人教课标实验A版-选修4-5-第四讲 数学归纳法证明不等式-一　数学归纳法【市一等奖】

数学归纳法的进一步知识一、数学归纳法证明是全理性的证明数学归纳法是一种重要的证题方法，许多涉及正整数的问题，往往使用它．人们验算起始命题成立后，只要证明了递推依据（由成立，可推出成立）就完成了数学归纳法的证明（1）．那么，数学归纳法的逻辑基础是什么？下面从两个方面给予说明．1．数学归纳法合理性是建立在以下自然数公理系统（Peano公理系统）基础上的．Peano把自然数集定义为满足如下五条公理的集合．（1）（2）任给，则存在且（为元素的后面加个元素“1”，称为的后继数）（3）若，则（即中任何元素不能作为中多于一个元素的后继数）（4）任给，则（即1不是中任一元素的后继数）（5）若的任一子集具有性质（1）、（2），则（即集合就含有集合的所有元素）下面用Peano公理证明数学归纳法的合理性．记表示含自然数的某一命题，若（1）P（1）为真命题；（2）任给，若真，则真．则对一切真．证明：记由①知又由②，对一切由Peano公理5可知，即应该包含一切自然数．对一切自然数都正确．2．数学归纳法的合理性也可用自然数最小数原理来证明，它的逻辑基础是自然数的最小数原理．用反证法证明如下：设满足（1）、（2）的命题不是对所有自然数都成立．记根据自然数最小数原理：非空的某些自然数组成的集合中一定存在最小自然数，故中一定存在一个最小自然数．不妨设为，显然，否则，则，即，知不真，这与条件（1）矛盾．由知，于是，又是使不真的自然数中的最小者，所以就使题为真，即真，由（2）知为真，所以，这与矛盾．故对所有自然数都成立．二、数学归纳法的其他形式1．不一定从1开妈．初值可据实际情况适当提前或推后，例如，求证：对一切，能被14整除．第一步验证时，因数字太大，不易验算，可将初值提前至，这样，通过证明命题对一切的整数成立，从而证明命题对一切成立．2．不一定由推．对于某些命题：（1）验证时，命题成立；（2）设时成立，证明时，命题成立根据（1）、（2）可断定对一切，命题成立．例如，求证：适合的整数解组数证明：（ⅰ）时，仅不一组解，即，命题成立．时，有两组解，即，命题成立．（ⅱ）设时，时，的解分两类．时，解组数为1；时，解的组数为时，命题成立．根据（ⅰ）、（ⅱ），命题对一切均成立．一般地，若：（1）验证时命题成立．（2）若成立，则成立．根据（1）、（2）可知，时，命题成立．3．反向归纳法对于命题，若：（1）对无穷个值真．（2）若真，则真．根据（1）、（2），对，真．例如，用数学归纳法证明：为非负实数，有在证明中，由真，不易证出真；然而却很容易证出真，又容易证明不等式对无穷多个（只要型的自然数）为真；从而证明，不等式成立．（证明过程略）4．双重归纳法设是一个含有两上独立自然数的命题．（1）与对任意自然数成立；（2）若由和成立，能推出成立；根据（1）、（2）可断定，对一切自然数均成立．例设，求证方程的非负整数解的组数为（证明过程略）5．第二数学归纳法对命题（1）时，成立；（2）设时，成立，则成立；根据（1）、（2），对成立．例题设，求证：可表示为的次多项式．证明：（1）时，命题成立．（2）设时，命题成立．那么当时，由归纳假设知，为的次多项