学习概率论与数理统计lec26up

第二节随量及其分布

一、二维随量及其分1.问题的提出 其中{

x;

x;L;

x定义由n个随量

X=(X,X,·,X

表 I{:Xi()xi i称为n维随量,也称为n维随机向量 定义称Fx1,x2,L,xnPX1x1X2x2LXnxn}X1X2LXn)的分布函数或联合分布函数.

{a的概率

b;aXb;L;aXb设(X,Y)是二维随量,对于任意实数x,二元FxyPXxI(YyPXx,Yy}称为二维随量(X,Y)的分布函数,或称为随量X和Y的联合分布函数.

F(x,y)的函数值就是随机点(X,Y)落在如图所示区域内的概率. (x,,o

F(x,y)F(,)0F(x,y)Fxy)xy为单调非降函数，即当x2x1Fx2yFx1y);当y2y1Fx,y2Fx,y1

Fx,y)分别关于x,yF(x0,y)F(x,F(x,y0)F(x,x1x2,y1y2,limF(x,y)F(,y) F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1 P{xXx,yYy}

F(x,y)F(x,) 2 证明这里仅给出性质(5)的证 二、二维离散型 P{x1Xx2,y1Yy2P{Xx2,y1Yy2}P{Xx1,y1Yy2P{Xx2,Yy2}P{Xx2,YP{Xx1,Yy2}P{Xx1,Yy1}

定义若二维随量(,)的分量X,Y均为离散型随量，则称(X,Y)为二维离散型故F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)F(x1,y2) 2.分布 一定是二维随机向量的分布函数 (xi,yj)(i,j则称P{Xxi,Yyj} (i,j为(XY)Y …M…y …M…

p21…p22……p2j…

pi1…pi …… …其中pij满足 例1箱中装两个白球,三个黑球;分别进行有放pij (i,j X 第1次摸白球piji1

Y

第1次摸黑球.第2次摸白球第2次摸黑球 Y 33 1XY

3 0

2 1

,)的分布函数归纳F(x,y)pijxxy

3

2

xix,yjy的i,j求和 例2一个袋中有三个球,依次标有数字,, 从中任取一个再任取一个设每,X,Y的分布律与分布函数

p11 p12p21p223XY解(XYP{X1,Y2}12

(1,2),(2,1),,,2,Y1}21,,

Y 10121132 32.P{X2,Y2}21.32

当x1或y1时 F(x,y)P{Xx,Yy}

2

当1x2,1y2时

(4)当x2,1y2时,Fxyp11p211当1x2,y2时,F(x,y)p11p121 (5)当x2,y2时,F(x,y)

p21p12p22所以 )的分布函数

三、二维连续型随0,x1或y 定 量(X,Y),若存在非F(x,y)

1x2,y2,x2,1yx2,y

fx,y使对任意实数x,y数Fxy)xF(x,y)f(u,x则称(X,Y)为二维连续型随量fxy)1）f(x,y)

例3设X,Y)的分布密度为f(x,y)e(xy)

x0,y2）f(x,y)dxdyF(,)2Fx, (1)求

其他3）若f(x,y)在(x,y)连续,则 f(x, 设G是xOy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内P{(X,Y)G}f(x,y)dxd

所示 1xy1D x解(1)Fx,yf(uvdu

P{(X,Y)D}

f(x,y)dx x0,y

1

(x 0

xy 其他

1x xy(uv

0edx e

x0,y

1x(ey10 其他

0

0

1x(1ex1)dx1 (1

)(1

x0,y

0

0

) 其他 12e1四、常用分D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随量(X,Y)具有概率密度f(x,f(x,y)

(x,y)其它则称XY)D上服从均匀分布例4已知随量(X,Y)在D上服从均匀分布 (1)当x1或y0时试求XY)的分布密度及分布函数,其中D为x轴yyx+1

f(uv0,(uvD,其D{(u,v)ux,v xx1S 由f(x,y)

(x,y)

yx1

F(x,y)

f(u,v)dud (x,

其它D

0dudv

(x, f(x,y)

(x,y)

‐1y‐1 O

其它

(2)当1x0,0yx1时

(x,或f(uv

(u,v)其它

F(x,y)

x

f(u,v)dud f(u,v)du(2)当1x0,0yx1时 (3)当1x0,yx1时vF(x,y)f(u,v)dud

1vu

F(x,y)xyf(u,v)dud

vuD2dud

D

f(u,v)dud

2(x

(x,

(x,

‐1 O ‐1y‐1 O 20dvvdu20(xv d 2dv(x(2xy2)

当x0,0y1时 (5)当x0,y1时F(x,y)

xyf(u,v)dudvf(u,v)dud F(x,y)

f(u,v)dudv2dudvyy

D d 2dv

0d

y2d

y

1 1

vuyDy

x1y d d

(x, F(x,y)(2xy22)y,1x0,0yx(2y) ‐1

(x1)(2y)

1x0,yxx0,0yx0,y若二维随量(X,Y)具有概率密1(xμ)2ρ(xμ)(yμ)(yμ)

内容小1.二维随量的分布函 2(1ρ) f(x,y)

2πσσ1ρ2

σ

σ F(x,y)P{Xx,Y1 2.二维离散型随量的分布律及分布函(x,y P{Xxi,Yyj}pij i,j其中μ1,μ2,σ1,σ2,ρ均为常数,且σ10,σ20,1ρ F(x,y)pijX,Y)

μ1,μ

,σ

,σ

,ρ的二 xiyy正态分布.(X,Y)~N(μ1,μ2,

2,

2, y F(x,y)

f(u,v)dud思考 练习1,xy1, 例1-1将一枚均匀的硬币3次，令令F(x,y) xy X{3次抛掷中正面出现的次数Fx,y是否为某个二维随机向量的分布函数.不是Fxy满足性质(1(4但不满足性质

Y{3次抛掷中正面出现次数与出现次数试求X,Y)的联合分布律．11101 X的可能取值为；PX0，Y10；PX0，Y3；

例1-2设随量Y服从参数为1的指数分布80PX1，Y1 PX1，Y380

定义随量Xk如8PX2，Y18

PX2，Y31

X

Yk,Y

kPX3Y10PX3Y3 求X1和X2的联合分布列由此得随量(X,Y)的联合分布律 解(X1,X2)的联合分布列共有如下4种情况 Y

0,X

0)P(Y1,Y2)P(Y 3 1e-1 3 P(X10,X21)P(Y1,Y2)P(X11,X20)P(Y1,Y2)P(1Ye-1e-2P(X11,X21)P(Y1,Y2)P(Y1P(Y2)e-2

所以X1X2)XX1 0.23254例1-3设随P(A)

1,P(BA)P(AB)1

PB1.4P(X0,Y0)P(AB)1P(AU 1P(A)P(B)P(AB)11115 441818

0，若B不发生 P(X0,Y1)P(AB)P(B)P(AB)

4 P(X1,Y0)P(AB)P(A)P(AB)111解PA1P(BAPAB1 P(X1,Y1)P(AB)1

4 所以PAB

，又PAB)

P(AB)

1 例2-1设二维 量(X,Y)的密度函数为 0518811188f(x, 0518811188 求常数

x2y2

x2y2R2其求X,Yx2y2r20rR内解⑴由密度函数的性质， f(

y 2

cR2

P(X,Y)x2y2rx2y2 f(xy)dxdx2y2r

xyxcos，ysin， x2y2r

R

x2y2dxd R 作极坐标变换xcos，ysin31dcRdπR33 3

P(X,Y)x2y2r

3 30 Rd 21 R X为线段中点左边所取点到端点0

而fxy{xya3}.P(YXa x

yx 则X~U(0,a/2),Y~U(a/2,a),且X与Y相 2dx 独立，它们的联合密度函数为O aYa 3aa

,0x

a,

y 9 f(x,y)a 2 6 其他 图例2-3设 3xy(ln3)2 x0,yF(x,y)c3x3y3xy x0,y 其他3xy(ln3 其他 f(x,y)

x0,y求：（1）常数c；（2）概率密度函数f(x,y 其它(1)由1F(,得（2）f(x,y)2F(x,y)(3xln33xyln3 例2-4设随量(X,Y)的概率密度f(x,y)k(6xy),0x2,2y 0 其它k(2)P{(3)PXY4}(见图 1）f(x,y 2dy0k(6xy)dxk2(102y)dy故 (2)P{X1,Y3}2dy0(6x831 y)dy28 (3)P{XY4}12dx4x(6x8 12(64x 8 x+y2 3 图xke(3x4y),x0,y0,f(x,