常用统计分布与抽样分布

常用统计分布与抽样分布第1页，共27页，2023年，2月20日，星期一这就是大数定律所阐述的。根据测量的经验：大数定律：大量重复的随机试验所呈现的规律性。当n充分大时，n次测量值的平均值第2页，共27页，2023年，2月20日，星期一引理：切比雪夫不等式或设随机变量X的数学期望EX与方差DX都存在，则对于任意的正数ε，有第3页，共27页，2023年，2月20日，星期一定理1（契比雪夫大数定律）

且具有相同的数学期望及方差，第4页，共27页，2023年，2月20日，星期一定理2（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律)第5页，共27页，2023年，2月20日，星期一例1.

设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率为0.7，假定每盏电灯开关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯的数目在6800~7200之间的概率。（利用切比谢夫不等式计算）第6页，共27页，2023年，2月20日，星期一定理3（独立同分布的中心极限定理）阐明在什么条件下，随机变量和的分布可以近似为正态分布的理论。第7页，共27页，2023年，2月20日，星期一设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？例2第8页，共27页，2023年，2月20日，星期一

第六章：样本和抽样分布一个统计问题有它明确的研究对象.1.总体研究对象全体称为总体(母体).总体中每个成员称为个体.一、总体和样本总体可以用随机变量及其分布来描述.第9页，共27页，2023年，2月20日，星期一例如:总体X为某批灯泡的寿命,为推断总体分布及各种特征，从总体中抽取n个个体，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目n称为样本容量.2.样本

样本的二重性：抽样之前，样本为随机变量,记X1,X2,…,Xn.抽样之后，样本为一组数值,记x1,x2,…,xn.第10页，共27页，2023年，2月20日，星期一

2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.“简单随机抽样”，要求抽取的样本满足：

1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.说明：我们所考虑的都是简单随机抽样的样本。从而有：X1,X2,…,Xn独立同分布，与总体分布相同。第11页，共27页，2023年，2月20日，星期一

例1

设X1,X2,X3是取自正态总体的样本,写出样本X1的概率密度函数。第12页，共27页，2023年，2月20日，星期一二、统计量设为总体X的样本，为一个n元连续函数，若样本函数不含任何未知参数，则称为统计量.第13页，共27页，2023年，2月20日，星期一

例2

设X1,X2,X3是取自正态总体的样本,指出下列哪个不是统计量.第14页，共27页，2023年，2月20日，星期一几个常见统计量样本均值修正的样本方差样本成数修正的样本标准差第15页，共27页，2023年，2月20日，星期一三.抽样分布

统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做

“抽样分布”

.第16页，共27页，2023年，2月20日，星期一

1.样本均值的正态分布

a.

单个正态总体下的样本均值的分布设总体X服从正态分布为来自总体的一个样本，定理1.则为样本均值，第17页，共27页，2023年，2月20日，星期一

b.

两个正态总体下的样本均值的分布设总体X服从正态分布为分别来自X与Y的样本，X,Y定理2.相互独立，总体Y服从正态分布分别为它们的样本均值，则第18页，共27页，2023年，2月20日，星期一

c.

非正态总体下的样本均值的分布定理3.设总体X为任意总体,其为来自总体的一个样本，则且n较大时，近似地有第19页，共27页，2023年，2月20日，星期一为样本均值，要使成立，则样本容量例3

设为来自母体X的样本，第20页，共27页，2023年，2月20日，星期一例4

设总体X服从正态分布，来自总体X，计算.第21页，共27页，2023年，2月20日，星期一设总体X和Y相互独立,且都服从正态分布，和是分别来自X和Y的样本，求的概率。

例5第22页，共27页，2023年，2月20日，星期一

定理4(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本,分别为样本均值和修正的样本方差,则有

2.样本方差的卡方分布第23页，共27页，2023年，2月20日，星期一

定理5(单正态总体样本均值的

t

分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和修正的样本方差,则有

3.样本均值的学生氏分布第24页，共27页，2023年，2月20日，星期一

定理6(两总体样本均值差的t分布)且X与Y独立,样本修正的样本方差,则有X1,X2,…,是来自X的样本,是取自Y的样本,Y1,Y2,…,分别是这两个样本的样本均值，是这两个第25页，共27页，2023年，2月20日，星期一设且X与Y独立,

定理7(两总体样本方差比的F分布)分别是这两个样本