-第章金融工程的基本方法-状态价格定价法

金融工程的基本分析方法2.1无套利定价法定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资产的多头或者空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。两种套利方法：当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益净现值为正）当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为0）。无套利原则：如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。注意：无套利并不需要市场参与的者一致行动，实际上只要少量的理性投资者可以使市场无套利。在有效的金融市场上，市场不存在套利均衡。案例2-1假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？答案是肯定的。回顾：连续复利的概念若名义利率为r，一年（期）平均付息m次，则相应的有效利率rm为后者为连续复利，如果是T年（期），则4/30/20235套利过程是：交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。这是哪一种套利？

先看远期外汇定价的例子目前货币市场上美元利率是6%，马克利率是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇率是1美元兑换1.8马克(1:1.8)问：一年期的远期汇率是否还是1:1.8？无套利的定价法的原理：套利者可以借入1美元，一年后要归还1.06美元；在即期市场上，他用借来的1美元兑换成1.8马克存放一年，到期可以得到1.98马克；在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前的远期汇率（1:1.8）卖出1.98马克，换回1.1美元。在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元之外，还有一个剩余0.04美元（1.1美元-1.06美元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇价格。无套利的价格无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。

套利者借入1美元后，如果不进行套利活动，他一年后将得到1.06美元；如果他实施了套利活动，他一年后将得到1.98马克。这两种情况都是从期初的1美元现金流出开始，到期末时两个现金流入的价值也必须相等。于是1.06美元=1.98马克，即1美元=1.8679马克。这个价格才是无套利的均衡价格。无套利的定价法的原理：无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。

如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，根据无套利原理，二者可以相互复制如果A资产（组合）的风险与B资产（组合）完全相同，则已知A资产的收益，就可以推断B的收益，从而得到B的资产的定价。案例2-2无套利定价法运用到期权定价中假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。

为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。若股票价格=11，则该期权执行，则组合收益为11Δ-0.5若股票价格=9，则该期权不执行，则组合收益为9Δ为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式：11Δ-0.5＝9Δ，即Δ=0.25组合价值为2.25元由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此，从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为无套利定价机制的主要特征无套利定价原则要求套利活动必须在无风险状态下进行在一个不存在套利机会的有效市场上，投资者可以建立起一个包含了衍生品（比如期权）头寸和基础资产（比如股票）头寸的无风险的资产组合。若数量适当，基础资产多头盈利（或亏损）就会与衍生品的空头亏损（或盈利）相抵，因此在短期内该组合是无风险的（理论上只对瞬间的时刻保持无风险，否则，需要在这个资产组合中持续地调整基础证券与衍生证券的投资比例）。根据无套利原则，无风险组合的收益率必须等于无风险利率。所以这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益率，基础证券的期望收益率和无风险利率之间的一个均衡条件无套利定价法的应用

金融工具的模仿（mimicking）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不同。金融工具的合成（compound）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同价值。合成是建立在模仿的基础上案例2-3：模仿股票（themimickingstock)模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的组合。假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，两个期权的执行价格都是X＝St（t时刻股票的价格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为股票模仿股票模仿股票与实际股票有所区别！表面上看，持有模仿股票似乎不合算但下面的例子表明，模仿股票在财务杠杆方面的巨大优势，为风险偏好型的投资者提供了一个性质不同的投资渠道假设一只股票现在的市场价格是10元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是0.55元和0.45元。一个投资者用10元钱采取两种方案进行投资

方案一直接在股票市场上购买股票

方案二是用同样的资金购买模仿股票10元钱可以购买100个模仿股票股票价格上升到10.5元时两个方案的比较股票价格下跌到9.5元时两个方案的比较

期初投资净收益投资收益率方案一方案二10元10元10.5-10=0.5元100*（10.5-10-0.1）=40元5%400%期初投资净收益投资收益率方案一方案二10元10元9.5-10=-0.5元100*（9.5-10-0.1）=60元-5%-600%案例2宵-4两合成沈股票（像com番pou男nd曾sto按ck）合成股票种的构成是够：一个看辆涨期权的脾多头，一张个看跌期昆权的空头属、无风险厅债券多头惜Xe-r(姻T-t有),实际是惭模仿股票余和无风险谱债券的合区成目的：那消除模泥拟股票绕与股票解之间的及差异则组合弹的最终筐价值为max(嫩0,ST-X)-题max(悟0,X-禁ST)+X置=ST-X+留X=素ST期初价档值应相其等：St=Ct-pt+Xe-r(T育-t)2.2纯风险中富性定价法无风险资撇产的收益选是确定的勾，其风险臣为零，而历风险资产绣的收益具栗有随机性象——各种血状态的出寒现具有一王定的概率裙，故具有园补偿风险宽的超额收碧益率。启发：改确变各个状混态出现的床概率，使偿风险资产加的回报率狭等于无风啄险收益率傅——超额禽收益率为误0。风险中兴性定价咱原理：在这固个改变始了概率的世界菠里，所毕有证券挤的预期识收益率楼都等于腔无风险块利率r史，所有辟现金流哑量都可薯以通过哑无风险翼利率进幼行贴现俊求得现随值。风险中性洗假定仅仅纪是为了定友价方便而娘作出的人迹为假定由于风峡险中性驳，人们父只关心月收益不无考虑风惯险风险中疤性假定叨仅仅是尘为了定真价方便斥而作出烟的人为兆假定，规但通过辆这种假岩定所获榜得的结及论不仅嗽适用于隆投资者滋风险中氏性情况新，也适缴用于投拿资者厌段恶风险乡丰的所有魔情况。案例2光-2风叫险中性事定价法亿运用到砍期权定胞价中假设一种晌不支付红郊利股票目咽前的市价齿为10元蜜，我们知羽道在3个喇月后，该管股票价格昼要么是1口1元，要程么是9元谦。假设现威在的无风皇险年利率煎等于10商%，现在另我们要找路出一份3品个月期协接议价格为鹿10.5务元的该股盈票欧式看市涨期权的趁价值。在风险中杏性世界中若，我们假闷定该股票篮上升的概蚀率为P，白下跌的概描率为1-侨P。（虽乞然有实际邪的概率，碰但可以不匙管），如耽果风险中榴性，则该蒜股票无超贩额收益，约这个风险使中性世界奸的概率是同样，在坛风险中性田的世界里面，可以赋竭予期权价界值的概率劳，该期权护同样只能构获得无风握险收益率掉，则期权幼的现值为两种方令法求得牙结果是梅等价——风险中瞧性定价饼本质上纯仍是无搬套利定栗价。比较两夫种定价坚方法假设一个钥无红利支趟付的股票乒，当前时录刻t，股钱票价格为喂S，基于鹿该股票的还某个期权赵的价值是盲f，期权困的有效期因是T，在盆这个有效土期内，股吧票价格或叫者上升到钳Su（u缴>1），是或者下降职到Sd（膊1>d>仙0）。当股票价都格上升到痛Su时，景我们假设子期权的收扒益为fu，如果股潜票的价格裙下降到S查d时，期钳权的收益家为fd。Sf总结：毅无套利装定价法吉的思路首先，脖构造由宴Δ股股岸票多头馒和一个赌看涨期馒权空头眉组成的么证券组白合，并类计算出浮该组合咬为无风扒险时的渔Δ值。如果无明风险利汉率为r室，则该伙无风险韵组合的捕现值为在无套利阶假定下，系构造组合列的成本满莫足将（2狗.1）亦代入（惰2.2镇）整理旨得到总结：风奔险中性定舅价的思路假定风险苦中性世界里中股票的希上升概率服为P，由杰于股票的遍期望值按忠无风险利规率贴现，僵其现值必磁须等于该悠股票目前蚂的价格，供因此该概愿率可通过挡下式求得圾：由上式可盯见，期权鞠价值只与捏无风险利最率、股票去上涨（下俊跌）的幅晶度和时间诊有关，而痒不依赖于彼股票上涨子的实际概率。这完全锻违反直觉桃！期权的价探值依赖于塔标的资产她的上涨（逢下跌），涝但未来上注升和下跌有的概率已唐经包含在尼股票的价露格中！2.3湿状态颤价格定价挡技术状态价格郊的定义：指的是涛在特定的知状态发生斜时回报为1，否则回棍报为0的资产露在当前赖的价格喜。状态价窃格定价垒技术：如果未来野时刻有N种状态，耍而这N种状态的右价格我们静都知道，沿那么我们保只要知道颠某种资产屈在未来各耍种状态下差的回报状况以及市敬场无风险利喂率水平，我们毕就可以显对该资透产进行寨定价。该方法是典无套利定编价原则和科证券复制甲技术的具语体运用。A是有碧风险证名券，其楚目前的卷价格是豪PA，一年后饱其价格要可么上升到阶uPA，要么挪下降到预dPA(d<1表+rf=RA<u)这就是市弯场的两种西状态：上役升状态（茅概率是q贤）和下降坝状态（概对率是1-冰q）状态价盲格定价芬技术的袋原理夸案例吹2扒-51、构妻造两个他基本证庄券（单坚位证券姨）。基本证豪券1在证券歼市场上输升时价布值为1，下跌时齿价值为0；基本证及券1现在的市比场价格是撤πu，基本证券2恰好相反霉，在市场撑上升时价生值为0，在下跌纺时价值为1。基本狭证券2的价格是预πd。πu和πd分别被杜称为上挽升状态娇的价格含和下降报状态的叨价格这两个症基本证澡券的特个征是，役它们可絮以用来赏复制有察风险的敬A证券10πuq1-q01πdq1-qq1-qπuuPA+πddPA1×uPA＋0×dPA＝uPA0×uPA＋1×dPA＝dPAuPAdPAPAq1-q2、由基本梁证券模拟蒸证券A。购买uPA份基本轻证券1和dPA份基本证框券2组成一个相假想的证皮券组合根据无套倡利假设由此可见男，该组合循在T时刻贪无论发生霸什么情况愉，都能够拴产生和证茂券A一样德的现金流图，所以组飞合是证券道A的复制狂品。根据无棋套利原刚理，复迎制品与压被复制秃对象的像市场价颈格应该堤相等，心即PA=πuuPA+πddPA或者1＝同πuu+πdd见（禁2.3）3、证吧明：在乘T时刻倘无论出策现什么粱状态，伙各1个们单位(uPA=d杏PA=1)基本证券苗构成的组赞合的回报乡丰都是1元体。因此，该缺组合是无未风险的，放它只能获鹊得无风险拘收益率，军若无风险趣收益率为晒r，则（2.4唉）q1-q1πu+1πd1×1＋0×1＝10×1＋1×1＝1tT所以由煤（2.掏3）和馒（2.幼4）联桶立得到1=πuu+πdd决定基盏本证券衬价格的汤实际上床就是3垫个因素阶：无风卖险利率颜r,金流融工具能价格上杰升的速嚷度u和衡其价格岛下降的激速度d盈，同其遮他的因团素就没缴有关系司了结论：只要有薪具备上瞒述性质剖的两个柄基本证匹券存在汗，我们躬就能够兔通过复剖制技术踢，为金策融市场移上的任购何有价著证券定你价。扩展二叉赠数模型。关于有沸价证券扛的价格路上升的辅概率q递，虽依旗赖于人掠们作出割的主观尚判断，就但是人驻们对q认脉识的分心歧不影汁响为有齿价证券辅定价的切结论。无套利箩分析（惯包括其低应用状套态价格娘定价技遗术）的桐过程与拉结果同者市场参敏与者的伶风险偏飘好无关坟。练习假设有价衰证券的市莲场情况如矮下：PA＝10伞0，r锻＝2％洋，u＝被1.0趟7，d绸＝0.非98，糖T－t停＝1，刃若另外段有一个宗证券B竹，其价竿格1年荷后可能啊上升为数103衣，也可眉能下降良为98天.5元扶，求该提证券的杯合理价搜格。提示：秤先求基鞭本证券挪1和2镜，由基痛本证券净来复制膨证券B被：uPB份的基高本证券察1和d棵PB份的基附本证券姿2。具体例子凯1：用基躺本证券1类和2来复守制证券B假如有勇价证券姿A的市氧场情况作如下：博PA=100向，r=2奴%，u=恭1.07裹,d=摄0.98合，T-t缸=1,强可以求得掏：假设另一语个证券B俘，它在一劈燕年后的价稍格可能上催升到10池3元，也快可能下降自到98.滤5元。那昌么，它当修前的价格堵应该是PB=πuuPB+πddPB=0.肌437妇8×1机03+线98.进5×0翁.54因24=健98.絮52具体例子秤2：用现实中的证券A拢和无风险印证券来复仆制证券B复制过施程：用欣Δ份证未券A和颠当前市厉场价值安为L的院无风险面证券构辩成市场辰价值为腹I的组短合，其冻成本是滴I=1刃00Δ怖+L一年后，塞该组合无钩论市场价阻格上升还肢是下降，葬都必须与射证券B的德价格相同挪。于是有解得Δ呀=0.向5,L矛=48证.52于是B现睬在的市场圆价值是I娇=100傻Δ+L=悬100×胳0.5+祝48.5绿2=98底.52状态价校格定价嫩技术：展两期的谜情况求B现在可的均衡价废格？解出ΔU=0.4泰9，Lu=50超.76库,因垒此有PBU=10赖7ΔU+Lu=10禽2.9沸9净对右下扶方的二怒叉树，咱同理解站出Δd=0.5困1，Ld=48械.62毯,因宽此有PBd=98亩Δd+Ld=98.地50使用倒推晶法，先从院B的图共形中右上乳部分开始岂。在第1徐年末，扛假设市获场处于戒上升状璃态，此伤时用Δu份证券A加和市场价候值为Lu的无风旨险证券绍来复制袄证券B壮的组合连，见图量2.5粪。107114.49104.86107ΔU+Lu104.86ΔU+e0.02Lu114.49ΔU+e0.02Lu最后，我蓬们用Δ份垫证券A和舌价值为L温的无风险灾证券的组帖合复制证蚂券B同前例欠同理，握解出Δ柳=0.脉5,L泛=48瞎.53橡,证券榴B的价申值PB=98.侵52当二叉树肤模型由单尾期扩展到旦二期（或帮以上）时骡，需用动采态无套利斑的方法来却解释这里摔涉及到的顶“自融资俯”问题。海在第一期制期末时Δ巷和L发生份变化：原健是（Δ，响L）=（府0.5,病48.5唤3）,现浮在是（0哨.49，腐50.7寸6）,但张证券组合挖价值未改赵变，因为鄙有107桂Δ+e0.02L=即PBU（=10械3）=1鸦07ΔU+Lu状态价互格定价连法在期滩权定价海中的应搜用假设某满股票符违合前面职提到的扔两种市秒场状态舍，即期扭初价值佳是S0，期末吃价值是政S1S1只可能保取两个蛾值：S1=Su=uS0,u＞涝1S1=Sd=dS0,d＜1求：以膊该股票会为标的扁资产的曲看涨期纠权的价作值是多币少？构造与辣看涨期而权的价敏值特征宜完全相海同的投烂资组合亿：以无风孙险利率厉r借入授一部分填资金B筐（相当滋于做空蝇无风险哲债券）奇，同时置在股票瞎市场上录购入N枕股标的闭股票该组合成柳本为N垃S0-B到了期末犬，该组合浊的价值V纺是NS1-RB握，R是霞利率对应于州S1的两种误可能，什V有两碍个取值辅：S1=Su,则V=棕Vu=N坦Su-RBS1=Sd,则V巾=Vd=N耳Sd-RB。令到期矩日组合拣的价值脑与看涨饶期权的搭价值相司同解得由于期初篇的组合应瓦该等于看庭涨期权的枯价值，即握有NS0-B=c0,把N英和B旱代入，这得到看托涨期权责的价值她公式c0=[pcu+(1-礼p)cd]e-r(T亲-t)p=(er(T急-t)S0-Sd)/(萝Su-Sd)=(棋er(T-菜t)-d)绪/(u泪-d)饭。具体例疾子假设一份帅看涨期权狡，到期日伤为1年，周执行价格原X是11迷2元；标姑的股票当本前的价格趟是100滩元，无风蠢险利率（获单利）是戒8%。1刑年后，股胃票的价格易或是上升闷到180锦元，或是肚下降到6圾0元。根据上亩述公式隆，得到明：N=（6毯8-0）拼/（18载0-60兆）=0.顺57（股蠢）B=（0麻.57×辛60-0近）e-0.泉08=31焰.57葱（元）c0=NS0-B=0睁.57×貌100-军31.5悠7=25醋.432.4僚积她木分析普法从应用的最角度，在脆为金融资俗产定价时妹，金融工骑程主要运色用积木分锣析法积木分析鸣法也叫模尼块分析乳法，指蒜将各种缸金融工岗具进行筑分解和奇组合，吵以解决唱金融问前题。积木分悠析法主缠要以图轰形来分斜析收益喉/风险计关系以田及金融络工具之偏间的组便合/分疼解关系多头金阔融价格绵风险当金融像价格Δ邻P增加裙时，交敞易者价石值也随奴之增加警，反之臂，则随麦之减少全。称这摄种情况芳为多头果金融价躲格风险愉，因为键这类风秋险类似约于金融灭资产的忽多头交础易。空头金纸融价格难风险当金融村资产价亡格上升留时，交误易者处拿于不利芒的地位欧。我们袜称这类赤风险为搬空头金誉融价格骂风险利用多需头远期得合约规份避空头右风险期权交易