2021北京首师大附中高二（下）期中数学试题及答案解析

1/12021北京首师大附中高二（下）期中数学一、选择题（共8小题）.1．直线（3a+4）x+ay+8＝0与直线ax+（a+4）y﹣7＝0垂直，则a的值为（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．0或22．若椭圆的离心率为，则m的值等于（）A． B． C．﹣或3 D．或33．函数f（x）＝m2x3﹣2mx2+x在x＝处取得极大值，则实数m的值为（）A．1或3 B．3 C．1 D．04．两圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0与x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的公切线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．若函数f（x）＝lnx﹣ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B． C．（0，e） D．6．如图所示是y＝f（x）的导数y＝f′（x）的图象，下列四个结论：①f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数；②x＝﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数；④x＝2是f（x）的极小值点．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①③④7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（）A．﹣7 B．1或﹣7 C．2或﹣7 D．18．若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）＝xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上。9．椭圆的左右焦点为F1，F2，b＝4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为．10．如图，将一边长为6m的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为m．11．若，使得不等式2xlnx+x2﹣mx+3≤0成立，则实数m的最小值为．12．曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②曲线C上的点都在椭圆＝1外；③曲线C上点的横坐标的最大值为；④若点P在曲线C上（不在x轴上），对任意的常数a（a＞1），△PF1F2的面积的最大值为．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13．已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y﹣10＝0相切，直线l过点M（1，2）．（1）求圆C1的标准方程；（2）若直线l被圆C1所截得的弦长为2，求直线l的方程．14．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．15．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．16．已知函数f（x）＝lnx+1﹣2a﹣x+有两个不同的极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．

2021北京首师大附中高二（下）期中数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线（3a+4）x+ay+8＝0与直线ax+（a+4）y﹣7＝0垂直，则a的值为（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．0或2解：当a＝0时，直线l1为x＝2，直线l2为y＝，直线l1和l2互相垂直．当两直线的斜率都存在时，根据斜率之积等于﹣1可得﹣＝﹣1∴a＝﹣2综上，a＝0或a＝﹣2，故选：C．2．若椭圆的离心率为，则m的值等于（）A． B． C．﹣或3 D．或3解：当m+9＞9，即m＞0时，焦点y轴c＝＝e＝＝求得m＝3当m+9＜9时，即m＜0时，c＝＝e＝，求得m＝﹣故选：C．3．函数f（x）＝m2x3﹣2mx2+x在x＝处取得极大值，则实数m的值为（）A．1或3 B．3 C．1 D．0解：f′（x）＝3m2x2﹣4mx+1，由题意得：f′（）＝m2﹣m+1＝0，解得：m＝1或m＝3，m＝1时，f（x）＝x3﹣2x2+x，f′（x）＝（3x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故x＝是极大值点，符合题意，m＝3时，f（x）＝9x3﹣6x2+x，f′（x）＝27x2﹣12x+1＝（3x﹣1）（9x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，故x＝是极小值点，不合题意，综上：m＝1，故选：C．4．两圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0与x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的公切线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条解：因为圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0化为（x﹣2）2+（y+1）2＝4，它的圆心坐标（2，﹣1），半径为2；圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0化为（x+2）2+（y﹣2）2＝9，它的圆心坐标（﹣2，2），半径为3；因为＝5＝2+3，所以两个圆相外切，所以两个圆的公切线有3条．故选：C．5．若函数f（x）＝lnx﹣ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B． C．（0，e） D．解：函数f（x）＝lnx﹣ax在R上有两个不同的零点可化为y＝lnx与y＝ax在R上有两个不同的交点，作函数y＝lnx与y＝ax在R上的图象如下，当直线与y＝lnx相切时，则，解得，x＝e；故直线与y＝lnx相切时，切线的斜率a＝；故实数a的取值范围是（0，）；故选：B．6．如图所示是y＝f（x）的导数y＝f′（x）的图象，下列四个结论：①f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数；②x＝﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数；④x＝2是f（x）的极小值点．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①③④解：由导函数的图象可得：x（﹣3，﹣1）﹣1（﹣1，2）2（2，4）4（4，+∞）f′（x）﹣0+0﹣0+f（x）单减极小单增极大单减极小单增①由表格可知：f（x）在区间（﹣3，1）上不具有单调性，因此不正确；②x＝﹣1是f（x）的极小值点，正确；③f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数，正确；④x＝2是f（x）的极大值点，因此不正确．综上可知：只有②③正确．故选：B．7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（）A．﹣7 B．1或﹣7 C．2或﹣7 D．1解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y＝3﹣x上，设圆心为S（a，3﹣a），则圆S的方程为：（x﹣a）2+（y﹣3+a）2＝2（a﹣1）2，对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，∴当∠MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与x轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足2（1+a2）＝（3﹣a）2，解得a＝1或a＝﹣7．即对应的切点分别为P（1，0）和P′（﹣7，0），而过点M，N，P′的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，∴∠MPN＞∠MP′N，故点P（1，0）为所求，∴点P的横坐标为1，故选：D．8．若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）＝xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，∵函数f（x）＝xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，f′（x）＝lnx+1，当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；故当x＝时，函数f（x）取最小值﹣+m，又由f（e）＝e+m，f（）＝﹣+m，故当x＝e时，函数f（x）取最大值e+m，∴0＜e+m＜2（﹣+m），解得：m∈，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上。9．椭圆的左右焦点为F1，F2，b＝4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为20．解：∵椭圆的左右焦点为F1，F2，b＝4，离心率为，∴，解得a＝5，b＝4，c＝3，∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，∴△ABF2的周长为4a＝20．故答案为：20．10．如图，将一边长为6m的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为1m．解：设剪去小正方形的边长为x，则容器的容积为：V＝（6﹣2x）2x（0＜x＜3），V′＝（6﹣2x）（6﹣6x），令V′＝0，则x1＝3（舍去），x2＝1，当0＜x＜1时，V′＞0，函数单调递增，当1＜x＜3时，V′＜0，函数单调递减，所以当x＝1时铁盒的容积最大，故截去的小正方形边长为1m．故答案为：1．11．若，使得不等式2xlnx+x2﹣mx+3≤0成立，则实数m的最小值为4．解：时，不等式2xlnx+x2﹣mx+3≤0化为m≥2lnx+x+，设f（x）＝2lnx+x+，x∈[，e]；则f′（x）＝+1﹣＝，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝﹣3（不合题意，舍去）；所以x∈[，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（1，e]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以x＝1时，f（x）取得最小值为f（x）min＝f（1）＝0+1+3＝4；所以实数m的取值范围是m≥4，即m的最小值为4．故答案为：4．12．曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②曲线C上的点都在椭圆＝1外；③曲线C上点的横坐标的最大值为；④若点P在曲线C上（不在x轴上），对任意的常数a（a＞1），△PF1F2的面积的最大值为．其中，所有正确结论的序号是①②③．解：对于①，设点P（x，y）则，，故[（x+1）2+y2][（x﹣1）2+y2]＝a2．代入点（﹣x，﹣y），得到[（﹣x+1）2+（﹣y）2][（﹣x﹣1）2+（﹣y）2]＝[（x+1）2+y2][（x﹣1）2+y2]＝a2，故曲线C关于坐标轴对称，故①正确；对于②，，所以曲线C上的点都在椭圆＝1外；故②正确；对于③，令y＝0可得；x＝，所以曲线C上的点的横标的最大值为，故③正确；对于④，由于点P在曲线C上，则，由①得：或（舍），令，则，所以，则，点P在x轴上取等号，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13．已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y﹣10＝0相切，直线l过点M（1，2）．（1）求圆C1的标准方程；（2）若直线l被圆C1所截得的弦长为2，求直线l的方程．解：（1）根据已知可得圆的半径为R＝＝2，圆心为（0，0），所以圆C1的方程为x2+y2＝4；（2）根据题意，圆C1：x2+y2＝4，其圆心C1（0，0），半径R＝2，又直线l过点M（1，2），且与圆相交，则可设直线l的方程为x﹣1＝m（y﹣2），即x﹣my﹣1+2m＝0，直线l被圆C1所截得的弦长为2，则圆心到直线的距离d＝＝＝1，则有＝1，解可得m＝0或m＝，则直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0．14．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．解：（I）求导函数可得f′（x）＝3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），∴f（2）＝2，f′（2）＝15，∴，∴a＝3，b＝﹣9．（II）由（I）得f′（x）＝3x2+6x﹣9，令f′（x）＜0，可得3x2+6x﹣9＜0，∴﹣3＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．令f′（x）＞0，可得3x2+6x﹣9＞0，单调增区间为：（﹣∞，﹣3），（1，+∞）．综上：函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（﹣∞，﹣3），（1