人教课标实验B版-必修4-平面向量-向量的线性运算-向量数乘【全国一等奖】

电子课文·实数与向量的积

1．实数与向量的积已知非零向量a，我们作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)．由图5-15可知，=++=a+a+a，我们把a+a+a记作3a，即=3a．显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|．同样，由图5-15可知，=(-a)+(-a)+(-a)，我们把(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，即=-3a．显然-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ=0时，λa=0．根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律．设λ、μ为实数，那么例1

计算：(1)(-3)×4a；(2)3(a+b)-2(a-b)-a；(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)．解：(1)原式=(-3×4)a=-12a；(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c．下面我们研究向量共线的充要条件．对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，a与b共线．反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|∶|a|=μ，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa．也就是说，如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa．因此，我们得到下面的定理．定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa．例2

如图5-16，已知=3，=3．试判断与否共线．解：∴与共线．练习

1．任画一向量e，求作向量a=4e，b=-4e．3．把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积：(1)a=3e，b=6e；(2)a=8e，b=-14e；4．判断下列各小题中的向量a与b是否共线；(l)a=-2e，b=2e；(2)a=e1-e2，b=-2e1+2e2；(4)a=e1+e2，b=2e1-2e2，且e1、e2共线．2．平面向量基本定理如图5-17，设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们研究a与e1、e2之间的关系．在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a．过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．则有且只有实数λ1、λ2使得=λ1e1，=λ2e2．由于=+，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可表示成λ1e1+λ2e2的形式．于是得到下面的定理．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例3

已知向量e1、e2(图5-18(1))，求作向量+3e2．作法：1．如图5-18(2)，任取一点O，作=，=3e2．2．OACB．于是就是所求作的向量．例4

如图5-19，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，用a