB(2)PABPA0.4；AB(3)PABPB0.6；(4)PABPBAPBPABPBPA0.2；(5)PABPAB1PAB1PB0.4，PBAPAPAB0.解：因为PABPAPBPAB，所以要使PAB最大，只要PAB最小；要使PAB最小，只要PAB最大.又因为PBPA，则AB不合题意.故，当BA时，PABPAPBPABPAPBPBPA0.6最大；当111C111C解：因为PABPAPBPAB0.4，所以PBAPBPAB0.3,428个发生的概率.解：PABCPAPBPCPABPBCPACPABCPAC故，PABCPAPBPCPABPBCPACPABC7PABCPAPBPCPAB.85．书架上有一部五卷册的文集，求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率.解：设A表示“一部五卷册的文集，各册自左至右或自右至左排成自然顺序”，则PA60解：设A表示“任取3件产品，求其中恰有一件次品”，则PA12C5C45350.7．n个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两人一定坐在一起(即座位相邻)的概率.是线状排列问题.环状排列一种，相当于线状排列n种.排列时，首先考虑将甲，乙两人排在一起，有2!种排法，然后把这两人视为一个元素，再与其它的n1的元素作全排列，共有2!n1!种，而对应的环状排列有2!n1!种，于是n12!n1!nn1.n432解：设A432解：设A表示“能按所订颜色如数得到订货”，则PA1043.CC24319．设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件，(1)求其中恰有kkminM,n件解：(1)设A为“从N件产品中任取n件，其中恰有kkminM,n件次品”，则PAPA.(2)设B为“从N件产品中任取n件，其中至少有两件次品”，则考虑逆事件的概率有：PB1PB，其中：B表示“从N件产品中任取n件，其中次品件数不多于两件”.0n0n1n11n11PPAA26n1n14662n2n2466426642.666手都是困难的，但利用减法公式是简洁的.ABC，于是PAPBCPBPCn5n6n4n654nn54n.6时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.解：设甲乙两船到达的时刻为x,y，则到达x2y.yaxx,y0x24;0y24..y1x；若乙船先到，则甲船必须晚两小时x2(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率.4SDS440121.点评：此题求面积时可用定积分或二重积分.PABBPABPBBPAPBPABPAPAB1PBPAB因为PABPABPAPAB0.5，所以PABPAPAB.PAPAB1PBPABPAPABPA1PBPAB1.4解：PABPAPBA0.4；PABPAB1PAB1PAPBPAB0.3.3．某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，这种动物已经活到20岁，再活到25岁的概率是多少PABPB0.41故所求概率为：PBA.PAPA0.824．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率(分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义(即用缩减后的样本空间)计算).BPABPA2266621.3解法(二)：考虑缩减后的样本空间(即两颗骰子的点数之和为7)：16,1,5,2,4,3,1,6,2,5,3,4，A6,1,1,6，故PA.3点评：缩减后的样本空间只含有6个基本事件，而原样本空间含有36个基本事件.5．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项同时都投资的概率为0.19，(1)已知他已经投入基金，再购买股票的概率是多少(2)已知他已购买PABPA.PABPB0.28.，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率(此题为波利亚模型，它是一个包含了许多重要的随机现象的模型，请读者思考一下，什么样的现象可以归结于这一模型).AArtratartrtart2art3a.抽样.求下列事(1)PA1A2PA1PA2A1879.(2)PA1A2PA1PA2A1211.10945(3)PA1A2A1A2PA1A2PA1A2PA1PA2A1PA1PA2A1822816.PABPA，PABPA.PABPBAPBAPBPAB证明：PBA0.5PB；PBAPAPA1PA1PA0.7一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.率3PBiPABii155167596.3i1i的信息是X，问原发信息也是X的概率是多少PAPBAPABPAPBAPAPBAB2320.983196.11970.980.013件，其中18件是一等品，现从两箱中任选一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件(取出，第二次取出的零件仍是一等品的概率.2i1PA1Bi1212.(2)由全概率公式得：0.4856.解：因为PABPAPBA0.56，而PAPB0.56，即PABPAPB，所以事件解：因为PACCPCACPACCPC1PC0，PACPC1PACPC1PAPCPC，所以当PA0时，点评：因为ACC，所以ACC，从而PACCPC.解：(1)若事件A与B互不相容，则PABPAPBPBAPAPBPBA1PAPBPBPAB1PAPAB，因为A与B互不相容，所以PAB0，从而PAB0.71PA1aa0.3.(2)若事件A与B相互独立，则PABPAPBPBA1PAPAPB，从而PAB0.71PAPAPB1a0.3a，故a3.7PAB；(3)PAB.B(3)PABPAB1PAB1PAPB1.B9解：PABPABPABPBAPAPABPBPABPAPB，从而有PAPB.当事件A与B相互独立时，事件A与B也独立，则PAB1313PAPB，PAPB319PAPB19有一人能将此密码译出的概率为多少1，51314少4233PABC1PABC1PABC1PAPBPC1.5345次命中目标的概率.(1)PABCABCABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36.(2)PABC1PABC1PABC1PAPBPC10.60.50.30.91.8．一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性，设4个独立工作234234求这一系统的可靠性.1解：设Ai表示“第i个元件可靠”PA1A2A3PA1A4PA1A2A3A4p1p2p3p1p4p1p2p3p4. AA(2)求有一只兰球，一只白球的概率；(3)已知至少有一只兰球，求有一只兰球一只白球表示“从第二只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”. 37 A21PA1PAA21PA1PA1PC2PA1PC242216.9796322PA1C2C1A2A1A2PA1A2PA1A2PA21477959PC1PA2，A2PA1C2C1A2.PACCA1.PA1A2310．(先下手为强)甲、乙两人射击水平相当，于是约定比赛规则：双方对同一目标轮流射么一枪，又设甲，乙两人每次射击时的命中率为p，未命中的概率为q，则pq1.11q21q11q21q即，先下手为强.(1)假设A,B是两个随机事件，且ABAB，则AAABBABAB1q.；ABABABBABBABA.(2)假设A,B是任意两个事件，则PABABABAB.解：PABABABABPABABABABPABBABBP0.(C)BA；(D)PABP(A)P(B).件A与事件B相互独立，选(A).选(C).解：因为PABPAB1PABPBPABPB1PABPBPAB1PB13．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率.解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则P(A)1PA1CCCC10.i6432124.分配的公平性问题)在一次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜1负.由于特殊原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜.1113甲获胜的预期概率为：PA4A4A5PA4PA111322243元.34随机地猜一下，他至少猜中一个的概率p是多少12340C4C4CC4C4C4C4C454!851，513.51n8n5n9n4.9．向正方形区域x,yx1,y1中随机地投一个点，如果x,y是所投点M的坐标，txty2t22x2 (1)设A表示“t2xty0有两个实根”，xty0有两个实根的充要条件是y0.y0.214y14x0221x2dx20404.(2)设B表示“方程t2xty0有两个正实根”，则方程t2xty0有两个正实根的222x,yx202x02441.球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.解：设A表示“前两个球放在不同的盒子中”PABPAPABPA21112111C4C2C4C41.8(1)在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.i2i解：设Ai表示“取出的两件产品中有i件合格品”，则PAiCMm2Cmii2iCM0202PAAAPAC2PAAAPAC2m1PA0A1PA0A1CMm2Mm1212CM或PA0A0A1APA0A0PA0A1A1PA0PA0A1PA0PA1CCCCCC0202Cm122(2)PA1A1A 2A2mPA12mPA1PA1PA2PA1PA2Mm1.回，取到红球的概率.111CCCPA1A2A3PA1PA2A1PA3A1ACCCC20C19C18球的概率最大Ciii3)由全概率公式，PC3PBii0PC3Bi.i3ii3i3C9i33i0PC3Bi3ii0C13C9i失业率不变失业率上升(2)容易求得，84，PB0C3，7056，PB1C3，70563780，PB2C3，7056PB3C3705614．(有关经济的忠告)美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三种不同经变或上升的概率来给出的，见下表.111PA，PB，PC.假设总统采取了所提出的新政策，一年后，失业率上升了，632解：设I表示“失业率上升”，则PIPAPIAPPBPIBPCPIC11632PAPIAPI164，9PBPIBPI10.230.329PCPICPI12.33.9总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：4PAI，9332399926并设