控制工程基础第八章部分

8.5二阶系统频域与时域性能指标比较闭环系统的性能（稳定性、快速性和精确性），可用时域性能指标、开环或闭环频域性能指标来描述。对于一般高阶系统，比较时域和频域性能指标非常困难，但对于二阶系统这不难做到。二阶系统框图如图8-5-1所示。其开环传递函数可表达为或其表达为式中结构参数换算关系为闭环传递函数可表达为二阶系统有两结构参数：固有频率和阻尼比（或开环增益K和时间常数），其性能完全取决于这两结构参数，因此无论时域或频域性能指标均且仅与这两参数有关。以下将对描述二阶系统稳定性、快速性、精确性的闭环频域性能指标，开环频域性能指标，时域性能指标与结构参数和之间的关系进行总结和比较。1.二阶系统的闭环频域性能指标二阶系统的闭环频率特性曲线如图8-5-2所示。（1）谐振峰值——相对稳定性指标（阻尼比为的二阶欠阻尼系统）。最小闭环系统，相对稳定性好。当二阶欠阻尼系统的阻尼比时，系统的谐振峰值为（8.5.1）谐振峰值与反应系统相对稳定性的阻尼比唯一相关、一一对应，因此两者均反映闭环系统的相对稳定性。谐振峰值与阻尼比的关系如图8-5-3所示。（2）谐振频率——快速性指标（阻尼比为的二阶欠阻尼系统）。当阻尼比在时，系统的谐振频率为（8.5.2）当阻尼比肯定时，。反映二阶系统的快速性，因此也反映其快速性。(3)幅频宽即带宽（）——闭环频域快速性指标（适用于任何二阶系统）。由式（7.6.1）得（8.5.3）式（8.5.3）对任何阻尼比均适用。由式可知，当时，；当时，；当时，。式（8.5.3）表明，对于肯定的阻尼比。反映二阶系统的快速性，故也反映其快速性。式(8.5.3)描述的幅频宽与阻尼比关系如图8-5-4所示。该图表明，在范围内，与呈近似线性关系，可近似表达为（8.5.4）闭环限制系统希望的频域性能指标是：（1）较小的谐振峰值，例如，以满意系统相对稳定性的要求。（2）足够的幅频宽，在阻尼比满意相对稳定性的状况下，使系统有足够小的时间常数，从而保证其快速性要求。2.二阶系统的开环频域性能指标（1）相位裕度——开环频域相对稳定性指标（任何二阶系统）。按式(8.4.3)，相位裕度与阻尼比的关系式为（8.5.5）上式对均适用。图8-4-8描述了两者的关系曲线。式（8.4.4）描述了两者在的线性近似关系（8.5.6）同理，相位裕度与反映系统相对稳定性的阻尼比唯一相关。一一对应，因此两者均反映二阶系统闭环的相对稳定性。（2）幅值穿越频率——开环频域快速性指标（适用于任何二阶系统）。按式（8.4.2），二阶系统的幅值穿越频率与阻尼比的关系式为（8.5.7）上式对均适用。同理，当阻尼比肯定时，，故也反映二阶闭环系统的快速性。（3）开环增益（速度消差系数）——精确性指标（任何二阶系统）。开环频率特性函数中的增益（8.5.8）是系统闭环精确性指标，见以下结论。3.二阶系统的时域性能指标二阶过阻尼或临界阻尼系统有由两个一阶环节组成，其时域响应均无超调，不存在相对稳定性问题。在3.9节中已给出二阶欠阻尼系统的时域性能指标，现归纳如下：（1）百分比超调量——时域相对稳定性指标（二阶欠阻尼系统）。（8.5.9）（2）——时域快速性指标（二阶欠阻尼系统）。在3.9节中已推得二阶欠阻尼系统的上升时间、峰值时间、调整时间分别为（8.5.10）(8.5.11)(8.5.12)当阻尼比肯定时，二阶欠阻尼系统的均与固有频率的成反比，描述系统的快速性。（3）开环增益（速度消差系数）——精确性指标（任何二阶系统）。二阶系统开环传递函数中的增益为（8.5.13）这是系统闭环的精确性指标。系统闭环在不同输入信号时的稳态作用误差（输入端）和稳态期望误差（输出端）为：阶跃输入，斜坡输入，抛物线输入，。二阶系统频域性能指标与时域性能指标的比较归纳在表8-5-1中。应用时必需留意，上述二阶系统的开环频域、闭环频域和时域性能指标，并不是对全部的二阶（欠阻尼、临界阻尼和过阻尼）系统均适用的。某些性能指标仅适用于阻尼比为为的二阶欠阻尼系统，如闭环频域相对稳定性能指标——谐振峰值、闭环频域快速性指标——谐振频率；某些指标适用于二阶欠阻尼系统，如时域性对稳定性指标——百分比超调量、时域快速性指标——上升时间、峰值时间；某些性能指标则对任何二阶系统均适用，如时域快速性指标——调整时间、闭环快速性指标——幅频宽（带宽）、开环频域相对稳定性指标——相位裕度、开环频域快速性指标——幅值穿越频率、精确性指标——开环增益（速度消差系数）。当然，二阶系统的性能，根本上取决于其结构参数——固有频率和阻尼比（或开环增益K和时间常数）。表8-5-1二阶系统频域性能指标与时域性能指标的比较特性相关结构参数时域性能指标闭环频域性能指标开环频域性能指标相对稳定性快速性精确性8.6时滞系统的稳定性分析迄今为止，在应用奈奎斯特稳定判据对限制系统进行稳定性分析时，所涉及的频率特性函数均为jw的有理分式，但在工程中会遇到具有时滞（或称延时、时延、延迟等）环节的限制系统。本节介绍应用奈奎斯特稳定判据对时滞系统进行稳定性分析，并探讨时滞环节对系统闭环稳定性带来的不利影响。8.6.1时滞系统系统中信号传递有时间延迟的环节称为时滞环节，包含时滞环节的系统称为时滞系统。时滞环节的特点是她它的输出变量相对于输入变量存在时间上的滞后。流体在长管道中的流淌、物料输送、电信号在长导线中的传递等，都有时间延迟。含有这类元件的系统都是时滞系统。对于一个具有限制系统，时滞可能由检测系统造成，也可能由限制元件、执行元件在造成，或者由他们共同造成。严格地说，限制系统中时滞是普遍存在的，只有大小的不同。时滞系统是时滞不能忽视的系统。时滞系统属于非最小相位系统。图8-6-1所示为轧钢板机钢板厚度限制系统。电动机轴的旋转使轧车昆带动钢板以速度v运动，限制系统限制电动机的上下位移，从而限制两轧辊的间距，变更轧制的钢板的厚度。系统通过厚度检测进行反馈，形成闭环限制，从而削减钢板厚度误差。因轧辊间钢板厚度无法干脆测量，因而造成测试信号与被控信号——即轧辊间距或钢板厚度有T=d/v的时滞。时滞环节的传递函数为式中T——时滞时间，T=d/v。系统开环传递函数为式中——轧辊限制系统开环传递函数，即钢板厚度检测信号与钢板厚度输入信号间的传递函数；——限制器传递函数；——轧辊间距（钢板厚度）与限制器输出信号间的传递函数；——时滞环节，即钢板厚度检测信号与轧辊间距（钢板厚度）间传递函数。系统开环频率特性函数为（8.6.1）具有时滞环节的系统频率特性函数式（8.6.1），与假设无时滞环节的频率特性函数的幅频特性相同，但相频特性增加了相角滞后亦即，两者开环频率特性伯德图的幅频特性曲线相同，但有时滞环节时系统的相频特性曲线，较无时滞环节系统的下移wTrad/s，这将较少系统闭环的相位裕度和幅值裕度，给稳定性带来不利影响。8.6.2应用奈奎斯特稳定判据分析时滞系统的稳定性以下通过实例，介绍奈奎斯特稳定判据分析时滞系统稳定性的方法，以刚好滞系统对系统稳定性的影响。已知具有时滞环节的液面限制系统框图如图8-6-2所示。设时滞时间。分析系统稳定性。解系统开环传递函数为系统开环伯德图如图8-6-3所示。图（a）为MATLAB得到，无时滞环节；图（b）中同时给出有和无时滞环节的相频特性曲线，两者幅频特性曲线相同。如图8-6-3（a）所示，无时滞时，系统的幅值交界（穿越）频率，即幅值特性曲线与0dB线相交时的频率为，系统的相位裕度为，系统闭环稳定。如图8-3-6（b）所示，有时滞时，在处，相位角滞后。因此有时滞系统的相位裕度系统因时滞而变得不稳定。为使系统稳定，保证必要的相位裕度。必需较少开环增益。但这将增加稳态误差，降低系统的限制精度。因此时滞环节会使系统开环伯德图的相频特性曲线，较无时滞时随频率下移wT。这将削减系统闭环的相位裕量和幅值裕量，从而降低系统的相对稳定性，甚至可能使系统变得不稳定。为满意稳定性的要求，不得不削减系统开环增益，付出了增加稳态误差，降低限制精度的代价。8.7小结本章介绍了基于复变函数俯角原理的奈奎斯特稳定判据，奈奎斯特稳定判据依据反馈限制系统的开环频率特性曲线，来判定系统闭环的肯定稳定性。并且依据反馈系统开环频率特性，引入了反馈限制系统的两种相对稳定性指标——幅值裕量和相位裕量。本章还对二阶系统的频域性能指标刚好域性能指标：超调量、上升时间、峰值时间、调整时间进行探讨，对三类性能指标之间及其与系统结构参数之间的关系进行比较。本章最终总结探讨了具有时滞环节的限制系统的稳定性问题。作为总结，表8-7-1列出了15种典型传递函数的伯德图、这时限制系统的分析和设计来说是没用的。在进行反馈限制系统校正设计时（第9章），驾驭受控对象G(s)和限制器表8-7-1典型传递函数的伯德图序号伯德图序号伯德图142536序号伯德图序号伯德图710811912序号伯德图序号伯德图131514模型后，就可以依据查阅表8-7-1，利用表中的信息确定或预料系统的性能，从而确定接受或更改限制器的设计。习题8-1复变函数的零——极点分布如图题8-1(a)和(b)所示。假设s平面内的封闭曲线如图题8-1(a)和(b)所示。试定性地画出内相应的封闭曲线。8-2设系统开环传递函数的奈奎斯特图分别如题图8-2(a)和（b）所示，试确定系统的闭环稳定性。8-3系统开环传递函数如下，试绘制开环极坐标图，并利用奈奎斯特判据推断系统的闭环稳定性：单位反馈系统的受控对象为。试利用极坐标图确定使系统稳定的K的取值范围。对下列系统，试绘制其伯德图，求出相位裕量和幅值裕量，并推断系统闭环稳定性。8-6系统的开环传递函数为请在0.1到10的频率范围内，绘制开环伯德图，并验证增益裕量和相位裕量分别为16dB和30°。8-7单位反馈系统的传递函数为当K=4时，验证系统的增益裕量为3.5dB；假如希望增益裕量为16dB，恳求出对应的K值。8-8系统开环传递函数如下。试绘制其极坐标图，并用奈奎斯特判据推断闭环系统的稳定性。对于稳定的系统，通过考察极坐标图与实轴的交点，确定K的最大取值。8-9对将来的空间探究和空间利用而言，一项关键的技术就是开发能重复运用的(a)所示的是哥伦比亚航天飞机的照片，它可以想向太空运输大量的有效载荷，返回地球后还可以重发运用，它的大小与DC-9型运输机相像，净重为75000Kg。该航天飞机在机翼后沿装有升降副翼，在尾部装有特制的制动装置，它利用这些装置来限制飞机的飞行。图题8-9（b）给出了它的俯仰角限制系统的框图，其中H