数学命题及其教学

数学(shùxué)命题及其教学第一页，共31页。一、判断与命题(mìngtí)概述1判断(pànduàn)的意义及其结构判断是对思维对象(duìxiàng)有所断定的一种思维形式。即，判断是对思维对象的某种属性进行肯定或否定的一种思维形式。例如，“π是无理数〞、“0是自然数〞、“我是学生〞等都是表示判断的语句。★什么是判断？

第二页，共31页。■按判断的组成形式，可分为简单(jiǎndān)判断和复合判断。〔2〕判断(pànduàn)有真假之分。★判断的两个根本(gēnběn)特征〔1〕“要有所断定〞，否那么不称其为判断。如，“0是自然数吗？〞，“x－1＞0〞都不是判断。★判断可按不同的标准进行分类

对于简单判断，又可按其内容分为性质判断和关系判断；对于复合判断，还可按其复合形式分为负判断、联言判断、选言判断和假言判断。第三页，共31页。■按判断的质来分，判断可分为肯定(kěndìng)判断和否认判断。■按判断(pànduàn)的量来分，那么可分为全称判断(pànduàn)和特称判断(pànduàn)。★数学中常用(chánɡyònɡ)的四种判断形式⑴全称肯定判断(A)，其逻辑形式是：“所有的S都是P〞，简记为SAP；⑵全称否认判断〔E〕，其逻辑形式是：“所有的S都不是P〞，简记为SEP；⑶特称肯定判断〔I〕，其逻辑形式是：“有些S是P〞，简记为SIP；第四页，共31页。⑷特称否认判断〔O〕，其逻辑形式是：“有些S不是(bùshi)P〞，简记为SOP；★判断(pànduàn)的结构2命题及其根本(gēnběn)运算表述数学判断的语句那么称为数学命题

(判断)=(量项)+(主项)+(联项)+(谓项)★什么是命题？表述判断的语句称为命题

。由于判断有真假之分,故命题应具有可判性、有真假之分。★真命题与假命题第五页，共31页。如“〞和“〞，由于(yóuyú)含有变量x，故无法判断其真假，这样的语句称为开句，不是命题,但假设当x赋值后,那么(nàme)它都可成为数学命题。就是将命题符号化、形式化，将假设干命题用逻辑联系词联结起来构建新的命题，由于关键(guānjiàn)是逻辑联系词，因此，命题运算实际上是命题的逻辑联结。★命题的运算〔复合〕第六页，共31页。★命题(mìngtí)的根本运算否认(非)、合取(与、且、联言命题(mìngtí))、析取(或、选言命题(mìngtí))、蕴涵、等价。〔1〕否认(fǒurèn)〔非——“﹁〞〕给一个命题p，它与“﹁〞构成复合命题“﹁p〞，称为命题p的否认，也称为负命题。否定真值表p﹁p1001第七页，共31页。〔2〕合取〔与、且——“∧〞〕给定两个(liǎnɡɡè)命题p,q，用连接词“∧〞联结起来，构成复合命题“p∧q〞,称为命题p,q的合取式，也称为联言命题。合取真值表pqp∧q110010101000第八页，共31页。〔3〕析取〔或——“∨〞〕给定两个命题p,q，用连接词“∨〞联结起来(qǐlái)，构成复合命题“p∨q〞,称为命题p,q的析取式，也称为选言命题。析取真值表pqp∨

q110010101110第九页，共31页。〔4〕蕴涵(假设…那么(nàme)…、如果…那么(nàme)…——“→〞)给定两个命题p,q，用连接词“→〞联结起来，构成复合命题“p→q〞,称为命题p,q的蕴含(yùnhán)式，也称为假言命题。其中p叫做前件(或条件),q叫做后件(或结论)。蕴含真值表pqp→

q110010101011第十页，共31页。〔5〕等价(děngjià)〔当且仅当〕给定两个命题p,q,用连接词“←→〞联结起来，构成(gòuchéng)复合命题“p←→q〞,称为命题p,q的等值式，也称为充要条件假言命题。等价真值表pqp←→

q110010101001第十一页，共31页。例1求复合(fùhé)命题(p∧q)→p的真值。例2求复合(fùhé)命题p∧﹁q的真值。★复合(fùhé)命题的真值第十二页，共31页。★常用的逻辑(luójí)等价式：假设(jiǎshè)两个命题的真值完全相同，那么这两个命题称为等假命题〔或逻辑等价〕.记着“≡〞.逻辑等价的两个(liǎnɡɡè)命题，在推理证明时可以互相替换.常用的逻辑等价式有：①幂等律：p∨p≡p，p∧p≡p.②交换律：p∨p≡q∨p，p∧p≡q∧p.③结合律：(p∨q)∨r≡p∨(q∨r),(p∧q)∧r≡p∧(q∧r),④分配律：p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r),p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r).第十三页，共31页。⑤吸收(xīshōu)律：p∨(p∧q)≡p,p∧(p∨q)≡p.⑥DeMorgun律：﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q,

﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q

.⑦双否律：﹁(﹁p)≡p.⑧幺元律：p∨0≡p,p∧1≡p.⑨极元律：p∨1≡1,p∧0≡0.⑩互补(hùbǔ)律：p∨﹁p≡1,p∧﹁p≡0.利用逻辑等价可以将复杂(fùzá)的命题简单化，也可推证两个命题的等价关系.第十四页，共31页。3命题运算应用(yìngyòng)举例〔1〕反映逻辑思维(luójísīwéi)的根本规律①同一律。在同一思维过程中，每一思想都必须是严格(yángé)确定的和同一的。它的公式是A≡A,表示成命题形式A→A。由真值表知它是恒真命题.AA→A1011同一律要求：思维对象应保持同一；表示同一事物的概念应保持同一.第十五页，共31页。②矛盾律。在同一思维过程中，同一对象的两个互相矛盾的思想不能同真。它的公式是﹁(A∧﹁A)(A与非A不能同真)。由真值表可知它是一个(yīɡè)恒真命题。A﹁AA∧﹁A﹁(A∧﹁A)10010011矛盾律是同一律的引申，它是用否认形式来表达同一律的内容(nèiróng).同一律说：p是p；矛盾律说：p不是﹁p.第十六页，共31页。③排中律。在同一思维过程中，同一对象(duìxiàng)的两个互相矛盾的思想必有一真。它的公式是A∨﹁A(A或非A)，易证它是一恒真命题。排中律要求思维要有明确性，防止模棱两可.它是同一律和矛盾律的补充和发挥(fāhuī)，进一步指明正确的思维不仅要求确定、互不矛盾，而且应该明确地表示肯定或否认，不能模棱两可，不可含糊不清.矛盾律和排中律是反证法的逻辑根底.当要证明某一命题(mìngtí)的真实性有困难时，根据排中律，只要证明这一命题(mìngtí)的负命题(mìngtí)是假的即可.第十七页，共31页。〔2〕命题的四种形式(xíngshì)及关系原命题(mìngtí)：p→q逆命题(mìngtí)：q→p(换位)否命题(mìngtí)：﹁p→﹁q(换质)逆否命题(mìngtí)：﹁q→﹁p从真值表容易证明(zhèngmíng),原命题与其逆否命题等价，逆命题与否命题等价。即：p→q≡﹁q→﹁p.以上结论也可以用命题运算律加以证明，如：p→q≡﹁p∨q≡q∨﹁

p≡﹁(﹁q)∨﹁p≡﹁q→﹁p第十八页，共31页。★命题的四种(sìzhǒnɡ)形式原命题：假设(jiǎshè)P,那么Q.逆命题：假设(jiǎshè)P,那么Q.逆否命题：假设P,那么Q.否命题：假设P,那么Q.(互逆)(互逆)互否互否互逆否第十九页，共31页。〔3〕命题(mìngtí)的制作①逆命题的制作(zhìzuò)※直接(zhíjiē)换位得逆命题※将一个复合命题中相同个数的条件、结论(不是全部)交换位置得逆命题——“偏逆命题〞例如：命题“假设a>0,b>0,那么ab>0〞有两个条件和一个结论,因此,它有一个逆命题“假设ab>0,那么a>0,b>0〞和两个偏逆命题“假设ab>0,b>0,那么a>0〞及“假设ab>0,a>0,那么b>0〞。第二十页，共31页。※当命题的条件(tiáojiàn)、结论中含有选言判断,在制作逆命题时,选言判断只能当作一个整体,不能再加分解。例如,命题“若a>0或a<0,则”只有一个条件(选言判断)和一个结论,因而也只有一个逆命题：“若,则a>0或a<0”而没有偏逆命题。②逆否命题的制作(zhìzuò)※简单命题的逆否命题的制作,只需将条件(tiáojiàn)、结论先否认,再换位即可。第二十一页，共31页。〔4〕命题(mìngtí)的条件充分条件(chōnɡfēntiáojiàn)、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件。※复合(fùhé)命题的逆否命题制作，那么需通过命题运算才能得到。例如,求命题“假设a=0或b=0,那么ab=0〞的逆否命题。应首先将命题表述为(a=0)∨(b=0)→(ab=0)；然后进行命题运算：﹁(ab=0)→﹁[(a=0)∨(b=0)]≡(ab≠0)→(a≠0)∧(b≠0)最后,得逆否命题“假设ab≠0,那么a=0且b=0〞。第二十二页，共31页。假设命题p→q真,那么称p是q成立(chénglì)的充分条件；假设命题q→p真,那么称p是q成立(chénglì)的必要条件；假设命题p→q与p→q同真,那么称p是q成立(chénglì)的充要条件(既充分又必要条件)；假设命题p→q与p→q同假,那么称p是q成立的既不充分又不必要条件。1100序号①②③④pq1010p→qq→p10111101第二十三页，共31页。分析(fēnxī)上表：当p→q真时,p真足可保证q也真①(不排除(páichú)p假时q还可真③),因而p是q的充分条件；当q→p真时,没有(méiyǒu)p真就不会有q真④(不排除有了p真还可q假②),因而p是q的必要条件；当p→q与q→p同真时,p与q同真假①④,因而p与q互为充要条件；由此,命题条件与结论间的逻辑关系可分为四种情形：p是q的充分而非必要条件(表中的③)；p是q的必要而非充分条件(表中的②)；p是q的充要条件(表中的①④)

；p是q成立的既不充分又不必要条件。第二十四页，共31页。〔5〕命题(mìngtí)的合并①同一(tóngyī)数学对象诸性质定理的合并②同一(tóngyī)数学对象诸判定定理的合并例如，设p：两直线平行,：同位角相等,

：内错角相等。则命题p→,p→可合并为：

(p→)∧(p→

)≡(﹁p∨)∧(﹁p∨)≡﹁p∨(∧)≡p→(∧)即：两直线平行，那么同位角且内错角相等。应用命题运算，将几个简单命题合并成一个形式简单的复合命题，称为命题的合并.第二十五页，共31页。在上例中，两判定定理“假设同位角相等(xiāngděng)，那么两直线平行〞、“假设内错角相等(xiāngděng)，那么两直线平行〞，可合并为：这就是(jiùshì)：两直线被第三直线所截，假设同位角或内错角相等，那么这两直线平行。第二十六页，共31页。〔6〕对含有量词(liàngcí)的命题否认※命题(mìngtí)中的量词常用两个：表示全体的全称量词——表示部分的特称量词——※含有量词(liàngcí)命题的否认，有下述关系成立：①﹁[]≡(﹁p(x))②﹁[x(p(x))]≡x(﹁p(x)).第二十七页，共